Файл: Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие.pdf

массы или имеются приводные зубчатые колеса, шкивы, блоки. Правильность выбора расчетной схемы должна быть проверена экспериментально или доказана теоретически.

Таким образом, при зажатом вале необходимо для консолей и всех пролетов в отдельности найти критические скорости и выбрать рабочую скорость с таким расчетом, чтобы она не была близка ни к одной из найденных критических скоростей.

§ 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ ВАЛОВ С ФРИКЦИОННЫМИ ЦИЛИНДРАМИ (НАСАДКАМИ)

На многих крутильных машинах применяют так называемые секционные валы, состоящие из нескольких секций, которые со­ единены между собой вкладышами — сухариками из пластмассы. Концы каждой промежуточной секции опираются на сферические шариковые подшипники, поэтому каждую секцию при определении критической скорости следует рассматривать как балку, опертую по концам (рис. 32). Например, на машине ФЭ-125-И стальной вал постоянного сечения имеет восемь пластмассовых или алюми-

Рис. 32. Схема вала с фрикционными цилиндрами (насадками) крутильной этажной машины ФЭ-125-И

ниевых фрикционных цилиндров (насадок), которые можно рас­ сматривать как сосредоточенные грузы. В этом случае при опре­ делении критической скорости нельзя пренебрегать массой вала, так как она соизмерима с общей массой всех насадок.

Разделив секцию на восемь частей и сосредоточив общую массу каждой части с учетом массы насадки в центре тяжести насадки, получим невесомую балку с сосредоточенными массами, для кото­ рой основную критическую скорость всей секции легко найти по формуле Донкерли (21) или по формуле Рэлея (56).

При определении критических скоростей высшего порядка с учетом распределенных и сосредоточенных масс следует поль­ зоваться методом сил с учетом рекомендаций Лунца Е. Б., когда к сосредоточенной нагрузке добавляют г/3 веса того участка вала, на котором расположена данная насадка. В результате получим невесомую балку с одними сосредоточенными нагрузками.

Нетрудно заметить, что при восьми насадках необходимо составить 16 уравнений деформаций: восемь — для прогибов г/г и восемь — для углов поворота ср£-.

При совместном решении 16 уравнений требуется проделать большую вычислительную работу, поэтому подобные расчеты сле­ дует выполнять на специальных вычислительных машинах.

52

ГЛАВА III

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ДЕФОРМАЦИЮ ОБОЛОЧЕК И ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

§ 1. ВЫВОД ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ

В производстве и отделке химических волокон применяют обо­ рудование с большим количеством деталей и узлов в виде оболочек и тел вращения различных форм и размеров (фильеры для раство­ ров полимеров, транспортирующие и вытяжные диски, бобины, шпули, катушки, отделочные и приемные кружки центрифуг, шахты, валы, трубы, емкости, барабаны и другие аналогичные

Меридиан всегда совпадает с образующей.

Плоскости, перпендикулярные оси вращения, пересекают поверхность по параллельным кругам с радиусами г.

Радиус кривизны линии пересечения поверхности плоскостью, перпендикулярной меридиану в заданной точке, называется вто­ рым главным радиусом R 2 кривизны поверхности в той же точке. Этот радиус равен отрезку нормали к поверхности, заключенному между поверхностью и осью вращения 0 0 (осью симметрии).

Центры кривизны К г и К 2 радиусов R x и R 2 лежат на одной прямой, причем центр К 2 лежит на оси вращения оболочки.

Угол X между нормалью п к поверхности и осью вращения 0 0 называется широтой заданной точки М.

53

Из рис. 33 следует, что радиус параллельного круга

г— R 2 sin X,

аэлементарная длина отрезка этого круга

ds2 = rdq> = R 2 sin Ыф,

где dq> — угол между меридиональными плоскостями;

R 2 = К 2М.

Рис. 34. Схема равновесия элемента оболочки

Длина элемента меридиана

ds^ R i dX,

где

R i = К , М .

Площадь элемента поверхности, заключенной между двумя меридиональными и двумя параллельными кругами,

dF = ds1ds2 = R i R 2 sin XdXdy.

Рассмотрим равновесие элемента поверхности (рис. 34), полу­ ченного в результате рассечения оболочки четырьмя плоскостями: двумя меридиональными, пересекающимися под углом <іф и об-

54

разующими два сечения abed и hqfe, и двумя нормальными, пер­ пендикулярными меридиану, который проходит через точку Р срединного сечения (срединным является сечение, точки которого одинаково удалены от внутренней и внешней поверхности стенки оболочки). Две нормальные плоскости пересекаются под углом dX

идают два сечения ahed и bqfc.

Вобщем случае на каждую грань элемента действуют продоль­ ные силы растяжения или сжатия, поперечные силы и изгибающие моменты.

При расчете тонкостенных оболочек, как и при расчете тонких

пластин, учитывая незначительную толщину б стенки по сравне­ нию с радиусами R t и R 2, принимают следующие допущения:

а) внутренними силами сжатия или растяжения, действую­ щими нормально к срединной поверхности оболочки (в направле­ нии радиусов кривизны Д, и R 2), можно пренебречь (гипотеза не-

gEnAmDIB оболочки до деформации, остаются нормальными и после деформации (гипотеза неизменности нормали).

Учитывая осесимметричность нагрузки, получим на гранях abed и hqfe одинаковые и обратно направленные нормальные силы и моменты, стремящиеся повернуть грани вокруг касательных к срединным меридианам ng и ml этих граней.

На грани ahed и bqfc действуют: моменты, стремящиеся повер­ нуть эти грани вокруг касательных пт и gl к параллельным кругам которые проходят через центры Л и В граней; нормальные силы, направленные вдоль меридиана; поперечные силы, направленные по радиусам кривизны R 2 срединной поверхности.

Единичные силы и моменты, действующие на элемент:

Тх — нормальная сила к грани ahed, действующая на единицу длины параллельного круга gBl срединной поверхности

ина всю толщину 6 стенки (меридиональная сила);

Т2 — нормальная сила к грани abed или hqfe, действующая

на единицу длины меридиана срединной поверхности

ина всю толщину б стенки (кольцевая сила);

М2 — изгибающий момент, действующий на единицу длины меридиана срединной поверхности и на всю толщину б стенки и стремящийся повернуть элемент вокруг ме­ ридиана (кольцевой момент);

—изгибающий момент, действующий на единицу длины параллельного круга срединной поверхности и на всю толщину б стенки (меридиональный момент);

N— поперечная сила, действующая на единицу длины парал­ лельного круга и на всю толщину б стенки и лежащая

в плоскости сечений, нормальных к меридиану (эта сила направлена вдоль радиусов и R 2).

Проведем через центр Р элемента систему координат так, чтобы ось X была направлена по касательной к меридиану АРВ в сторону

55

возрастания угла X, ось у — по касательной к параллельному кругу EPD в сторону возрастания угла ер, а ось z ■— по нормали к срединной поверхности в сторону центров кривизны Кі и К 2.

Обозначим через рх и рг составляющие внешних сил на единицу поверхности в направлении осей х и г.

Вэтом случае на грани элемента действуют следующие силы

имоменты:

на грани abed и hqfe сила T 2R xdX и момент M 2R xdX\

pz dF = pzR xR 2 sin X dX dtp.

Под действием этих сил и моментов элемент оболочки будет находиться в равновесии

1

рх dF = 2 n R 1R 2px sinX dX,

вдоль оси z

деленной зоны с широтой Х2. Приравняв последние две силы, полу­

я,

57

Из уравнений (68) и (71) получаем

Пятое уравнение можно составить с учетом упругих деформаций оболочки, возникающих от действия перечисленных сил и мо­ ментов.

Деформация элемента срединной поверхности. При вращении оболочки под действием центробежных сил или внутреннего дав­ ления любая точка срединной поверхности перемещается в новое положение, которое может быть определено двумя координатами их и иг (их — перемещение точки вдоль меридиана, т. е. вдоль оси х; иг — перемещение точки вдоль радиуса R x\ т. е. вдоль оси г).

Угол поворота ѵ меридиана в результате деформации оболочки определяем по формуле

R-

откуда

Так как длина элемента меридиана увеличивается на dux— иг dk, то меридиональное относительное удлинение

4их - ^

отсюда

Радиус параллельного круга изменится на

Ar = их cos к — иг sin к,

а кольцевое относительное удлинение составит

Из полученных зависимостей найдем

58

Интегрированием последнего уравнения находим деформации элемента:

Ar = (Г2 — рГх) sin Я,

где olt о 2— напряжения;

р— коэффициент Пуассона;

Е— модуль упругости материала оболочки;

б— толщина оболочки.

Зная их и иг, легко найти ѵ и перемещение Ьточки вдоль оси 00 оболочки:

В практических расчетах, когда представляют интерес только упругие деформации, можно полагать С = 0 и определять только Т г\ Т 2; иг\ их\ V , Ar. Во всех остальных случаях С следует.опре­ делять из граничных условий.

59