Файл: Физика магнитных диэлектриков..pdf

нимают значения от 1 до т\ (?ѵ), где гѵ размерность неприводимого представления ѵ.

Составим квадратичную форму

V,

и потребуем, чтобы она была инвариантна относительно всех преобразований группы G. Покажем, что при этом F имеет вид

браны таким образом, что матрицы двух эквивалентных представлений ѵ, по которым преобразуются а1£ и і»уѵ’, тождественны. Доказательство разобьем на два этапа: доказательства необходимости и достаточности условия

(П. 5. 2).

1. Покажем, что выражение (П. 5. 2) является необхо­ димым условием инвариантности (П. 5.1).

Если F — инвариант, то

матрица неприводимого представления ѵ, соответствую­ щая элементу g группы G. (По g суммирование проводится

по всем элементам глупіты G) Т-То мят/гиим л (&) удап.тсотпа ряют известным соотношениям ортогональности

(П. 5. 1) была инвариантом, необходимо, чтобы оиа имела вид (П. 5. 2).

172

ловием инвариантности выражения (П. 5. 1), для чего проверим просто, что (П. 5. 2) — действительно инвариант относительно произвольного преобразования £ из группы G.

Действуя оператором g на выражение (П. 5. 2), по­ лучаем

Но поскольку матрицы неприводимых представлений выбираются унитарными, ОД.1* = (П(Ѵ)-1),7;, отсюда сразу следует, что

т. е. F инвариантно относительно всех преобразований группы G.

Таким образом, доказано, что необходимым и доста­ точным условием инвариантности квадратичной формы (П. 5. 1) относительно всех преобразований группы G является требование, чтобы она имела вид (П. 5. 2).

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

ВЕКТОРА І<»> ПРИ ФЕРРОМАГНИТНОМ УПОРЯДОЧЕНИИ

1.Сначала докажем необходимость обращения

внуль всех 1ІѴ), кроме 1(Ѵ) = 1Ш = т а, при ферромагнитном

типе упорядочения в подрешетке. Т. е. докажем теорему

отом, что если все <т. одинаковы, то все 1'Ѵ) =0, кроме 1(Ѵ) ==

—1 1 = т <г

Если все а. одинаковы, то Дѵ’ (2. 226), очевидно, не меняется из-за перестановки спинов ионов <т; под действием

173

всех операций группы (повороты снипов по учитываются). Поэтому можно написать, что (только при а,. =const)

( II . 6. I)

Здесь суммирование по g ведется по всем элементам g группы, N g — полное число элементов в группе. T lJ?j (g)—

матрица,- соответствующая элементу g группы в неприво­ димом представлении ѵ. Ыо из теории групп известно, что

обращения всех 1(Ѵ), кроме Іт =1!1) г- т и, в нуль для того, чтобы упорядочение в подрешетке было ферромагнитного типа. Т. е., если все 1^’ —0, кроме 1т =1 11 = т д, то все а. одинаковы.

Будем рассматривать соотношения (2. 229), выража­ ющие 1^ через спины ионов at., как систему т уравнений относительно а,.. Из условия теоремы следует, что эта система имеет вид

тт

ное рашение. Но только что было доказано, что послед­

Поскольку решение (П. 6. 3) системы (П. 6. 2) един­ ственно, то теорема доказана.

174

Л и т е р а т у р а к г л а в е 2

1.Л. Д. Л а н д а у , Е. М. Л и ф ш и ц. Квантовая механика. Физматгпз, М., 1963.

2.И. Г. К а п л а н . Симметрия миогоэлоктронных систем.

10.П. А. М. Д II р а к. Принципы кваптовой механики. Фпзмат-

гиз, М., 1960.

11.Л. Д. Л а н д а у , Е. М. Л н ф ш п ц . Статистическая физика. «Наука», М., 1964.

12.Дж. С м а р т. Эффективное поле в теорип магнетизма. «Мир»,

М., 1968.

13.Л. Д. Л а п д а у, Е. М. Л и ф ш и ц. Электродинамика сплошных сред. Гостехиздат, М., 1957.

14. В. Г. В а к с , А. И. Л а р к и н , С. А. П и к и н. ЖЭТФ,

■51, 361, 1966.

15.L. Р. K a d a n o f f , Rev. Mod. Phys., 39, 395, 1967.

16.В. П. П о к р о в с к и й. УФН, 94, 128, 1968.

175