Файл: Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 168

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

з

 

 

 

 

2у^(Ь2-а2)

аг (bi-ai)

'

 

(5.3.36)

когда

 

 

bi +

a2

<Pi>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и при

 

 

 

 

 

<P2-

 

bi

 

 

 

(5.3.37)

 

 

bi +

a2

bi +

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bi+b2

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UXi dx2

=

 

 

 

 

 

 

(Ьг—аг)

(bi—ai)

 

 

a 2 - 1-У «2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b,+b.

 

 

 

 

 

 

 

 

=

S

 

I

 

f(xux2)dxidx2

 

 

=

 

 

 

 

1-У

 

a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

at (і —#i)2—2ya2bi

(1 —y4) +

b\yf

 

(5.3.38)

 

 

 

2Уі(і—Уі)

 

(b2~a2)

(bi—ai)

 

 

 

 

 

 

 

при условии

(5.3.37).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим область I I I :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2+a2

 

 

 

 

(5.3.39)

 

 

 

 

ї(Уі)

 

 

2р2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&2

 

Й2

 

 

 

bi

 

 

 

ai

(5.3.40)

ЄСЛИ

. , .

< p l <

 

;

• И

, , ,

<P2<-

,

 

bi+b2

Ґ 1

аі + а2

 

 

Ьі + Ь2

Ґ

і

ai + a 2

v

Интегральная

функция

распределения в этой обла­

сти запишется следующим

 

образом:

 

 

 

 

 

 

 

1-У,

 

у,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о,

Уі

ж, 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-Уі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У І.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 i -

(&2 +

 

i - y i

 

 

 

(5.3.41)

 

6i—ai

Й 2 ) -

2(/i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при условии

(5.3.40).

 

 

 

 

 

В области IV:

 

 

 

 

 

 

 

 

2уіЦЬ2-а2)

(Ьі-аі)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ai

 

 

 

 

~2(\-уі)ЦЬ2-а2)

 

 

(fti-fl,)

'

если

 

аг

 

 

 

b2

 

 

 

ai +

a2

 

r

ai + b2

 

 

 

_ ^ 1 _

<

/ 7 а

< _ ^ _ .

 

 

ai + a2^-Hi

 

ai + b2

 

 

 

v,

1-

 

 

 

 

 

 

a 1

"2

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

+

Si

S f(xl,x2)dxldx2

=

(5.3.42)

(5.3.43)

v

'

2«/i(l— tfi) [aia2+bib2—bia2]—b2

(1—г/і)2 —af

yt

2 » i ( l - y i ) ( 6 2 - f l 2 ) ( 6 i - a i )

(5.3.44)

при условии

(5.3.43).

 

 

 

 

И, наконец, область V:

 

 

 

 

 

^(0і) = 1

 

 

(5.3.45)

и

 

/ ( # , ) = 0,

если

 

 

 

 

&2

 

02

 

 

P i ^

r r

и Р 2 ^

:— •

(5.3.46)

Ґ

 

at + b2

Ґ ^

аі + а2

у

і

Нетрудно

видеть,

что интегральный

и дифференци­

альный законы распределения вероятностей возможных

исходов для р2 будут иметь тот же самый

вид,

только

Pi следует заменить на (1—рі), а (1—р2 )

на р2

анало­

гично для координаты у. Чтобы убедиться

в правильно­

сти проведенных выкладок и геометрической интерпре­

тации

исходных

данных

при образовании

областей

I—V, можно сделать проверку для простейшего

случая,

когда

bi = b2=\\

ai = a2=0.

Дл я этого случая

выраже-

16. Д . И . Голенко

241

ния

(5.3.35) — (5.3.46)

преобразуются

следующим

об­

разом:

 

 

 

 

 

 

I . р = 0,

f ( 0 , ) = / ( 0 i ) = O ;

1

 

I I . 0 < р ^ — ;

F ( J / I ) = — —

 

 

 

 

 

 

2

 

2(1—an)

 

 

I I I .

42<P<1'

j F ^ 1 ) = 1

1~Уі

(5.3.47)

2(/i

 

 

/ ( У і ) = 1 — 2 ^ i ~ :

 

 

I V .

p = \,

F(yi)=l,

/ ( # 0 = 0 .

 

 

Получившаяся при

этом

функция

^(г/і) =F{y)

мо­

жет быть изображена в виде прямой, проходящей через

точки

(0,0) и

(1,1). Приведенные

соотношения, как

видно

из рис.

5.3.3, справедливы

в

том

случае,

если

b 2 s O i

и a2^ah

Приходится считаться с

тем, что

ха­

рактер

областей I — V несколько

меняется,

если b2~>bi

 

 

7 11 .

/

 

 

 

 

 

/ ш

 

 

 

й

а2

I

Рис. 5. 3. 4. Случай b2>bl.

и ахф0, а2ф0. В этом случае геометрическая интерпре­ тация выглядит так, как это показано на рис. 5.3.4. Соотношения для соответствующих областей I — V с уче­ том изменения ориентации области существования слу­ чайных величин ті и Т2 принимают следующий вид:

I.

F(!ti)=f(!ti)=0,

если

(5.3.43)

 

 

 

Pl=p'-

 

6l +

 

0 2

 

(5.3.49)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и .

f(yi) -1-ї-

 

2</i2

J

 

 

(62 —a2 ) (6j—at )

(5.3.50)

и

F(yi)

аг ( l - £ / i ) 2 + 6?

 

 

у*-аф22у1(1-у1)

(5.3.51)

 

2уі(і—

У\) {Ьг—аг)

(61—о,)

 

 

 

 

при условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аг

 

 

 

02

 

 

 

(5.3.52)

 

 

 

6і : « , < ' > < ai + a2

 

 

 

 

 

 

I I I .

 

 

ї(Уі)

=

 

 

61 +

ai

 

(5.3.53)

 

 

2 ( l - ( / , ) 2

( 6 2 - a 2 )

и

F(yi)

=

1

 

 

 

 

 

 

 

(5.3.54)

62—a2

 

2 ( J ^ V (

 

 

fll)"fl2

 

 

b l +

 

 

 

 

 

 

 

при условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2

<Р<

 

 

 

 

 

'(5.3.55)

 

 

 

Oi + a 2

61 + 62

 

IV.

 

 

 

 

 

Оі2+0162—0262

(5.3.56)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г/i ( 6 2 — а 2 )

(61—ai)

 

 

 

(1— j/i) [а2 6 2 — a4 6 2 — oi

] + г/i [0162 + 6,62—a2 6i]

(5.3.57)

 

 

 

 

2/1(62—о2) (61—а4 )

 

 

 

 

 

при

условии

 

62

 

 

 

 

 

6 2

(5.3.58)

 

6і + ^2"

"

 

 

Оі + Ог

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V.

 

 

F(yi)

= h

 

 

ї(Уі)=0,

(5.3.59)

 

 

 

 

 

если

 

 

 

^

 

o, +

6 2

 

(5.3.60)

 

 

 

 

 

 

Таким образом, для случая, когда каждая

а-верши-

на дерева

исходов имеет

по две возможных альтернати­

вы, для решения различного рода задач, в первую оче­ редь, связанных с определением наиболее предпочти­ тельных путей в стохастической сети, можно использо­

вать в качестве

априорной

информации

полученные

соотношения. Следует

отметить,

что

случай,

когда

п = 2 (дихотомии), на практике

является

наиболее

часто

встречающимся.

Поэтому распределения

вероятностей,

полученные исходя из

принятого

критерия,

могут

рас-

16*

243

СМаірйваться как первая попытка решения задачи тео­ рии статистических решений в области анализа случай­ ных сетей. Последние, как показывает практика, нахо­

дят

все большее

применение

при рассмотрении

слож­

ных

процессов,

характеризующихся высокой степенью

неопределенности. Аналогично

можно

вывести

соотно­

шения для случая п исходов и более

сложных распре­

делений вероятностей.

 

 

 

Рассмотрим приложения полученных результатов к задаче анализа весьма широкого класса стохастических

сетей,

использующей и

объединяющей

оценки

по от­

дельным

а-вершинам

для

характеристики

процесса в

целом. В

работе

[5.24]

определено

преобразование ис­

ходной стохастической

сети

G(Y, U)

в

дерево

исходов

D(A,

V).

Показано,

что

преобразование

G(Y, U)->-

-+D(A,

V) влечет

за

собой определение соответствую­

щих обобщенных характеристик

ветвей

дерева исходов,

в том числе для каждой ветви

могут быть известны:

а) длина ветви, обозначаемая большей частью через

%ц, і — начало ветви, / — конец

ветви. Для реальных мо­

делируемых процессов это может быть

время перехода

из состояния і в состояние /;

 

 

б) распределение ВерОЯТНОСТеЙ f(Xij)

ДЛИНЫ веТВИ Vij,

заданное своими параметрами. В этом случае задаются

либо

величины a,j,

Ьц, либо at-j,

Ъц, ац, yij- Как прави­

ло, для всех ветвей

принимается

ajj = a, уц = у ;

в)

стоимостные

потери в ветви, обозначаемые через

сц. Для реальных моделируемых процессов это может быть стоимость перехода системы из состояния і в со­ стояние j либо потери, связанные с аналогичным пере­ ходом;

г) распределение вероятностей f(Xij) стоимости вет­ ви. Варианты задания аналогичны пункту (б). Все ,что касается в вероятностном смысле величины Xij, автома­ тически переносится на величину сц;

д) вероятность возможного исхода pip полученная либо на основе экспертных оценок, либо на основе пред­ ложенного критерия;

е)

распределение

вероятностей

!(уц) возможного ис­

хода

в смысле пересечения

данной ветви Vij.

В этом плане могут использоваться все полученные

выше

результаты,

в том

числе

формулы (5.3.35) —

(5.3.60). Следует отметить,

что

перечисленная извест-

Смотрите также файлы