Файл: Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие.pdf

Решая это уравнение, получим выражение для определения р при заданных значениях а, b и /:

(sh pb + sin pb) (sh pa cos pi + sin pa ch pi) — (ch pb +

Уравнение частот (47) является трансцендентным и имеет бесконечное количество значений р.

При определении р удобнее пользоваться графическим методом, при этом выражение (47) приравнивают переменной z и, задаваясь

значением р, строят кривую г = f (р). Точки пересечения кри­ вой z = f (р) с осью абсцисс р дают искомые значения корней уравнения.

Критическую скорость балки, лежащей на трех опорах с про­ летами одинаковой длины /, подсчитывают по формуле (рис. 15)

§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ МНОГООПОРНЫХ ВАЛОВ, ШТАНГ И БАЛОК

В машинах для производства химических волокон имеется мно­ жество упругих систем, которые при расчете критических скоро­ стей можно уподобить многоопорным балкам (цилиндры пита­ ющих и вытяжных приборов, нитеводительные штанги, много­ опорные приводные валы, кольцевые планки, веретенные брусья и т. д.).

При определении критических скоростей таких систем обычно применяют приближенные методы, позволяющие определить пре­ делы интервала, внутри которого лежат наибольшая и наименьшая частоты многоопорных балок.

Метод, предложенный Е. С. Сорокиным, заключается в сле­ дующем.

Рассматривая каждый пролет как балку, свободно лежащую на двух опорах, находим для него основную (первую) критическую скорость по формуле (36). В результате определим столько кри­ тических основных скоростей, сколько имеется пролетов и в том

числе минимальную /£?іп и максимальную /^вах

Затем, рассматривая все промежуточные пролеты как балки, заделанные по краям, а концевые — как балки, заделанные в од­ ной опоре и свободно лежащие на другой, находим основные ча­ стоты соответственно по формулам (40) и (38). Среди этих частот

Значения / т1п и /тах определяем по эмпирическим формулам

(49)

(50)

§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЫ С УЧЕТОМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МАСС

В практических расчетах можцо найти основную (низшую) ча­ стоту колебаний приближенным методом Рэлея, суть которого заключается в замене распределенной массы сосредоточенной (при­ веденной) массой, приложенной в сечении, опасном с точки зрения амплитуды колебаний.

Вэтом случае, например, консольную весомую балку длиной I

сраспределенной массой (рис. 16, а) надо заменить невесомой балкой с приведенной массой тпр, приложенной на конце консоли

(рис. 16, б).

Приведенной является масса, которая дает невесомой балке

такую же основную частоту колебаний, какую имеет весомая балка с распределенной массой; приведенная масса имеет кинети­ ческую энергию, равную кинетической энергии весомой балки.

Кинетическая энергия: приведенной массы

34

весомой балки с распределенной массой

Fydx • а

Ч у •

В этих выражениях:

упр — скорость колебательного движения приведенной массы (Упр — смещение приведенной массы);

у— скорость колебательного движения центра тяжести элементарной массы dm, удаленной от начала координат на расстояние х ; (у — смещение центра тяжести эле­ ментарной массы, удаленной от начала координат на

расстояние х);

F — площадь поперечного сечения балки;

Рис. 16. Консольная балка:

а — весомая с равномерно распределенной массой; б — невесомая с приведенной массой^ на конце

Из условия Е пр = Е р находим

Заменяя отношение скоростей отношением деформаций, полу­ чим

I

^пр

Прогибы у и упр находим для невесомой балки с приложен­ ной к ее концу силой Р .

Опуская выводы, получим

Следовательно, основную частоту собственных колебаний ве­ сомой консольной балки с распределенной массой можно опреде­ лить по формуле (4), заменив т на тпр:

Рис. 17. Балка на двух опорах:

а — весомая; б — невесомая с приведенной массой посредине

Если балка длиной I свободно лежит концами на двух опорах, то масса т пр, сосредоточенная в середине балки, составит (рис. 17)

Рис. 18. Балка на двух опорах с выступающей консолью:

а — весомая с распределенной массой; б — невесомая с приведенной массой на конце консоли

Для балки на двух опорах с выступающей консолью (рис. 18)

Энергетический метод определения критической скорости. При­ меняя принцип сохранения энергии к незатухающим колебаниям системы, получим (см. рис. 5)

К + П — const,

36

где К и П — соответственно кинетическая и потенциальная энер­ гия колеблющейся системы;

(56)

где Qi — вес і-то груза;

Уст. і — статический прогиб балки под грузом Рассмотренный метод можно применить и при определении

основной критической скорости весомых балок. Для этого необ­ ходимо разбить балку на несколько частей, приложить в центре тяжести каждой части сосредоточенный груз Qit равный весу этой части, найти смещение уст { для каждого груза и по формуле (56) определить fci. Смещение грузов или прогибы лучше опреде­ лять из уравнения упругой линии для балки с равномерно рас­ пределенной нагрузкой.

37