Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 0
10 |
|
|
|
ОБОЗНАЧЕНИЯ |
Я |
ТЕРМИНОЛОГИЯ |
|
|
|
|
|
||||
= |
Gal(KiF). |
Если |
хи . . ., хп |
— элементы |
поля |
К, |
|
то |
через |
||||||
F{xy, |
. . ., хп) |
обозначается |
подполе в К, |
порожденное |
над |
F эле |
|||||||||
ментами |
xi, |
. . ., |
хп. |
(См. |
также |
дополнение |
1). |
|
Для |
подполей |
|||||
Fu |
. . ., |
Fm |
поля К мы обозначаем через F± . . . |
Fm |
их |
композит, |
|||||||||
т. е. наименьшее |
подполе поля |
К, |
содержащее Fif |
|
. . ., |
Fm. |
Если |
||||||||
о* — какой-нибудь |
изоморфизм поля К в другое поле, |
то |
через х° |
||||||||||||
обозначается |
образ элемента х £ К |
при а, |
так что |
(ха)х |
= |
хах. |
|||||||||
|
0.4. Символом Q обозначается алгебраическое замыкание поля |
||||||||||||||
рациональных чисел Q в поле комплексных чисел С. Под полем |
|||||||||||||||
алгебраических чисел мы подразумеваем какое-либо подполе поля Q. |
|||||||||||||||
Простой |
дивизор г) |
поля |
алгебраических |
чисел |
F — это |
любой |
|||||||||
класс эквивалентности нетривиальных нормирований на F. |
Макси |
||||||||||||||
мальным порядком |
поля F мы называем кольцо всех целых алгебраи |
||||||||||||||
ческих чисел из F. Если F имеет конечную степень над Q, то любой неархпмедов простой дивизор поля F однозначным образом соответ ствует некоторому простому идеалу максимального порядка поля F; такой идеал мы называем простым идеалом в поле F. Если г — произвольный дробный идеал поля F, то N(r) обозначает его абсо лютную норму, т. е. положительное рациональное число, порож
дающее дробный идеал |
N^/Q(X) В поле Q. Иногда число, |
комплексно |
||||||||
сопряженное |
числу х |
из Q, |
обозначается через |
хр. |
|
|
|
|
||
|
0.5. Если |
а и b — целые |
рациональные числа, то |
через |
(а, |
Ь) |
||||
мы обозначаем такое целое положительное число d, что dZ = |
аЪ |
+ |
||||||||
+ |
ЪЪ (исключая |
случай а = |
Ъ = 0). В частности, |
(а, |
Ъ) = 1 |
тогда |
||||
и |
только тогда, |
когда |
а и & не имеют общих делителей, |
отличных |
||||||
от |
± 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.6. Символом [X : Y] обозначается индекс подгруппы Y |
в группе |
||||||||
X |
или размерность векторного пространства X над полем Y, |
в частно |
||||||||
сти степень алгебраического расширения X поля Y. |
Конкретные |
|||||||||
различия будут |
видны из контекста. Если / — гомоморфизм |
одной |
||||||||
группы в другую, то его ядро будет обозначаться через Кег(/). Иногда
под словом изоморфизм будет подразумеваться всего |
лишь |
инъек- |
|
тивный гомоморфизм. Например, мы будем говорить об |
изоморфизме |
||
квадратичного |
расширения К поля Q в кольцо M 2 ( Q ) , |
вместо того |
|
чтобы говорить |
об изоморфизме поля К на некоторое подполе |
кольца |
|
M 2 ( Q ) . |
|
|
|
0.7. Символ i d используется для обозначения тождественного отображения того множества, которое определяется по контексту. Если отображение /, определенное на множестве X, является тож дественным на некотором подмножестве Y множества X, то мы пишем f = id на Y.
0.8. Что касается терминологии и обозначений из алгебраической геометрии, см. дополнение в конце этой книги.
Простой дивизор (по-английски prime divisor) в оригинале часто назы вается просто prime.— Прим. перев.
список символов
(За исключением нескольких символов в конце списка, все перечисляются в порядке латинского алфавита)
Ак(Г) 50
Aut( ) 9, 142, 181
С9
А(полугруппа) 80, 81 Алг 93
А%, A'N 95 А' 96, 218
А; А" 108
A, A (z) (дискриминант, па раболическая форма) 54, 131
deg(A) (А — дивизор) 57
deg(x)(x= |
|
2 |
с„-(Г^а^Гц )) |
|||
77 |
|
|
|
* |
|
|
deg(A) |
(X — рациональное |
|||||
отображение) |
148 |
|||||
det( |
) |
9, |
183 |
|
||
div( |
) 57, |
58, |
60 |
|||
Ш, i f i , §2> |
<?з |
143 |
||||
End( |
, |
) |
9 |
|
|
|
End( |
), E n d Q ( |
) 131, 314 |
||||
/о! |
/а> |
fai |
fa |
1/1 |
||
% 186, 302 |
|
|
||||
%N |
186 |
|
|
|
|
|
% s |
195, |
302 |
301 |
|||
Фа |
197, |
198, |
||||
GA, |
GA+, |
Gq, |
|
Gq+, Ga>, |
||
Gal( |
) |
G « + , |
|
G0 183, 295 |
||
10 |
|
|
||||
Gh{T) |
50 |
|
|
|
||
G L n ( |
) |
9 |
|
|
|
|
GL2 + (R) 22 |
|
|
||||
Г' |
25, |
218 |
|
|
|
|
г;, |
г" |
Ю7 |
|
|
|
|
T0(N) |
44 |
39, |
81 |
|||
TN, |
T(N) |
|||||
r s |
195, |
218, 300 |
|
||
[ l > r 2 |
] , t |
102 |
|
||
1Г;аГ;],( 1 М ) 108 |
|
||||
g%{*), |
8з{*) |
54 |
|
||
£ 2 ( ш ь |
co2); |
g3(ait |
co2) 133 |
||
H |
9, |
296 |
|
|
|
g |
22 |
|
|
|
|
§ * |
26, |
193 |
|
||
fei |
143 |
|
|
|
|
i d |
10 |
|
|
|
|
il( |
) |
152 |
|
|
|
Ira( |
) |
9 |
|
|
|
i (главная инволюция) 100, 296
j(a, |
|
z) |
22, |
48 |
||
7 B , |
№ |
|
131 |
|
||
j(z) |
|
133 |
|
|
|
|
J(z) |
|
54, |
134 |
|
||
JTB |
|
( |
) |
197, |
301 |
|
A.v |
177, |
178 |
|
|||
As |
|
184, 301 |
|
|||
Ker( |
) |
10 |
|
|||
Us, |
|
/, |
x) |
125 |
||
A,w |
|
93 |
|
|
|
|
M n |
( |
) |
9 |
|
|
|
N{ |
|
) |
10 |
|
|
|
I n |
|
9 |
|
|
|
|
g>(u; соi, co2), |
W 'Ы; ш ь ш2 ) |
|||||
132,_133 |
|
|
|
|||
Q. |
9 |
Q, |
Q P |
9 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
Re( |
) |
9 |
|
|
|
|
Д(Г, A) 80 |
|
|||||
p |
(комплексное сопряже |
|||||
ние) 10, |
162 |
|
||||
Sh(T) |
|
50 |
|
|
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sk(T'0, |
а|>) 108 |
|
|
|
||||
SL„( |
) |
|
9 |
184, |
301 |
|||
a(x) |
|
(x |
E GA) |
|||||
ач |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
T(m) |
87 |
|
|
8 |
3 |
|
||
Г ( т ) , |
|
Па, |
d) |
99 |
||||
2"("»)f c .*, |
Г (а, |
й ) й , ф 109 |
||||||
tr( |
|
) 9, |
296 |
117, |
219 |
|||
т |
(матрица) |
|||||||
T(S) |
|
( Я |
6 GA+) |
189, 302 |
||||
С/, |
C/j V |
183, |
184, |
217 |
||||
JJI |
|
218 |
|
301 |
|
|
|
|
7 s |
|
1 9 |
7 > |
|
|
|
|
|
Щу\ |
123 |
|
|
|
||||
Z r |
g |
|
215 |
|
|
|
|
|
7 |
7 |
|
"о |
|
|
|
|
|
' |
Z |
p |
J |
|
|
|
|
|
список символов |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ф; |
|
|
УIk) |
209, |
210 |
|
|
|||
£(S ; А/к, |
F) |
238 |
|
|
||||||
Tx |
|
{T - |
|
ассоциативное |
|
|||||
кольцо) |
9 |
Г -Г ^ ^ Л |
^ ..49 |
|||||||
Z a b |
' |
|
К |
* |
|
|||||
|
|
|
|
{ К |
ч п с л о в о е |
|
||||
{г |
|
f |
У |
|
^ |
, |
т |
|
w o |
|
I[ a |
] |
" |
( a |
€ GLS(R)) |
48 |
|
||||
[ X |
: Y ] |
|
( X - y |
_ Г Р У П П Ы |
|
|||||
f.™ |
|
™ л |
я ) |
1 |
0 |
й |
|
|
||
W |
|
|
( 7 |
|
- |
многообразие, |
|
|||
определенное над полем /с) |
||||||||||
148 |
|
|
310 |
простои |
ДИВИ- |
|||||
|
|
|
|
|
— |
|||||
3 0 Р ' ~~ алгебро-геомет- рический объект) 151
ip 220
РЕКОМЕНДАЦИИ ЧИТАТЕЛЮ
Эта книга написана неравномерно — разные ее части предна значены для читателей с различной математической подготовкой.
Тот, кто хорошо знаком с элементарными свойствами топологи ческих групп и римаиовых поверхностей, не встретит никаких труд ностей в гл. 1—3. В § 2.3 нужна теорема Римана — Роха для ком пактной римановой поверхности. Точно так же в доказательстве предложения 2.15 потребуется свойство делимости якобиева мно гообразия. Далее, в § 3.5 используется теорема Веддербёриа об алгебрах с радикалом. Читателю, не знакомому со всеми этими теоремами, мы советуем попросту принять на веру их формулировки, потому что в остальной части названных глав они не понадобятся.
После первых трех глав читатель может переходить прямо к гл. 8, для понимания которой нужны лишь элементарные сведения о гомологиях и когомологпях групп и симплициальных комплексах.
Главы 4—6 предполагают знание эллиптических кривых и теории полей классов. Мы советуем читателю просмотреть дополнение
прежде, чем читать эти главы: даже если |
он хорошо разбирается |
в предмете, его уверенность в обращении с |
алгебро-геометрической |
терминологией возрастет. |
|
Последний параграф гл. 5 и значительная часть гл. 7 и 9 пред назначены для наиболее подготовленного читателя. По этой причине стиль изложения здесь несколько отличается от стиля остальной части книги, хотя автор убежден в том, что и для неопытных читате лей уровень не будет слишком высоким.
В конце каждого параграфа дается несколько упражнений. Часть из них — обычные приложения изложенного в тексте. Однако зачастую эти упражнения представляют собой формулировки вто ростепенной важности, которые в большей книге могли бы быть при ведены как теоремы или примеры с детальными доказательствами.
14 |
РЕКОМЕНДАЦИИ ЧИТАТЕЛЮ |
Во всяком случае их будет не слишком трудно решать при помощи тех методов, которые развиваются в основном изложении.
Теоремы, предложения, леммы, замечания и упражнения нуме руются в единой последовательности на протяжении каждой главы. На выделенные формулы, формулировки и допущения даются ссылки в скобках; например, ссылка (3.5.7) означает: теорема, предложение, формула... 7 из § 3.5.
Г Л А В А 1
ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА
§ 1.1. Группы преобразований п факторпространства
В этом параграфе мы обсудим некоторые элементарные свойства группы преобразований, действующей на топологическом простран стве. Все топологические группы предполагаются хаусдорфовыми.
|
Пусть G — топологическая |
группа |
и |
S — топологическое |
про |
|||||||||||||
странство. Мы говорим, что G непрерывно |
|
действует на |
S |
или что |
||||||||||||||
G является группой |
преобразований |
топологического пространства |
S, |
|||||||||||||||
если задано непрерывное отображение G X |
S Э (g, |
s) >-* gs 6 S, удо |
||||||||||||||||
влетворяющее |
следующим |
условиям: |
(i) |
(ab) s = |
a(bs) |
для |
a £ G, |
|||||||||||
b |
6 G, |
s £ S; |
(ii) es = |
s для всех s |
£ S, |
где e — единичный |
элемент |
|||||||||||
группы G. Очевидно, для каждого |
g £ G |
отображение s>—*-gs пред |
||||||||||||||||
ставляет собой гомеоморфизм пространства S на себя. Мы будем |
||||||||||||||||||
писать |
также |
g(s) |
вместо |
gs. Для любого s £ S |
положим |
Gs |
= |
|||||||||||
= |
{gs |
I g € G) |
и назовем это |
множество |
орбитой |
точки |
s |
относи |
||||||||||
тельно |
группы |
G или |
просто |
G-орбитой |
точки s. Часто |
две |
точки |
|||||||||||
с одной и той же G-орбитой называют G-эквивалентными или экви |
||||||||||||||||||
валентными |
относительно |
группы |
G. Мы |
говорим, |
что |
группа |
G |
|||||||||||
действует транзитивно на пространстве S, если существует всего |
||||||||||||||||||
лишь |
одна |
G-орбита |
— все |
пространство |
S. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Обозначим через G\S множество всех G-орбит точек простран |
|||||||||||||||||
ства S. Пусть я: SG\S |
— естественное |
проектирование, |
опре |
|||||||||||||||
деленное равенством |
n{s) = |
Gs. Будем |
называть |
подмножество |
X |
|||||||||||||
в G\S открытым, если прообраз |
открыт в S. Легко проверить, |
|||||||||||||||||
что это определяет некоторую топологию |
на G\S; |
будем |
называть |
|||||||||||||||
ее |
фактортопологией. |
Очевидно, в |
этой |
топологии |
отображение |
я |
||||||||||||
непрерывно. Кроме того, отображение я открыто *); действительно,
если Y — произвольное открытое подмножество |
в S, |
то множество |
||
я _ 1 (я(У)) |
равно объединению |
U g(Y), которое, |
очевидно, открыто. |
|
Следует |
отметить, что факторпрострапство G\S |
не |
обязано быть |
|
хаусдорфовым, даже если S хаусдорфово. |
|
|
||
Пусть К — какая-либо замкнутая подгруппа в G. Рассмотрим |
||||
действие |
группы К на группе |
G посредством правого умножения. |
||
В этой ситуации if-орбита произвольного элемента g из G есть в точ ности левый смежный класс gK. Введем на G/K фактортопологшо так, как это делалось выше. Замкнутость подгруппы К обеспечивает хаусдорфовость пространства GIK. Доказать это можно так: пусть
х ) То есть образ открытого множества является открытым . — Прим. ред.
