Файл: Контрольные вопросы для самопроверки. Пособие содержит методические указания по теории погрешностей. Работы расположены в последовательности изложения материала курса Общая физика, раздел Механика.docx

По этому закону распределены, например, ошибки однократного измерения, ошибки округления чисел, ошибки округления при измерении, приборные ошибки, ошибки измерений, когда в результате многократных измерений получаются одинаковые значения и т.д.

Найдем доверительный интервал в котором с доверительной вероятностью α (0,95) будет находится истинное значение измеряемой величины.

(9),

где l – параметр равномерного распределения. Параметр равномерного распределения чаще всего называют приборной ошибкой.

Значение однократного измерения x попадет в интервал

(10)

В зависимости от вида измерительного прибора параметр равномерного распределения l определяется одним из ниже перечисленных способов.

Точность измерения указанно непосредственно на приборе (определяется ценой деления нониуса). Например: точность микрометра 0,01 мм, тогда l=0,01 мм.
На приборе указан класс точности прибора. Из определения класса точности имеем:

,

где К – класс точности прибора, П - предел измерения прибора, максимальное значение величины которое может быть измерено прибором, N – общее количество делений шкалы.

Если на приборе не указаны ни класс точности ни точность измерения, то в зависимости от характера работы прибора возможны два варианта определения параметра равномерного распределения l.

указатель значения измеряемой величины может занимать дискретные положения, соответствующие делениям шкалы (например, электронные часы, секундомеры, цифровые датчики, счетчики импульсов и т. п.). Такие приборы являются приборами дискретного действия, и их абсолютная погрешность равна цене деления прибора. Следовательно, параметр равномерного распределения для измеряемой величины, измеренный этим прибором равен цене деления прибора, т. е. .
указатель значения измеряемой величины может занимать любое положение на шкале (линейки, рулетки, стрелочные весы, термометры и т. п.). В этом случае абсолютная приборная ошибка равна половине цены деления шкалы. Следовательно, параметр равномерного распределения для измеряемой величины равен половине цены деления прибора, т. е. .

Если какая-либо величина не измеряется в данном опыте, а была измерена независимо и известно лишь ее значение, то она является заданным параметром. Погрешность заданного параметра принимается равной половине единицы последнего разряда числа, которым задано значение этого параметра. Например: радиус проволоки задан с точностью до сотых долей миллиметра, то параметр равномерного распределения для этой величины l=0,005 мм.

Учет случайной ошибки нескольких измерений
и ошибки однократного измерения

В случаях прямых многократных измерений некоторой величины х всегда кроме случайной ошибки, полученной из разброса отдельных результатов измерений относительно истинного значения, существует ошибка, связанная с точностью однократного измерения. Для определения суммарной ошибки результата воспользуемся законом сложения ошибок, который доказывается в теории вероятностей.

Этот закон справедлив для сложения и доверительных интервалов. Поэтому доверительный интервал общей ошибки нашей величины х запишется таким образом

(11)

где - доверительный интервал, соответствующий случайной части ошибки,

— доверительный интервал, соответствующий ошибке однократного измерения.

Алгоритм вычисления ошибки прямых равноточных измерений

Если интересующая нас величина х измерялась непосредственно (прямые измерения) и получены результаты измерений х₁, х₂, х₃,...,х_n, то при обработке результатов измерений предлагается следующий порядок операций:

Результаты каждого измерения записываются в таблицу.
В качестве оценки результата измерения величины х определяется среднее арифметическое из n измерений

Вычисляется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений

Задается значение надежности α и при данном числе n измерений по табл. 1 приложения определяется коэффициент Стьюдента .
Находят границы доверительного интервала для многократных измерений (случайная погрешность серии измерений)

Оценивается доверительный интервал (погрешность) однократного измерения

где l - параметр равномерного распределения.

В качестве границ доверительного интервала величины х следует взять

Окончательный результат записывается в виде

с доверительной вероятностью α.

Оценивается относительная погрешность результата измерений

Относительная погрешность позволяет сравнивать неточности измерений различных величин.

Ошибки косвенных измерений

В большинстве физических экспериментов представляет интерес физическая величина, которая не измеряется непосредственно каким- либо прибором, а рассчитывается на основе измерения ряда промежуточных величин. Искомая величина, связана функциональной зависимостью с измеряемыми величинами. В

таком случае говорят, что величина измерена косвенным путем или говорят о косвенных измерениях.

В этом случае встает задача вычисления погрешности косвенных измерений, если погрешности прямых измерений известны или найдены границы доверительных интервалов величин измеренных методом прямых измерений.

При косвенных измерениях значение у измеряемой величины находят по некоторой формуле

, где

- независимые переменные, для определения которых производятся n прямых независимых измерений.

Среднее значение измеряемой величины

находят по функциональной зависимости, если в нее подставить средние значения переменных

Ошибка (доверительный интервал результата косвенных измерений) величины будет равна

(12)

или короче

Здесь

и т.д. – частные производные функции

попеременным соответственно, подсчитанные при , , и т.д., а

, , …, – доверительные интервалы непосредственно измеряемых величин.

Для того что бы проще вычислить погрешность косвенного измерения можно воспользоваться следующими правилами.

Правило 1. Квадрат абсолютной погрешности суммы (а также разности) физических величин равен сумме квадратов погрешностей этих величин.

Правило 2. Если результат является функцией отношений или произведений нескольких величин, то квадрат относительной погрешности результата равен сумме квадратов относительных погрешностей отдельных измерений.

Правило 3. Относительная погрешность степени, т.е. величины

, в n раз больше относительной погрешности величины x.

В таблице 2, приведены формулы для погрешностей результата в случае некоторых основных функций.

Таблица 2 Погрешности косвенного измерения для основных функций