Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ДОПОЛНЕНИЕ

313

=со0 о Т°. Дифференциальную форму со иа проективном многооб­

разии ТУ называют голоморфной, или дифференциальной формой первого рода, если со всюду определена на W. Обозначим через 3)(W) множество всех голоморфных элементов пространства D i f ( H / ) и поло­

жим 3)(W; к) =

3)(W) П DifXH7 ; к) для

произвольного поля

к

рациональности

многообразия W.

Тогда

3) (W)

= 3)(W;

к) <g>

h&

9. Многообразие У называется

алгебраической

кривой,

или просто

кривой, если У имеет размерность 1. Если поле к определения кривой У совершенно, то можно найти неособую проективную кривую, бирационалы-ю эквивалентную кривой У над полем к.

Пусть У — неособая проективная

кривая,

определениая

над

полем к. Тогда все понятия и результаты из § 2.3 можно

обобщить

на эту ситуацию: достаточно лишь заменить

W,

К и С на

У,

Q(V)

и Q. Дивизоры на У и символы div(/),

L(A),

1(A)

и т. д. можно опре­

делить точно так же, без какой бы то ни было модификации, за исклю­ чением того, что соотношение (2.3.1) следует заменить на

(9.1) df = 0 тогда и только тогда, когда Q(V) несепарабельно над

Разумеется, это частный случай утверждения (8.2). Род кривой У определяется, например, предложением 2.13 пли с помощью (2.3.2). После этого оказываются справедливыми предложения 2.11, 2.14 и теорема 2.12. Дивизор на У называется также 0-циклом на У.

10.Проективное многообразие А называется абелевым, если

существуют

морфнзмы /: А X А ->• А п f 4 - > i ,

определяющие

групповую

структуру

па /1 по формулам f(x,

у) =

х -'- у,

g(x) =

= —х. Аддитивное

обозначение используется

в

данном

случае

потому, что, как можно показать, любая такая групповая структура на проективном многообразии коммутативна. В соответствии с этим нейтральный элемент обозначается через 0. Если многообразие А и морфизмы / и g определены над полем к, то говорят, что абелево многообразие А определено над к.

Пусть А и В — два абелевых многообразия. Под гомоморфизмом из А в В (или под эндоморфизмом, если А = В) мы подразумеваем морфизм X пз А в В, удовлетворяющий условию Х(х + у) = Х(х) -Ь

+Х(у). Если X — бирационалыюе отображение, то оно называется

изоморфизмом (пли автоморфизмом, если А = В). Предположим, что А и В имеют одинаковую размерность. В этом случае гомомор­ физм X из А в В сюръективеп тогда и только тогда, когда ядро Кег(л-)

конечно.

Такой

гомоморфизм X

называется изогенией из А в В.

Если А,

В и X рациональны над к и х — общая точка многообразия

А над к, то мы

полагаем

 

 

deg(X)

= lk(x) : к(Х(х))}

( = ЩА) : к(В) о X]).

Целое число deg(X) не зависит от выбора поля к и точки х.

21-01118

314

 

ДОПОЛНЕНИЕ

Если

число

deg(A,) и характеристика поля к взаимно просты,

то ядро

Кег(л)

имеет порядок

deg(A,). Если существует изогения

из А в В,

то А

и В называются

изогенными.

Обозначим через End(/1) кольцо всех эндоморфизмов миогообт разия /1 и положим

EndQ (i4) = Ead(A) ®zQ -

11. Пусть А — абелево многообразие размерности п иад полем С, взятым в качестве универсальной области. Тогда А как комплексное многообразие изоморфно комплексному тору C'VL, где L — неко­ торая решетка пространства С". В данном случае под решеткой в С" мы подразумеваем дискретную подгруппу в С", являющуюся свободным Z-модулем ранга 2п. Пусть QL обозначает Q-липейную оболочку решетки L . Тогда End(4) (соответственно Endo(/l)) можно отождествить с кольцом всех С-линейных преобразований простран­ ства С", переводящих L в L (соответственно QL в QL). Таким образом, мы получаем два точных представления кольца EndQ (/1):

R: End Q (4) - » - End(C'\

С)

( ~ М „ ( С ) ) ,

 

R°: E n d Q ( 4 ) - > - E n d ( Q L ,

Q)

( ~ M 2 n ( Q ) ) .

 

Представление R (соответственно R0)

называется комплексным

(соот­

ветственно рациональным)

представлением

кольца EudQ(4).

Легко

видеть, что R (соответственно R0)

эквивалентно представлению

коль­

ца Епс^(Л) на пространстве 3)(А)

(соответственно на первой группе

когомологпй многообразия

А). Из леммы 3.49 следует, что R"

экви­

валентно прямой сумме представления R и комплексно сопряженно­ го с ним.

Произвольный комплексный тор C'VL пмеет структуру абелева

многообразия тогда и только тогда, когда существует

такая R-знач-

ная R-билинейиая форма Е(х, у) на С", что

 

 

(11.1)

Е(х,

у) =

-Е(у,

х);

 

 

 

(11.2)

число

Е(х,

у)

целое для каждой точки (х,

у) 6 L х L ;

(11.3)

^-билинейная

форма Е(х, Y—1*/)

о т ix>

У)

симметрична

и положительно определена.

Такая форма Е называется римановой формой на C'VL.

12. Дивизором на алгебраическом многообразии V называется элемент свободного Z-модуля, формально порожденного всеми под­ многообразиями в V коразмерности 1. Пусть А — абелево много­ образие, определенное над некоторым подполем поля С, изоморфное комплексному тору C 7 L . Возьмем базис {gy, . . ., gn} векторного пространства С" над R и определим вещественные координатные

2п

 

функции хи . . ., х2п на С" равенством и — 2

xi(u)gi

Д л я и 6 С \

i =

i

 

Тогда для произвольной римановой формы Е на C'VL существует

 

ДОПОЛНЕНИЕ

315

дивизор X

многообразия А,

класс когомологий которого

пред­

ставляется

дифференциальной

2-формой 2 E{gt, gj)dxt Д dxj.

(Мы

здесь для простоты отождествляем А с Cn /L.) Так как форма Е

единственна для

X,

то

говорят,

что

X определяет

форму Е

(относи­

тельно фиксированного

изоморфизма

из А в

C n / L ) ,

если X и Е свя­

заны указанным

образом. Пусть два дивизора X и X'

на А

опреде­

ляют римаиовы

формы

Е

и Е'.

Следующие

условия

эквивалентны:

(i) дивизоры

X

и

X'

алгебраически

эквивалентны;

 

(ii) дивизор X гомологичен дивизору X';

(Ш)Е = Е'.

13.Пусть А — абелево многообразие, определенное над полем произвольной характеристики. Поляризацией многообразия А назы­ вается множество 'ё дивизоров иа А, удовлетворяющее следующим трем условиям:

(13.1)

множество 4$ содержит

обильный дивизор

(в смысле А. Вейля

 

 

[ 1 ,

стр. 286]);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13.2)

если дивизоры

X

и X'

принадлежат

её,

то существуют

такие

 

 

целые положительные

числа mum',

что

дивизор

тХ

алгеб­

 

 

раически

эквивалентен

дивизору

т'Х';

 

 

 

 

 

(13.3)

множество с6

максимально

при

условиях

(13.1) и

(13.2).

 

Поляризованным

абелевым

многообразием

называется

структура

(А,

% ) ,

образованная

абелевым

многообразием

А

и поляризацией

%.

Если

% — поляризации

многообразия А,

то всегда

существует

такой

дивизор

Х0

в %, что каждый дивизор

X из % алгебраически

эквивалентен дивизору тХ0

при некотором целом положительном т.

Такой

дивизор

Х0

называется

основным

полярным

дивизором

поля­

ризации

<ё.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если универсальной областью является поле С и мпогообразие А

отождествляется

с комплексным

тором

C V L , то

(13.1) эквивалентно

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13.Г)

каждый

дивизор

X

поляризации

%

определяет

некоторую

 

 

риманову

форму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

Е — римаиова

форма,

определенная

некоторым

дивизором

поляризации (6.

Тогда

можно

определить инволюцию

(т. е.

анти­

изоморфизм порядка 1 или 2) р кольца E n d Q ( 4 ) равенством Е(Хх, г/) =

= Е(х,

Хру)

для

X £ E n d q ( ^ ) .

Здесь

мы отождествляем кольцо

E n d Q ( ^ )

с

подалгеброй

в End(C n , С),

как в п. 11. Инволюция р

называется

инволюцией

кольца

EndQ(vl),

определенной поляризацией

%, так

как

она не

зависит от выбора дивизора X и тора C"/L. На

самом деле можно определить такую инволюцию и в случае поло­ жительной характеристики. Подробное обсуждение этой и других

тем,

посвященных

абелевыммногообразиям, читатель найдет

у А'.

Вейля [3], [6] и

Ленга [1].

2 1 *

СПИСОК Л И Т Е Р А Т У Р Ы х )

Бёрч,

Свшшертон-Дайер

( B i r c h В.

.Т.,

S w i n n e r t o n - D y e r

Н.

P .

 

F.)

 

 

 

 

•1.

 

Notes

on e l l i p t i c

curves

( I ) , ( I I ) , / . Reine

Angew.

Math.,

212

(1963),

 

7—25;

 

 

218 (1965), 79 — 108 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Борель

(Borel Л.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

 

Some finitcness properties of adele groups over

n u m b e r fields,

Publ.

 

 

Math.

 

 

I.1I.E.S..

 

16

(1963), 101 — 126.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2*. Operateurs

de

Hecke

e l l o n c t i o n s

zela,

Seminaire

B o u r b a k i ,

№

307

 

 

(1965/66).

(Русский перевод: сб . Математика,

 

13:4

(1969),

45 — 60 . )

Борель, Харпш-Чаыдра (Borel

Л . , H a r i s l i - C h a n d r a )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

A r i t h m e t i c

subgroups

of

algebraic groups, Ann.

of

Math.,

75

(1962),

485 —

 

 

535. (Русский перевод: сб. Математика,

 

8:2

(1964).)

 

 

 

 

 

 

 

Вебер

(Weber

Н.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I .

 

L e h r b u c h

der

A l g e b r a ,

I I I ,

изд. 2,

1968.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Веыль

 

A . ( W e i l

A . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

F o u n d a t i o n s of

algebraic geometry, A m e r . M a t h . Soc.

C o l l . P u b l . ,

N o . 29,

 

 

изд. 2. Providence, 1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Sur les courbes

algebriques et les varietes q u i s'en

deduisent, Paris,

1948.

3.

Varietes abelieunes e l

courbes

algebriques,

Paris,

1948.

 

 

 

 

 

 

4.

Jacobi sums as «Grosseneharaklere».

Trans.

 

Amer.

Math.

 

Soc.

73'(1952),

 

 

4 8 7 - 4 9 5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

T h e f i e l d

of

d e f i n i t i o n

of a v a r i e t y ,

Amer.

 

J . Math.,

78

(1956), 509—524.

6.

Введение в теорию кэлеровых многообразии, И Л , М .. 1961.

 

 

 

 

7.

Adeles and algebraic groups, lecture notes,

P r i n c e t o n ,

 

1961.

(Русский

 

 

перевод: сб . Математика.

8:4

(1964),

3 — 74.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Sur cerlains groupes d'operateurs u n i t a i r e s ,

Acta

Math.,

M l

(1964),

143—

 

 

2 1 1 .

(Русский перевод: сб . Математика,

 

13:5

(1969),

33 — 94) .

 

 

 

9.

Uber

die

B e s t i m m u n g

D i r i c h l e t s c h e r

Reihen

d u r c h

F u n k t i o n a l g l c i c h u n -

 

 

gen, Math.

 

Ann.,

168

(1967), 149—156. (Русский

перевод: сб .

Матема­

 

 

тика,

14:6

(1970),

1 3 8 - 1 4 5 . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Основы

теории

чисел,

пзд-во

«Мир»,

М . ,

1972.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I I . Sur

une

f o r m u l e classique,

/ .

Math.

Soc.

Japan,

 

20

(1968), 400 — 402 .

12.

Z e t a - f u n c t i o n

and

M e l l i n transforms . Algebraic

geometry

( B o m b a y

 

C o l l . ,

 

 

1968), T a t a

I n s t i t u t e

of F u n d a m e n t a l

Research,

B o m b a y ,

1969,

409 — 426 .

Вепль

Г. ( W e y l H . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

 

D i e Idee

der Riemannschen Flache, изд. 3,

B e r l i n ,

1955.

 

 

 

 

 

Вердье

 

(Verdier J . - L . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

Sur les integrales attachees aux formes automorphes, Scm .

B o u r b a k i ,

e x p .

 

 

216. февраль 1961 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гекке

(Hecke

E . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

Z u r T h c o r i e

der

e l l i p t i s c h e n

M o d u l f u n k t i o n e n ,

Math.

Ann.,

97

 

(1926),

 

 

210—242

( M a t h . W e r k e , 428 — 460) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J )

 

Литература,

 

отмеченная

звездочкой,

добавлена

при

переводе.—

Прим.

 

ред.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

 

317

2.

Theorie

der

Eisensteinschen R e i h e n hoherer Stufe unci

ihre

A n w c n d u n g auf

 

F u n k t i o n e n t h e o r i G

unci A r i t h m o t i c k ,

Abh.

Math.

Sem.

Hamburg,

5

(1927),

 

199—224

( M a t h .

Wevke,

461

— 486) .

 

 

 

 

 

 

 

3.

Uber

die

B e s t i m m u n g D i r i c h l e t s c h e r Reihen d u r c h

ihre

F u n k t i o n a l g l e i -

 

chung,

Math.

Ann.,

112

(1936),

664—699

( M a t h . W e r k e ,

591—626).

 

4.

Uber M o d u l f u n k t i o n e n u n d die

D i r i c h l e t s c h e n Reihen

m i t Eulerscher P r o -

 

d u k t e n t w i c k l u n g ,

 

I , I I , Math.

 

Ann.,

114

(1937),

1—28,

316—351

( M a t h .

 

W e r k e ,

644

—707).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

A n a l y t i s c h e

A r i t h m e t i k

der

p o s i t i v e n

quadratischen

F o r m e n .

Danske

 

V i d e n s k .

 

Selsk,

M a t h e m . - f y s .

M e d d e l .

X V I I ,

12, Copenhagen,

1940

 

( M a t h .

W e r k e ,

789 — 918) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гельфаид И. M . ,

Граев М. И., Пятецкпй-Шапиро

И.

И.

 

 

 

 

 

 

 

 

1*.Теория

представлений

 

п

автоморфиые

функции,

 

изд-во

«Наука»,

 

М . ,

 

196В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Годеман

(Godement

11.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Les fonctions £ des algebres simples,

I I ,

Sem .

B o u r b a k i ,

exp . 176,

февраль

 

1959.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Domaines

Fondamenlaux

des groupes a r i t h m o t i q u e s ,

Sem.

B o u r b a k i ,

 

exp.

 

257,

май

1963.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3*.Notes

on

 

Jacquet - Langlands

t h e o r y ,

I n s t ,

for

Advanced

Studies,

 

P r i n -

 

ston,

1970.

(Русский

перевод

готовится

в

сб .

 

Математика.)

 

 

 

 

Гурвпц

( H u r w i t z

 

А . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:1.

G r u n d l a g o n einer

independenten Theorie

der

e l l i p t i s c h e n M o d u l f u n k t i o n e n

 

u n d

Theorie

der

M u l t i p l i k a t o r - G l e i c h u n g e n

erster

Stufe,

Math.

Ann.,

18

 

(1881),

528—592

( M a t h . W e r k e , 1,

1—66).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

W e r k e ,

т. I , стр.

 

391—430.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дедекпнд

( D e d e k i n d

R . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

E r l a u t e r u n g e n

zu

den

F r a g m e n t e n

X X V I I I .

i n

R i e m a n n

В.,

Ges.

 

M a t h .

 

W e r k e ,

2 A u f l .

L e i p z i g

1892, 466—478

(R . D e d e k i n d ,

Ges.

M a t h .

W e r k e ,

 

I ,

V i e w o g

 

1930, 159—172).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Делинь

(Deligne

P.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

Formes

m o d u l a i r e s et

representations J-adiques, Sem. B o u r b a k i ,

exp.

 

355,

 

февраль 1969.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о н ( D o i

К . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

On the jacobian varieties of the fields of

e l l i p t i c

m o d u l a r f u n c t i o n s ,

Osaka

 

Math.

/ . ,

15

(1963),

 

249—256.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Донрипг

( D e u r i n g

M . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Die

T v p e n

der

M i i l l i p l i k a t o r c n r i n g e

e l l i p t i s c h e r F u n k t i o n e n k o r p e r ,

Abh.

 

Math.

 

Sem.

 

Univ.

 

Hamburg.

14

(1941),

197—272.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

D i e S t r u k t u r

 

der

e l l i p t i s c h e n F u n k t i o n e n k o r p e r u n d

Klassenkorper

der

 

i m a g i n a r e n

quadratischen Z a h l k o r p e r ,

Math.

Ann.,

 

124

(1952),

393—426.

3.

Die

Z e l a f u n k l i o n

 

einer

 

algebraischen

K u r v e

v o m

Geschlechte

E i n s ,

 

I , I I

 

Ш ,

I V , Nachr.

Akad.

 

Wiss.

Goitingen,

 

(1953)

85 — 94;

(1955) 13 — 42;

(1956)

 

3 7 - 7 6 ;

(1957)

5 5 - 8 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

D i e

Klassenkorper

der

 

k o m p l e x e n M u l t i p l i k a t i o n ,

 

E n z y c l o p a d i e

 

M a t h .

 

AViss. Neue

A u f l . ,

B a n d

1—2,

H e f t 1 0 — 1 1 ,

S t u t t g a r t ,

1958.

 

 

 

 

Жако,

Лепглеидс

 

(Jacquet

I I . ,

L a n g l a n d s R.

P.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Автоморфпые

формы

на

G L ( 2 ) , ызд-во

«Мир»,

М . ,

 

1973.

 

 

 

 

 

Зигель (Siegel С. L . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

D i s c o n t i n u o u s groups, Ann.

of

Math.,

 

44

(1943),

674—689

(Ges. A b h . I I ,

 

390 — 405).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Some r e m a r k s

on

 

discontinuous groups,

Ann.

 

of

Math.,

 

46 (1945),

70S—

 

718 (Ges.

A b h .

I l l ,

 

6 7 - 7 7 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

A

simple

proof

of

ri (—1/x)

=

i i (т)

V x / i , Mathematica,

 

1

(1954), 4

 

(Ges.

 

A b h .

I l l , 188).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ивасава

(Iwasawa

K . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Дайсу - Каису - Рои

 

(Теория

алгебрапческих

функций,

на

японском

 

язы­

 

ке),

Т о к и о ,

1952.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы