Файл: Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 0
вий, но невозможно получить вероятности каждого из них, другими словами, неизвестно, какой из законов слу чайных событий действует в данном конкретном случае. И тот и другой тип неопределенности часто классифи цируют с точки зрения анализа систем [5.29]. Тогда раз личают неопределенность факторов, связанных с плани рованием и управлением сложными вероятностными объектами. Неопределенностям такого вида, как прави ло, сопутствуют ожидаемые потери, средняя ошибка и
другие данные, присущие |
анализу систем. |
С |
этих же |
|
позиций иногда |
вводится |
неопределенность |
в |
отноше |
нии противника и его реакций на некоторые |
альтерна |
|||
тивные действия |
объекта |
и, наконец, неопределенность |
в отношении вопросов стратегии. Как следует из пере числений, понятие неопределенности, трактуемое с пози ции системотехники и анализа систем [5.28, 5.29], соот ветствует математическому понятию неопределенности
втеории решений.
Впредлагаемых в настоящем параграфе математи ческих схемах понятие неопределенности нами интер претируется как неопределенность в области техники, которая доминирует в проблемах, связанных с созда нием новых объектов и решением сложных задач тех нической кибернетики.
Совокупность |
причин, управляющих ходом |
случай |
|||
ных |
событий, |
принято называть |
состоянием |
природы. |
|
По |
существу, |
все |
предшествующее представляет инте |
||
рес |
лишь постольку, поскольку |
позволяет перейти на |
|||
основе введенных |
понятий к формулированию |
критерия |
перехода системы из одного состояния в другое. Пред
полагается, |
что |
система |
описывается стохастической |
|||
сетью G(Y, U) и в части указанных переходов рассмат |
||||||
ривается лишь |
в отношении альтернативных |
событий |
||||
(а-вершин). |
Переход из |
одной |
а-вершины |
в другую |
||
характеризуется |
коэффициентом |
правдоподобия |
рц, |
имеющим очень большое сходство с вероятностью пере хода и исчисляемым в соответствии с алгеброй теории вероятностей [5.30,5.31].
Пусть принимающий решение начинает свое иссле дование с того, что определяет возможное число со стояний п, в которые может перейти система, и пытает ся получить информацию относительно времени перехо да в каждое из этих состояний или потерь, связанных с
аналогичным переходом (т. ё. относительно некоторой величины т) . При этом возможны следующие ситуации: 1) известны время и стоимость перехода (потери, свя занные с переходом); 2) не известно ни то, ни другое; 3) известны вероятностные характеристики времени перехода, или стоимости перехода, или того и другого.
Во всех трех случаях, независимо от имеющейся ин формации, возникает задача формулирования правил перехода, исходя из сложившейся на этот момент ситу
ации. В терминах стохастических сетей |
ситуация |
может |
||||||
быть представлена |
в общем |
случае |
сетевым |
фрагмен |
||||
том, |
включающим |
а-вершину і — источник |
ветвления |
|||||
вариантов — вместе |
с исходящими |
из |
нее дугами, на |
|||||
которых определены оценки |
рщ , Щ:, |
1 = 1 , п, |
а |
также |
||||
с а-вершинами |
}\, которые |
отражают |
возможные |
исхо |
||||
ды |
разрешения |
альтернативной ситуации І. |
|
|
Формулируем критерий перехода системы из одного состояния в другое следующим образом: коэффициенты правдоподобия возможных исходов обратно пропорцио
нальны значениям длин ветвей, к которым |
они |
припи |
||||
сываются [5.30]. Основной |
интерпретацией |
выбранного |
||||
критерия является аналогия решаемой задачи |
с |
зада |
||||
чей |
теории |
вероятностей на |
заключение пари. |
В |
дан |
|
ном |
случае |
роль платежной суммы играют |
длины |
вет |
вей дерева исходов, отождествляющие либо время пере
хода |
из одного состояния |
в другое, либо стоимость |
ана |
||
логичного перехода. |
На |
основании этого |
можем |
запи |
|
сать |
(см. также [5.24]): |
|
|
|
|
|
PHu = k |
~ • |
k = \,2,...,K |
(5.3.26) |
Имеем п уравнений вида (5.3.26), в которых коэф фициент рц должен удовлетворять алгебре вероятно стей, т. е.
2 P i h = l, |
(5.3.27) |
h=i
если исходы несовместны и составляют полную группу событий. •
Решая совместно уравнения (5.3.26) и (5.3.27), по лучаем общую формулу [5.30]:
Ра = — |
(5-3 -2 8 ) |
l=i
Нетрудно видеть, что сформулированный критерий хорошо согласуется с общими идеями оптимизации про цесса выбора наиболее предпочтительных переходов системы из состояния в состояние. Действительно, в ре альных системах более вероятен переход с меньшими потерями. Однако следует отметить, что получившиеся при этом коэффициенты правдоподобия носят ясно вы раженный априорный характер.
Следующим важным шагом развития математиче ской схемы принятия решений в местах разветвлений, очевидно, должен быть шаг, связанный с учетом слу чайного характера величин, от которых зависят введен ные коэффициенты правдоподобия. Другими словами, наибольший интерес представляют случаи, когда время или стоимость перехода либо неизвестны, либо пред ставляют собой случайные величины, подчиняющиеся заданным законам распределения вероятностей. Рас смотрим эти случаи с целью получения распределения вероятностей переходов.
Продолжая рассматривать стохастическую сеть как модель некоторой системы, описываемой с помощью особых состояний, отождествляемых а-вершинами, по ставим задачу определения законов распределения ве роятностей возможных исходов, если известны законы распределения случайной величины т. Эта случайная величина в соответствии с принятым соглашением влия ет на вероятность выбора очередного состояния, в кото рое может перейти система. С другой стороны, согласно введенному критерию (5.3.28), известна функциональ ная зависимость некоторой величины рц, названной коэффициентом правдоподобия, от тг > Таким образом, возникает задача определения законов распределения вероятностей возможных исходов для любой произволь но выбранной а-вершины дерева исходов, если известен закон распределения некоторых величин, от которых зависят вероятности названных исходов.
Предполагай, что коэффициенты правдоподобия яв ляются случайными переменными, определим распреде ления вероятностей возможных исходов для каждой д-вершины дерева исходов. При этом рассмотрим сле дующие варианты:
|
1) |
плотность |
распределения |
вероятностей |
величины |
||||
т |
(индексы ветви опущены) |
равна |
|
|
|
||||
|
|
|
і |
0 |
, если |
х^а |
или |
х>Ь, |
|
|
|
|
Ь 1 |
- , |
- л и |
а<Х<Ь; |
|
(5-3"29) |
|
|
2) |
плотность |
распределения |
вероятностей |
величины |
||||
т |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)=k{x-a)a |
|
(Ь-Х)У |
, |
если as^xs^b, |
(5.3.30) |
f(x)=0 в остальных случаях.
Здесь а, а, у, b — параметры бета-распределения.
Параметры распределений в этих случаях считают ся известными. Для удобства рассмотрения и простоты
выкладок проведем решение |
поставленной |
задачи, как |
|||||
уже |
оговорено, |
в три этапа, |
в предположении, |
что каж |
|||
дая |
а-вершина |
имеет только два исхода |
(п = 2). |
Послед |
|||
нее |
ограничение |
связано со |
значительной |
аналитиче |
|||
ской |
сложностью |
получения |
результатов |
в |
общем слу |
чае. Однако, как будет показано ниже, полученные ре зультаты при необходимости могут быть распростране
ны и на случай, когда |
п>2. |
|
|
|
|
||
Рассматриваем первый |
случай. Имеем |
« = 2; соглас |
|||||
но (5.3.28), |
выражениями |
для |
р\ |
и р 2 |
будут (индексы |
||
«-вершин опущены): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Р 2 = ^ - |
• |
(5.3.31) |
|
Соотношения |
(5.3.31) |
можно |
переписать |
следующим |
|||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
т і = - — ~ Т2 |
или |
т 2 = |
f_p |
Ті |
(5.3.32) |
В соответствии с (5.3.29) имеем:
f(x2) |
= . 1 |
. если a i < X i ^ 6 i ; |
a2<x2s^b2 |
} |
(5.3.33) |
|||
|
U2—#2 |
|
|
|
|
j |
|
|
/ ( Л Г І ) |
=/(лг2 ) =0, если |
Xi^ait |
x2^a2, |
Xi>bu |
|
|||
|
|
|
|
|
|
x2>b2. |
j |
|
Предполагая |
величины |
п и т 2 |
|
независимыми, |
можем |
|||
записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пхи |
Ъ) |
• / ( * ) = |
i |
b 2 _ a 2 |
l ( b i _ a i X |
|
(5.3.34) |
Определение искомого закона распределения веро ятностей возможных исходов значительно упрощается, если воспользоваться геометрической интерпретацией.
Рис .5. 3. 3. Оценка рас
пределения вероятностей
возможных исходов.
О) |
8, |
1) |
Для этого изобразим, как это делается обычно, величи ны Х\, х2 как прямоугольные координаты на плоскости (рис. 5.3.3). Как следует из рис. 5.3.3, получаем не сколько областей, для которых справедливы следующие основные соотношения:
I- f(y)=0, F(y)=0, если P i ^ ^ 7 ' ^ ^ Т б Г |
( 5 - 3 - 3 5 > |
bl