Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
П Р Е Д М Е Т Н Ы Й У К А З А Т Е Л Ь
Абелево |
многообразие |
313 |
|||
— — |
с комплексным |
умножением |
|||
164, |
259 |
|
|
|
|
Автоморфизм |
абелевых |
многообразий |
|||
313 |
|
|
|
|
|
— эллиптических |
кривых 142 |
||||
Автоморфная |
форма |
48, |
49 |
||
— функция |
48, |
50 |
|
|
|
Г-автоморфная форма 49 |
|||||
— функция |
48, |
50 |
|
|
|
Аделнзацпя |
группы |
G L 2 183 |
—простой алгебры 294 Алгебраическая кривая 313 Алгебраическое многообразие 309
—соответствие 106, 211
—— собственное 212 Арифметическая фуксова группа 300,
301 Аффинное многообразие 309
Бёрча и Свиннертона-Дайера гипотеза 271
Бирацпональная эквивалентность 310 Бпрацпональное отображение 310 Бпрегулярный изоморфизм 310
Вес автоморфной формы 49 Вейерштрасса фзтшцпя 132
Гауссова |
сумма |
123 |
|
||
Гекке кольцо |
80, |
8 1 , |
93 |
||
— оператор |
105, |
108 |
|
||
Геометрическое |
место |
точки 310 |
|||
Гиперболическое |
преобразование (мат |
||||
рица) |
21 |
|
|
|
|
Гипотеза Бёрча и Свипнертона-Дайера 271
—Рамапуджана 243
—Хассе - Вейля 210 Главная инволюция 1 0 1 , 297
—конгруэнц-подгруппа 39 Гомоморфизм абелевых многообразий
313
—эллиптических кривых 130
Группа когомологий 273
— преобразований 15 Гурвнца формула 38
Дзета функция 121
— абелева многообразия 209, 210
—алгебраической кривой 209 Дивизор алгебраического многообра
зия 315
—алгебраической кривой 211
—римановой поверхности 56 Дирихле ряд 87 Дискретная подгруппа 17
Дифференциальная форма 57, 312
— — первого рода 58, 313 Дробно-линейное преобразование 20
Изогеиня 130, 313, 314 Пзогенные кривые 130 Изотропная подгруппа 16
Инвариант эллиптической кривой 131, 34
Инволюция главная 1 0 1 , 297
— кольца эндоморфизмов абелева многообразия 315
Индекс ветвления 37
Канонический класс 58 Кватериионная алгебра 296 Класс дивизоров 57 Кольцо Гекке 80
—— относительно S L n 81
—— для конгруэнц-подгруппы 93
Комплексное представление 314
—умножение для абелева многооб разия 164
—— эллиптической кривой 137 Конгруэнц - подгруппа 39
—главная 39
Кондуктор 141
Локальный параметр 38 Локсодромическое преобразование
(матрица) 21
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
323 |
Максимальное поле классов лучей 153 Максимальный порядок 10, 139 Меллнна преобразование 127 Мера инвариантная на верхней п о л у
плоскости 63, 6-1
— фундаментальной области 64 — 68 Мероморфная функция 310 Метрика Петерсоиа 104 Модель пространства Г\!р* 193 Модулярная группа 32
—форма 51
—функция 51
— — у р о в н я N, рациональная над
полом Q{e2ni/N) |
176 |
Модулярное соответствие 106, 215, 220
—уравнение 146 Морфизм 310
—Фробеинуса 312
Накрытие 37 Начальная точка эллиптической к р и
вой 130 Нейтральный элемент 130
Неособое многообразие 310 Неразветвленный простой днвпзор 299
— характер 261 Нерегулярная точка 49 Нормализованная пара 150
Нормализованное погружение 139, 300 Нормализованный изоморфизм 150
Общая точка для мероморфных функ
ций |
175 |
|
|
|
|
— — |
многообразия |
309 |
|
||
Однородный |
элемепт |
86 |
|
||
Оператор |
Гекке 105, |
108 |
|
||
Орбита |
|
15 |
|
|
|
Г-орбнта |
15 |
|
|
|
|
Основной полярный |
дпвпзор |
315 |
|||
Отображение |
несеиарабельное |
148 |
—сепарабельиое 148
—чисто несеиарабельное 148 Отражение СМ-тппа 164
Параболическая |
точка 24, |
37 |
|
||
— — |
модулярной |
группы |
32 |
|
|
Параболическое |
преобразование |
(мат |
|||
рица) |
21 |
|
|
|
|
Подмногообразие |
309 |
|
|
||
Поле алгебраических |
чпсел |
10, |
162 |
—классов 152, 153
—модулей абелева многообразия 168 169
— — эллиптической кривой 132
—определения 309
—рациональности 309
Поляризация 315 Поляризованное абелево многообра
зие 315 Порядок числового поля 139
—эллиптической точки 26 Преобразование гиперболическое 21
—локсодромическое 21
—параболическое 21
—эллиптическое 21
Примитивная матрица 144 Проективное многообразие 309
Разветвленный простой дивизор 299 Рамануджана гипотеза 243 Рациональное отображение 309
— представление 314 Регулярная точка 49 Регулярное расширение 308
Редукция по модулю простого идеала
150 |
|
|
Решетка в |
пространстве над С 132, |
|
164, |
314 |
|
—— векторном пространстве над Q
82
—— поле алгебраических чпсел 139 Римаиа — Роха теорема 58
Рнмаиова поверхность 35
— -форма |
314 |
Род к р и в о й |
313 |
—рпмановой поверхности 37
—Г\§ 42
Ряд Дирихле 87
— Эйзенштейна 53, 54, 107
Скалярное произведение Петерсона 104 Собственный идеал 140 Собственное алгебраическое соответ
ствие (цикл) 212
—значение функции 106 Соизмеримые подгруппы 20 Соизмеритель 76 Специализация 308, 309 Стабильная группа 16 Степень дивизора 56
—— двойного смежного класса 76,
77
—накрытия 38
—рационального отображения 148, 313
Тэта-ряд 128
Универсальная область 308 Уровень 39, 51
324 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
Фактортопологня 15 Формула Гурвица 38 Фробениуса морфизм
— соответствие 221 Фуксова групиа первого рода 38, 301
Фундаментальная |
область 33, |
66 |
Функциональное |
уравнение |
дзета- |
функцпп 1 2 1 , |
125 |
|
Функция на алгебраическом много
образии |
254, 255 |
L-функция |
261 |
Фу р ь е коэффициент 50
—разложение 50, 75
Хассе |
— |
Вейля |
гипотеза 216 |
Х о р о ш а я |
редукция по модулю просто |
||
го идеала 150, 262 |
|||
Целая |
форма |
50 |
|
0-цпкл |
|
2 1 1 , |
313 |
1 -цпкл |
211 |
|
Эйзенштейна ряд 53, 54, 107 Эйлерова характеристика 37 Эквивалентность бпрациональная 310
—линейная 57
—относительно группы преобразо ваний 15
Эллиптическая |
кривая 130 |
|
— |
точка 24, |
37 |
— |
— модулярной группы 32 |
|
— |
функция |
132 |
Эллиптическое |
преобразование |
(мат |
|||
рица) |
21 |
|
|
|
|
Эллиптический |
элемент |
модулярной |
|||
группы 32 |
|
|
|
|
|
Эндоморфизм |
абелевых |
многообразий |
|||
313 |
|
|
|
|
|
— эллиптических кривых |
137 |
|
|||
СМ-поле |
162 |
|
|
|
|
СМ-тпп |
162 |
|
|
|
|
Z-аднческое представление |
135, |
235 |
О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие |
редактора |
перевода |
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||
Предисловие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
||
Обозначения |
и терминология . |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|||||
•Список символов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|||
Рекомендации |
читателю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|||
Глава 1 . Фуксовы группы первого рода |
|
|
|
|
|
15 |
||||||||
§ |
1 . 1 . Группы преобразований и факторпространства |
|
15 |
|||||||||||
§ |
1.2. |
Классификация дробно-линейных преобразований |
20 |
|||||||||||
§ |
1.3. |
Топологическое |
пространство |
Г \ § * |
|
|
|
26 |
||||||
§ |
1.4. |
Модулярная |
r p y u n a |
S L 2 ( Z ) |
|
|
|
|
|
32 |
||||
§ |
1.5. |
Факторпространство |
Г\ф* |
|
как |
рпмаиова |
поверхность . . . |
35 |
||||||
§ |
1.6. |
Конгруэнц - подгрупны |
в S L 2 ( Z ) |
|
|
|
39 |
|||||||
Глава 2. Автоморфиые формы и функции |
|
|
|
|
48 |
|||||||||
§ |
2 . 1 . Определение |
автоморфиых |
|
форм и функций |
|
48 |
||||||||
§ |
2.2. Примеры модулярных |
форм и функции |
|
|
|
53 |
||||||||
§ |
2.3. Теорема |
Рпмана — Роха |
|
|
|
|
|
|
56 |
|||||
§ |
2.4. Дивизор |
автоморфной формы |
|
|
|
|
59 |
|||||||
§ |
2.5. |
Мера факторпространства Г \ § |
|
|
|
. . . |
63 |
|||||||
§ 2.6. Размерность пространства параболических форм |
|
68 |
||||||||||||
Глава 3. |
Операторы Гекке н дзета-функции, ассоциированные с моду |
76 |
||||||||||||
|
|
лярными формами |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ |
3 . 1 . Определенно |
кольца |
Гекке |
|
|
|
|
|
76 |
|||||
§ |
3.2. Формальные ряды Дирихле |
с эйлеровым |
произведением . . . |
81 |
||||||||||
§ |
3.3. |
Кольцо Гекке для копгруэпц - подгруппы |
|
|
|
93 |
||||||||
§ |
3.4. |
Действие двойных смежных классов па автоморфиые формы |
102 |
|||||||||||
§ |
3.5. |
Операторы Гекке и их связь |
с коэффициентами Ф у р ь е . . . . |
106 |
||||||||||
§ |
3.6. Функциональные |
уравнения дзета-функций, |
ассоциированных |
|
||||||||||
|
|
с |
модулярпымн |
формалш |
|
|
|
|
|
|
121 |
|||
Глава 4. Эллиптические кривые |
|
|
|
|
|
|
|
130 |
||||||
§ |
4 . 1 . Эллиптические кривые над |
произвольным |
нолем |
|
130 |
|||||||||
§ |
4.2. Эллиптические кривые над |
полем С |
|
|
|
132 |
||||||||
§ |
4.3. Точки коночного |
порядка |
иа эллиптической кривой и корни |
|
||||||||||
|
|
пз |
едшшцы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134 |
|
§ |
4.4. И з о г е ш ш |
и эндоморфизмы |
эллиптических |
кривых |
над полем С |
137 |
||||||||
§ |
4.5. Автоморфизмы эллиптической |
кривой |
|
|
|
142 |
||||||||
§ 4.6. Свойства целостности инварианта / |
|
|
|
143 |
||||||||||
Глава |
5. Абглевы расширения мнимых квадратичных |
полей и |
комплексное |
|
||||||||||
|
умножение |
эллиптических |
кривых |
|
|
|
147 |
|||||||
§ |
5 . 1 . Предварительные |
рассмотрения |
|
|
|
147 |
||||||||
§ |
5.2. Теория полей классов па языке |
аделей |
|
|
|
152 |
326 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ |
|
5.3. Основная теорема |
о |
комплексном умножении |
эллиптических |
|
||||||||||||||
|
|
|
кривых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154 |
|
§ |
|
5.4. Построение |
полей |
классов |
над |
мнимым |
квадратичным |
полем |
158 |
|||||||||||
§ |
5.5. Комплексное умножение абелевых многообразий высшей |
раз |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
мерности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
162 |
||
Глава |
|
6. |
Модулярные функции высшего уровня |
|
|
|
|
|
|
|
171 |
|||||||||
§ |
6 . 1 . Модулярные |
функции |
уровня N, |
получаемые |
делением |
эллип |
|
|||||||||||||
|
|
|
тических кривых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171 |
||||
§ |
|
6.2. Поле |
модулярных |
функций |
уровия N, |
рациональных |
над п о |
|
||||||||||||
|
|
|
лем |
Q ( e 2 n i / ' Y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175 |
||
§ |
|
6.3. |
Одно |
обобщение теории |
Галуа; |
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
||||||
§ |
|
6.4. |
Аделизацпя |
группы |
G L 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183 |
|||||
§ |
|
6.5. |
Действие группы U па поле 5' |
|
|
|
|
|
|
|
|
186 |
||||||||
§ |
|
6.6. |
Структура группы |
A u t (£у) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1S9 |
||||||
§ |
|
6.7. Каноническая система |
моделей |
пространства |
Г\у* |
для |
всех |
|
||||||||||||
§ |
|
|
копгруэнц - подгрупп |
Г |
группы |
G L 2 ( Q ) |
|
|
|
|
группы |
193 |
||||||||
|
6.8. Явная форма закона взаимности в неподвижных точках |
|
||||||||||||||||||
|
|
j |
G Q + па |
полуплоскости |
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
198 |
|||||
§ 6..9. Действие элемента группы GQ с отрицательным определителем |
205 |
|||||||||||||||||||
Глава i 7 . Дзета-функшш алгебраических кривых ц абелевых многообразий |
209 |
|||||||||||||||||||
§ |
7 . 1 . Определение |
дзета-функций |
алгебраических |
кривых |
и |
абеле |
|
|||||||||||||
|
|
|
вых многообразий; цель настоящей главы |
|
|
|
|
|
|
209 |
||||||||||
§ |
|
7.2. Алгебраические соответствия на алгебраических |
кривых . . . |
211 |
||||||||||||||||
§ |
|
7.3. Модулярные соответствия на кривых V$ |
|
|
|
|
|
|
215 |
|||||||||||
§ |
|
7.4. |
Отношения |
сравнения |
для |
модулярных |
соответствий . . . . |
220 |
||||||||||||
§ |
|
7.5. Дзета-функции кривых |
Vs |
и множители |
якобнева многообра |
223 |
||||||||||||||
|
|
|
зия |
кривой |
T's |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ |
|
7.6. |
I-адпческие |
представления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
235 |
||||||
§ |
|
7.7. Построение полей |
классов над вещественными квадратичными |
|
||||||||||||||||
|
|
|
полями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
244 |
|
§ |
|
7.8. |
Дзета-функция |
абелева |
многообразия |
СМ-тппа . . . . . . . |
259 |
|||||||||||||
§ |
|
7.9. |
Дополнительные |
замечания |
|
|
|
|
|
|
|
.• |
• • |
269 |
||||||
Глава |
|
8. |
Группа |
когомологий, |
ассоциированная |
с |
параболическими |
|
||||||||||||
|
|
|
формами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
273 |
|
§ |
8 . 1 . Группы когомологий |
фуксовых |
групп |
|
|
|
|
|
|
|
273 |
|||||||||
§ |
8.2. Соответствие |
между |
параболическими |
формами |
и |
классами |
|
|||||||||||||
|
|
|
когомологий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
281 |
||
§ |
8.3. Действие двойных |
смежных классов |
па |
группе |
когомологий |
288 |
||||||||||||||
§ 8.4. |
Комплексный тор, ассоциированный с пространством парабо |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
лических |
форм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
291 |
||
Глава 9. Арифметические фуксовы группы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
§ |
9 . 1 . Группы единиц |
простых алгебр |
|
|
|
|
|
|
|
|
294 |
|||||||||
§ |
9.2. |
Фуксовы группы, получаемые из к в а т е р н п о ш ш х |
алгебр . . . |
296 |
||||||||||||||||
Дополнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
308 |
|||
Список |
литературы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
316 |
|||
Предметный указатель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
322 |