Файл: Океанография и морская метеорология учебник..pdf

При выводе формулы (5.141) В. В. Шулейкин исполь­ зовал результаты продувок твердых моделей волн, а также непосредственных определений энергии, переда­ ваемой ветром волне в штормовом бассейне.

Диссипация энергии на турбулентное трение Е0 так­ же связана с элементами волны. Она определяется со­ отношением

Таким образом, учитывая формулы (5.139), (5.140), (5.142), можно сказать, что уравнение баланса энергии волн (5.138) связывает между собой неизвестные элемен­ ты волны— высоту h и длину X в любой момент време­ ни t со скоростью ветра W, продолжительностью его дей­ ствия и расстоянием, проходимым волной вдоль оси х.

Математический анализ уравнения энергетического баланса показывает, что в него входят две неизвестные величины:

При наличии двух неизвестных для решения задачи требуется система двух уравнений. В данном случае уравнение баланса энергии необходимо дополнить соот­ ношением между крутизной и возрастом ветровых волн. Этот вопрос авторы решают различно. Так, Маккавеев полагает, что Ь —const, но это не согласуется с натурны­ ми наблюдениями. Лучше согласующееся с эмпириче­ скими данными соотношение между 8 и ß вывел Ю. М. Крылов, исходя из уравнения движения поверх­ ностного слоя моря и уравнения движения атмосферы выше слоя трения. В. В. Шулейкин получил второё урав­ нение системы с помощью теоремы о Моменте количества движения, характеризующее нарастание длины волны под действием, ветра.

30]

Приведенные выше соотношения показывают: увели­ чение энергии, передаваемой ветром волне, ведет к уве­ личению элементов волн, и прежде всего высот, что в свою очередь вызывает увеличение затрат энергии на турбулентное трение. При постоянной скорости ветра на­ ступает такой момент, когда вся передаваемая ветром энергия расходуется на турбулентное трение, и рост волн прекращается. Из формул (5.138), (5.141), (5.142) следует, что такой момент наступит тогда, когда ско­ рость распространения волн с достигнет такого значения по отношению к скорости ветра W, при котором Мѵ ста­ нет равным Е0. Наблюдения показывают, что такое зна­ чение скорости распространения волн близко к 0,75 W, т. е. возраст волны ß= 0,75.

Если бы трение отсутствовало, то прекращение нара­ стания энергии, а следовательно, и элементов волн было бы при ß= 1 .

Рассмотренные теоретические основы передачи энер­ гии ветра волне имеют ряд несовершенств. Главное из них состоит в том, что энергетическая теория рассмат­ ривает сложное волновое движение в море как систему правильных двухмерных волн. Действительная же кар­ тина значительно сложнее. Прежде всего необходимо иметь в виду, что воздушный поток, воздействующий на поверхность моря, неоднороден по своей структуре. Ве­ тер непрерывно пульсирует случайным образом по ско­ рости и направлению, вследствие чего на поверхности моря одновременно образуются волны с различными длинами, периодами, высотами, направлениями и ско­ ростями распространения. По этой причине рельеф взволнованной поверхности имеет чрезвычайно сложный вид и непрерывно изменяется во времени и пространстве. В связи с этим закономерным представляется развитие следующего направления изучения волнения — статисти­ ческое описание видимых элементов волн.

Статистическая характеристика распределения эле­ ментов волн. Применение стереофотосъемки волнения и волнографов в качестве новых инструментов для реги­ страции элементов морского волнения показало боль­ шую сложность этого явления.

У исследователей возникла мысль рассматривать элементы волн взволнованной поверхности моря как случайные переменные величины в функции времени.

302

Поэтому при обработке волнения стали применять ме­ тоды математической статистики, а при теоретическом анализе — методы теории вероятностей.

Главная задача математической статистики, и в ча­ стности статистики волн, состоит в построении и изуче­ нии функций распределения случайных величин (элемен­ тов волн). Функция распределения устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями. По­ нятие вероятности является математической абстрак­ цией частоты появления события в заданном интервале.

Суть построения функций распределения сводится к следующему. Имея наблюдения какой-либо переменной величины X, например высоты волн, всю амплитуду из­ менений величины делят на группы через равные интер­ валы Ах. Для каждого интервала вычисляется число случаев п, когда значение элемента было в пределах ин­ тервала. Затем строится график, на котором по оси аб­ сцисс откладываются интервалы исследуемого элемента, а по оси ординат — число случаев в процентах от обще­ го числа членов ряда (S/г). Получается ступенчатая диаграмма, называемая, в статистике гистограммой

(рис. 57).

Построенная на этой основе кривая представляет дифференциальную кривую распределения случайной ве­ личины X (средняя кривая на рис. 57) или плотность ве­ роятности этой величины f(x). Функция f(x) называет­ ся в океанографии п о в т о р я е м о с т ь ю . По данным дифференциальной кривой распределения путем после­ довательного суммирования числа случаев, начиная с левой части амплитуды, вычисляют ординаты интеграль­ ной кривой распределения случайной величины х—F (х) (нижняя кривая на рис. 57). Масштаб нижней кривой на рис. 57 уменьшен в два раза. Эта кривая характери­ зует функцию о б е с п е ч е н н о с т и F(x):

00

(5.145)

о

Функция обеспеченности выражает вероятность того, что, например, высоты волн имеют значения не менее заданного значения h.

303

В результате экспериментальных исследований было установлено, что функции распределения элементов волн в первом приближении не зависят от интенсивно­ сти, стадии развития и формы волнения. Б. X. Глуховским показано, что распределение высот, а также длин

Рис. 57. Показатели статистического рас­ пределения: гистограмма, дифференциаль­ ная кривая (повторяемость), интегральная кривая (обеспеченность)

волн глубокого моря выражается единой безразмерной асимметричной кривой, описываемой законом Рэлея, а распределение периодов волн глубокого моря — посред­ ством единой практически симметричной безразмерной кривой. Распределение периодов волн в прибрежной зо­ не не претерпевает заметных изменений, а распределе­ ние высот с учетом влияния глубины моря на их разно­ образие выражается посредством семейства кривых,

304

описываемых с помощью аналитической функции вида

где h — £редняя высота волн;

h* ~ Щ Н (Н — глубина моря).

Из (5.146) можно получить относительную высоту волн, выраженную через их обеспеченность

распределения высот волн в том смысле, что она отра­ жает условия как открытого моря, так и прибрежной

Распределение высот при этом соответствует нормаль­ ному (гауссову) закону. Закономерности в распределе­ нии элементов волн можно использовать для решения ряда конкретных задач.

1. При определении элементов волн любой вероят­ ности (обеспеченности) по известным значениям элемен­ тов волн.

Р е ш е н и е.

Данные о статистическом распределении элементов волн имеют большое значение для усовершенствования методики наблюдений над волнением. При обработке волнограмм статистические методы и приемы дают зна­ чительную экономию, так как позволяют вести расчеты с использованием отсчетов только 10—15% наиболее высоких волн. Более подробное изложение практических приемов расчета параметров волн при разнообразных условиях волнообразования содержится в Руководстве по расчету параметров ветровых волн, Гидрометеоиздат,

Л., 1969 г.

Изложенное выше относится к одномерным функциям распределения элементов волн. Для характеристики ста­ тистической связи между двумя независимыми случай­ ными величинами обращаются к построению двухмер­ ных функций повторяемости и обеспеченности, называе­ мых также поверхностями распределения. Двухмерная функция обеспеченности независимых величин равна произведению обеспеченности двух случайных величин. Если допустить, что высота и период волн являются не­ зависимыми случайными величинами, то двухмерная функция обеспеченности высот и периодов волн пред­ ставляется в виде

Помимо рассмотренных функций распределения вве­ дено понятие о режимных функциях распределения, охватывающих ряды наблюдений над элементами волн за длительные промежутки времени (годы, десятки лет). В отношении интегральных режимных функций выявле­ на их общая структура вида

3 0 6

где параметры а и т характеризуют особенности режи­ ма волнения отдельных районов.

Спектральное представление морского волнения. Не­ регулярность, кажущаяся хаотичность и пространствен­ но-временная изменчивость ветрового волнения приво­ дят к необходимости рассматривать волнение как квазистационарный случайный процесс. В этом случае хоро­ шие результаты дает применение теории случайных функций к ветровому волнению, в частности, методы спектрального анализа процесса. При этом взволнован­ ная поверхность выражается как конечный результат сложения большого числа отдельных простых синусо­ идальных волн с различными амплитудами, периодами, случайными фазами и направлениями распространения.

Пусть z(t) есть случайная функция, описывающая вертикальные колебания уровня во времени в фиксиро­ ванной точке относительно среднего уровня. Тогда со­ гласно теории случайных процессов эту функцию можно представить в виде суммы большого количества синусо­ идальных колебаний с различными частотами щ, ампли­ тудами и случайными фазами еі, равномерно распреде­ ленными от 0 до 2 тг. При этом амплитуду элементарного колебания представляют в виде произведения некоторой функции а(;лі) на корень квадратный из приращения ча­ стоты Др,- В результате z(t) определяется в таком виде:

а ( р і ) . Согласно теории свободных гравитационных волн малой амплитуды энергия элементарного колебания равна

где g — ускорение свободного падения;

р— плотность жидкости;

а(р) — амплитуда волны.

Функцию е(р) называют частотным энергетическим спектром взволнованной поверхности. С физической точ­ ки зрения она характеризует распределение энергии между колебаниями с различными частотами.

Частотным спектром называют также функцию а2 (р)

без множителя ■—gp. Тогда энергетические спектры изо­

бражаются графически функцией, показывающей рас­ пределение квадрата амплитуды (высоты) составляю­ щих волн в зависимости от частоты этих волн. На рис. 58 приведены примеры спектров волнения при ско­ рости ветра 10, 15 и 20 м/с. По оси абсцисс отложены

а по оси ординат — соответствующие квадраты амплиту­ ды колебаний.

Как видно из рис. 58, с увеличением скорости ветра увеличивается количество энергии, а диапазон частот с существенным количеством спектральной энергии все больше и больше распространяется на меньшие значе­ ния частот р. Максимум спектральной энергии при ско­

Определение энергетического спектра а2 (р.) в зависи­ мости от скорости ветра для установившегося волнения является первоочередной задачей спектральной теории. В настоящее время на основе обработки волнограмм различными исследователями получены аналитические

308