Файл: Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие.pdf

Приравняв определитель этих уравнений нулю, получим урав­ нение частот

рітѲ (flußu — a n é„) — р 2 (an m -f ßlx0) + 1 = 0 , (58)

откуда найдем низшую и высшую частоты собственных колебаний

§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ

ВРАЩАЮЩИХСЯ ВАЛОВ

Вращающиеся валы также подвержены всем видам колебаний. При определенных значениях скорости вращения амплитуда попе­ речных колебаний резко возрастает. Такие значения скорости вра­ щения называют критическими скоростями.

Определение критических скоростей практически необходимо для правильного выбора рабочих скоростей. Нельзя допускать, чтобы рабочие скорости были равны или приближались к критическим.

Рассмотрим вращающийся с угловой скоростью <о вал, на который эксцентрично насажен диск массой т (s — центр тяжести диска). Собственной массой вала пренебрегаем (рис. 25).

При вращении на вал со стороны неуравновешенного диска действует возмущающая центробежная сила (рис. 26)

Р ь = та>2е,

где е — эксцентриситет.

Проекции этой силы на оси у и х

Ру = Р 0 sin a>t = таРе sin (dt\

Рх = Р 0 cos at = та>2е cos cdt

изменяются по гармоническому закону.

43

Выше рассмотрены вынужденные колебания, когда возму­ щающая сила изменяется по гармоническому закону. Из уравне­ ния (10) следует, что амплитуда вынужденных колебаний

Проекции амплитуды на оси у и х

Точка а закрепления диска на валу (см. рис. 25) движется по окружности радиусом

с угловой скоростью к», равной скорости вращения вала.

Как отмечено выше, прогиб г = у вала стремится к бесконеч­ ности, когда скорость вращения со приближается к частоте р соб­ ственных колебаний вала.

При со > р радиус г стремится к е, т. е. центр тяжести s диска располагается на оси вращения, а изогнутая ось вала вращается вокруг этой оси со скоростью со.

Так как критическая скорость вала равна частоте его собствен­ ных колебаний, то для ее нахождения применимы все методы, служащие для определения частоты изгибных колебаний. Однако при наличии на вращающемся валу дисков больших диаметров на частоту собственных колебаний влияют так называемые гиро­ скопические моменты дисков (шкивов, маховиков, колес и пр.).

При высоких скоростях вращения и больших моментах инерции масс насаженных на вал дисков, возникают так называемые гиро­ скопические моменты, которые существенно влияют на характер колебаний вала.

Рассмотрим схему, состоящую из невесомого вращающегося вала и закрепленного на нем диска (рис. 27). Ось х неподвижной системы координат хуг совпадает с геометрической осью диска при «а = 0. Ось х х подвижной системы координат совпадает с гео­ метрической осью диска при со > 0.

При вращении возникают упругие деформации вала, в резуль­ тате чего оси х х, у х, гх подвижной системы координат, связанной с диском, располагаются под соответствующими углами q> по отношению к одноименным осям неподвижной системы.

44

Для определения моментов, действующих на диск со стороны вала, воспользуемся теоремой, согласно которой производная момента количества движения диска по времени равна моменту

Таким образом, моменты приложенных к диску сил относи­ тельно осей у и z составят

В соответствии с законом равенства сил действия и противо­ действия заключаем, что с диска на вал передаются такие же мо­

45

Используя метод сил, найдем зависимость деформации вала от перечисленных сил и моментов (рис. 28):

здесь аи , а12, а22— коэффициенты влияния (ап — смещение диска при действии единичной силы; а12 — поворот диска (вала) от действия той же силы; а22 — поворот от действия единичного момента).

Рис. 28. Вал с закрепленным диском, деформированный:

а — в плоскости (/о,х; 6 — в плоскости гогх

Решение системы уравнений (60) можно представить в виде

в этих выражениях А и В — соответственно прогиб и угол поворота изогнутой оси в точке О закрепления диска.

Оба вида решений (61) и (62) соответствуют вращательному движению изогнутой оси вала с угловой скоростью р; причем для первого из них принято, что изогнутая ось вращается в на­ правлении вращения вала (прямое вращение изогнутой оси), для второго — что изогнутая ось вращается в сторону, противопо­ ложную направлению вращения вала (обратное вращение изогну­ той оси).

46

Подставляя выражения (61) в систему уравнений (59), получим значения моментов М у и Мг при прямом вращении изогнутой оси:

Му = — ( / 0- |---- l ) p \ z \

(63)

Мг= ~ ( і 0-^---- l ) p \ y .

Здесь знак минус в выражении для Му показывает, что на рас­ четной схеме направление момента Му надо изменить на обратное.

Отсюда следует вывод, что гироскопический момент

направлен в сторону уменьшения прогиба А и угла поворота В. Подставляя выражения (62) в систему уравнений (59), найдем

т. е. гироскопический момент направлен в сторону увеличения прогиба А и угла поворота В.

Подставляя выражения (61) и (63) в уравнения (60), получим для прямого вращения изогнутой оси

Л(1 — Р2/П0ц) — В (р2І — рсо/о) «ц = Ö;

В момент резонанса р — со. Это обстоятельство следует учи­ тывать при решении уравнений частот (66) и (67), т. е. при опре­ делении критических скоростей с учетом гироскопических мо­ ментов.

Определение коэффициентов влияния« При определении коэф­ фициентов влияния для всех систем закрепления и нагружения балки или вала используют дифференциальное уравнение упругой линии изогнутой балки

Ely" = 2 М.

В качестве примера рассмотрим консольную балку (рис. 29).

47