Файл: Физика магнитных диэлектриков..pdf

ные с колебаниями магнитного момента уравнениями Максвелла [3]

В дальнейшем нас будут интересовать решения в виде плоских воли

Тогда, согласно выражениям (4. 4), имеем

[q X Ь (to, q)] = 0, qh (w, q) = —4icqm (ы, q),

T. e. поле h ( cd, q) параллельно волновому вектору q и равно

При непосредственном дифференцировании выраже­ ния для энергии по деформации вместо соотношения (4. 6)

(4. 2)—(4. 7) полностью определяют задачу о распростра­ нении в кристалле связанных магнитоупругих волн. В на­ стоящей главе мы будем интересоваться волнами малой амплитуды, в связи с чем уравнения движения должны быть линеаризованы, т. е. в них следует сохранить только члены первого порядка по переменным смещениям и на­ магниченности. Решения уравнений движения ищутся в виде плоских волн, а собственные частоты и дисперсион­ ные соотношения получаются, как обычно, из равенства нулю детерминанта для амплитуд плоских волн.

Использование выражений (4. 1)—(4. 7) для описания распространения в кристалле связанных магнитоупругих волн приводит к результатам, хорошо согласующимся с результатами эксперимента [8], и в дальнейшем в этой главе мы будем пользоваться именно этими выраже-

287

нііями. Однако следует иметь в виду, что изложенный выше подход к задаче о связанных магнитоупругих волнах является приближенным, поэтому в целях сохранения общности мы кратко изложим здесь основы строгой теории магнитоупругого взаимодействия [5, 9—11].

§ 3. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ МАГНИТОУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В предыдущем рассмотрении энергия ферромаг­ нетика складывалась из энергии жесткого намагниченного тела, энергии упругого немагнитного тела и энергии маг­ нитоупругого взаимодействия. Такой подход имеет при­ ближенный характер, поскольку магнитное и упругое состояния ферромагнетика влияют друг на друга. В част­ ности, это влияние приводит к томзц что из-за объемных вращающих моментов, возникающих при взаимодействии магнитного момента с магнитным полем, тензор напряже­ ний уже не является симметричным, как это имеет место в обычной теории упругости. Далее следует учитывать, например, что деформация в упругой волие в общем слу­ чае приводит к поворотам элементов объема тела, в ре­ зультате которых возникают локальные эффективные поля магнптокристаллографической анизотропии. Эти поля мо­ гут вносить дополнительный вклад как в упругую, так и в магиитоупругую энергии. Следует также иметь в виду, что при записи энергии с точностью до квадратичных членов по малым переменным (что необходимо при со­ ставлении линеаризованных уравнений движения) нужно учитывать и квадратичные по градиентам смещений слагае­ мые в тензоре деформаций.

При записи энергии и уравнений движения мы будем пользоваться величинами, отнесенными к единице массы, а не объема ферромагнетика, поскольку при упругих де­ формациях тела происходит изменение объема, масса же, конечно, сохраняется. Кроме того, следует также разли­ чать пространственные (эйлеровы) координаты x t и мате­ риальные (лагранжевы) координаты а ;, связанные с части­ цами тела [12].

Отнесенная к единице массы потенциальная энергия ферромагнетика F является некоторой функцией компо­

288

входить в выражение для энергии не в произвольном виде, а. только в виде некоторых инвариантных комбинаций, которые обеспечивают инвариантность функции F отно­ сительно произвольных поворотов ферромагнетика как це­ лого. Оказывается, что в качестве таких инвариантов мо­ гут быть выбраны следующие величины [10].

Квадратичная комбинация градиентов деформации в материальном описании (тензор деформации Грина)

в материальном описании.

Компоненты магнитного момента в материальном описании

Тогда выражение для энергии с точностью до членов квадратичных но малым градиентам смещений и магнит­ ного момента можно записать так:

где вместо компонент магнитного момента мы использовали направляющие косинусы а* = р.*/р.0 и а. = р,-/р0 (р0— намаг­ ниченность насыщений на единицу массы ферромагнетика).

получаем

Подставляя эти выражения в формулу (4. 8), переходя от т]/т к градиентам смещений н сохраняя члены только

до второго порядка но градиентам смещений, получаем

Если ферромагнетик находится во внешнем магнитном поле, то в выражение для энергии войдут еще слагаемые

Перейдем далее от лагранжевых координат к эйлеро­ вым с точностью до квадратичных членов по градиентам смещений

Кроме того, будем рассматривать малые колебания маг­ нитного момента около положения равновесия а7с= a£ + ät .

Тогда, учитывая, что в положении равновесия

290

{dFAT1ld gc )0=0, получаем окончательное выражение для энергии

Коэффициенты в этом выражении имеют тот же смысл, что и коэффициенты в соотношении (4. 2) с учетом того, что в одном случае энергия отнесена к единице массы, а в другом — к единице объема. (В (4. 10) включен также член с коэффициентами B'.jklmn, описывающими магнито­

упругие эффекты второго порядка; такой же члеи можно ввести и в выражение (4. 2)).

При необходимости, продолжая разложение (4. 8), в выражении для энергии можно учесть и другие слагае­ мые более высокого порядка, например обменную стрикцию.

Сравнивая выражения для энергии (4. 10) и (4. 2), можно видеть, что в (4. 10) в «упругой» и «магнитоупру­ гой» энергиях появились дополнительные слагаемые. Как следует из формулы (4. 10), магнитоупругпе коэффи­ циенты вносят непосредственный вклад в упругую энер­ гию и, кроме того,возникает добавка к упругой и магнито­ упругой энергии, связанная с энергией магнитной кри­ сталлографической анизотропии. Однако значения упру­ гих и магпитоупругпх постоянных и констант анизотро­ пии для большинства кристаллов таковы, что дополни­ тельные слагаемые в выражении (4. 10) оказываются ма­ лыми. Так, их вклад в упругую энергию составляет

10-5, а в магнитоупругую — ^ 10-2. Поэтому во мно­ гих случаях дополнительными слагаемыми в энергии можно пренебречь, и тогда выражение для энергии (4. 10) сво­ дится к (4. 2).

Запишем далее уравнения движения и выражения для эффективных полей и напряжений, которые исполь­ зуются в строгой теории магнитоупругих взаимодей­ ствий [5].

19* 291