Файл: Физика магнитных диэлектриков..pdf

(i =

l,

2, . .

v(S'a)), следовательно, обозначены те из функ­

ций

S ’a

(°і> °2> •••> °лгв-ь

aNa),

которые

соответствуют

спину

(N

— 1)-й частиц

(1,

2,

Na— 1). Аналогич­

ным

образом

определяются

и ^ (S w )(sp (а,ув+1, о,уя+2, . .

on-ü

аN),

а

также

cp(s«Hs') (гг, . .

гЛѴі;

r,yj и

(rjve+li

. .

гдг-ь’

Глг).

Поэтому

выражение

(П. 2.5)

примет вид

/п) (jf) =

NaNb (ѵЛ )-і 2

2 ѵ т а * т а ф

s i) X

4

Si

SJ),

(П.2.6)

где

ХГ(5;

5;,

Ф( ^' . ^ ) =

5

••••

Bva- r

H Ü X

Х

^

)(^

(‘Ѵя+і , . . . ,

TN)

(Pl, ...

• • ■.

тЯ г 1 ,

тя ) <P^i)(Ss) ( г Яа+1,

. . .,

ГЯ_ Ѵ Г^);

Г(5;

S'a,

S | ) = 2 x ^ , № i ) («i.

<4-i'

Чн’

{<T>

0ЛГа+1> ■•

• >°JV-1.

°Лг)

^SaS^ (al ............ °jVa- l ,

aNl

(П .2.7)

a A ’a + 1 ’ • • • ’ СЛ'-1> а ,Ѵй);

,isM)(s'as'b)

'oJo

( а ь

■ ■ • *

с лгя ’

°лга + і >

• • • >

q n ) —

=

2

(SaS bmamb I SM)

^

(аь

. . ., o^) x

нід+иі^Ж

A'a+l> • • • >

В формулах

(П. 2. 7) i0 (/0) — любое из совокупности зна­

чений

1,

2, . . .,

V(5') (1,

2, . . .,

ѵ(£і)), поскольку, согласно

кому представлению

ГѴ^

и

(т. е. к какому

спину

Sa и Sb) относятся соответствующие

функции. В

(П. 2. 6)

от спина S зависит

лишь

Г (б1; S ’a,

Sb).

Перейдем

теперь

к вычислению Г (5;

S'a, S'b).

Ф у н к ц и и

^(So«>a)(Sa)(a i)

. . ., О ^ - ь

a ,y j

ЯВЛЯЮТСЯ

С уП вр-

• п о з и ц и е й п р о и з в е д е н и й ф у н к ц и й

(Na — 1)-й ч а с т и ц ы (1,2,...

. . ., Na— 1) с

с у м м а р н ы м с п и н о м

S'a и

S'z = па

(^,

■. .

• • •> °Na-1 ) и

ф у н к ц и й

Xpa(aNa) ч а с т и ц ы Na с о с п и н о м

5 =

1/2

и п р о е к ц и е й s , = ц а = + 1 / 2 ,

п р и ч е м э т а с у п е р п о з и ц и я

х$*в*в)ф)(01.......

сУя) =

2

(5 '1/2 naPa15a ) X

=

Хх'Д''а)( ^

«a+/'«=>»а

(П. 2.

Аналогично

J W

( si)fa

0

0 \

=

V

(6/ l/2re4p4| S4w4) X

7-і

(°лга+і>

•••> °лг-

і>°jv)

»b+Pb=i»b

(Г1. 2.

X

(ajV0+i>

• • •

°#-i)Ttp4 (“Л')-

Подставим выражения (11.2.8)

и (11.2.9)

в

формулу

(П. 2. 7) и выпишем явно четыре

слагаемых

с ра = + 1 / 2

и рь = + 1/2, воспользовавшись соотношением

(SaSb, т а+ 1,

mb— i\SS) = —{S„Sbmamb\SS)X

X [($„ +

та + 1) (Sa — ma) p z [{Sb-

mb +

1) (Sb + mb)\~'/=. (П. 2. 10)

В результате получим

T(S;S^,S't) =

2

(SaSbmamb \SS)*{(S'a ll2,

ma - i / 2 ,

ma+mfj=S

1/2 |.Seme)2 (S'b 1/2, mb -

1/2, l/2\Sbmb)i + (6/ 1/2, ma +

1/2,

—1/2 I Sama)2 (S'b 1/2,

m4+ l/2 , -1 /2

| Sbmbr- -[(.? „ + ma + 1) X

X (S ;i/2 ,

via +

1/2, 1/2 |S„,

me + l) ( S ; i/2 ,

i»4- 1 /2 , 1/2 | S4i»4) X

X (SJ 1/2,

m4 -

1/2, —1/2 I S4,

- 1) - \{Sb +

mb + 1) (Sb -

//i4)Jv- X

X 1(5« + ma) (Sa ~ m a + І)ГѴ=(S'

1/2, ma - 1/2,

1/2 | Samu) X

X (S ;i/2 ,

тяв— 1/2,

-1 /2 , |S e,

m „ - l) ( S il/2 ,

m4 + l/2 ,

—1/2 I Sbmb) {Sb 1/2,

m4 + l/2 ,

1/2 16-4,

i»4 + l)}.

(П .2. 11)

Явные выражения для коэффициентов

(Д 1/2

[ jin)

(т — 7Щ-f- т2,

tn2=

+ 1/2)

удобно

представить

в виде

таблички

/ i = / —

Я =

j +

1/2

1/2

1/w ) =

] /

/ - " *

f

І +

m

+

1

7ге.2 = — 1/2

(Я 1 /2

r

2/j +

l

Г

2/j +

1

(П.2.12)

1 /

/ + m

I

— »i +

1

ти2— +1/2

Г 2Д +

1

Г

2 h +

1

Подставляя

для

каждого

из

значений S'a =

Sa + 1/2,

£ 4 = 54 +

1/2 в

формулу (П. 2.11)

соответствующие коэф-

1

(_1\(sa-Sâ)-(Sb-S'b)

L J J ---------------------------2< s „ s ,,>

(П. 2. 13)

2

(25І + 1) (25^ + 1)

Здесь введено обозначение

2 <(S0S4> — S (iS + 1) — ‘5a (iSa -( - l) — Sb (Sb

1) (П .2 . 14)

для собственного значения оператора

2SaS4 в состоянии

с суммарным спином (обоих атомов)

S, образованном из

ѵ(/Ѵ;

S) =

N \(2S ■

(П. 2. 15)

( y + S + l ) i ( 5 - s ) l '

Подставив / s ’ (Ж)

в выражение (2. 48),

получим

ESaSb (S) - Е0= - { у

2

2

( - i f a~S'a)~{Sb~S'b) (25І +

1) (25j + 1) X

t

S'a

s'b

X J {S'a,

S'b) +

2 < S A > 2

2 1 (s i . s ^)) •

( П . 2 . 1 6 )

S'a

S'b

J

n s'tt< S'b) =

( - l ) ^ ~ 4 ) I W t) [(2Se +

i) (2Sb + 1)]-1 X

X

~N

1/2

X

! + {Sa -~S'a) (2Sa + 1) +

+

( S 6 - 5 i ) ( 2 S i + l H - l / 2 ] ® ( S ; ,

S'b). (П. 2 .16a)

<

х =

- 2 Jahè ß b, где

(S'a,

S'b)-

(П .2.17)

4 4

i

S'a =

В частности, для двух атомов водорода (Sa=Sb = ^-,

=S;=0)

пз

формул (П. 2. 17), (П. 2.

16),

(П.

2.

14) и

предствлений Гах Г 6.

Гамильтониан обменного взаимо­

действия в этом случае имеет вид

^ех=

2/§п§(|,

(П. 2. 18)

где К и / — матрицы, действующие

в простраистве

V(Га) V(Г4) орбитальных состояний. Собственные значе­

ния этих матриц К (Г) и J (Г) вырождены с кратностью

V(Г) представлений Г ( 2

ѵ(Г) = ѵ (Га) ѵ(Г4Д . Величины К (Г)

Оператор суммарного

спина

N

s = 2 s <-

( п . з . і )

•г? = 2 ‘Ч У .

(П .3.2)

0 = 2

= 2 2 '

qx^q'x^qx’

(П. 3. 3)

q r~ f q x

Здесь Uj’j — матричный

элемент

между

состояниями /'

и j одночастичного оператора й (I).

Ид'т', 5Т = 2

а Sd3r(Ppr' (г. °)

“ (г, о) V

( г , а)-

( П . 3 . 4)

Поэтому оператору S (П. 3. 1) сопоставится

s = 2 2 ( §)w ^ ' V

(п -3-5)

х х '

q