Файл: Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 171

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ным событием, характеризуется временем tx или функ­ цией распределения f(tx). Среднее время испытаний до первого успеха, при котором свершение а-события озна­ чает окончание повторных циклов и переход к следую­ щим операциям, в случае, если tx и t2 детерминирован­ ные величины, определяется по следующей схеме:

для

первого испытания

M0{t}

=ptx+

(1 — p)t2

>

 

для

второго испытания

Mx{t} = (1 — р) • [ptx+

(1 —

p)t2],

для (/г+1)-го испытания Mn{t)

= (1 -p)n[ptx+

(1

—p)t2].

Очевидно, суммарная

длительность,

отвечающая эк­

вивалентной операции, будет

 

 

 

 

 

 

M{t}=ptx+(l-p)t2+(l~p)[ptx+(l-p)t2]

 

 

 

 

+ ....

 

 

.... +

 

(l-p)n[ptl+(l-p)t2],

 

 

а в

правой части

геометрическая

прогрессия

сходится

к — п р и

п-*-оо. Математическое

ожидание

продолжи­

тельности независимых испытаний запишется в виде

 

 

M{t}=U

= h+-j~U,

 

q=l-p

•

(5.3.17)

Аналогично могут быть получены формулы для дис­

персии

и среднего

квадратического

отклонения:

 

 

 

Dt=-t\

, а = У < Г —

•

(5.3.18)

 

 

 

Рг

1

 

 

Р

 

 

 

Чтобы осуществлять анализ и расчет стохастических сетей, содержащих контуры и петли типа приведенных на рис. 5.3.1,а в качестве своих элементов, достаточно воспользоваться полученными формулами. Для исследо­ вания расширенной стохастической модели указанного типа перспективным является также использование ме­ тода производящих функций моментов, позволяющего охарактеризовать информационные аспекты модели и получить обнадеживающие результаты в смысле трак­ товки стохастических сетей как сложных систем с об­ ратной связью.

Производящую функцию моментов определим сле­ дующим образом:

£ t ( s ) = M { e s < } = l(**f(t)dt;

§f(t)dt=l,

(5.3.19)

t

t

 

где f(t)—функция

плотности вероятностей,

характери­

зующая продолжительность соответствующей

операции;

s — действительная

или комплексная

переменная.

Введем (p(s)—функцию, связывающую вероятность

реализации операции со временем ее

выполнения

 

y{s)=p-Et(s).

 

(5.3.20)

Тогда на основе свойств производящих функций момен­

тов для последовательного и параллельного

выполнения

операций с соответствующими (jpi(s), фг(5)

функциями

имеем:

 

 

 

<p(s)

=(pi(s)-(p2{s)

—для

последовательного

соединения,

(f(s)

=фі(s) + ф г ( 5 ) — д л я

параллельного соединения.

При этом дуги, определяемые ф(в)-функциями, образу­ ют линейные сети, что позволяет применить к ним урав­ нение топологии для замкнутой линейной сети, которое согласно [5.21—5.23] имеет вид

H(s) = 1+ 2 2 ( - l ) m L j ( m , s) = 0 для всех s, (5.3.21)

тг

где Li(m,s) —t'-й контур порядка т. В контуре первого порядка каждая вершина может быть достигнута из любой другой вершины. Контур п-го порядка есть мно­ жество непересекающихся контуров первого порядка. Непересекающиеся контуры не имеют общих вершин

Li{m, s) = П І ь ( 1 , s), £ = l, . -- ,m,

(5.3.22)

к

где Li(m,s) есть ф-функция f-го контура, полученная исходя из последовательного соединения составляющих его дуг, для которого в соответствии со свойствами про­ изводящих функций имеет место соотношение:

Lt(l;s)

= Ut<t}(s)

•

(5.3.23)

Из теории потоков в сетях известно, что для того чтобы воспользоваться уравнением топологии (5.3.21), необходимо замкнуть сеть обратной связью, соединив конечную вершину с начальной. При этом стохастиче­ ская сеть может быть произвольной сложности. Соглас­ но определению эквивалентная сеть, состоящая из одной дуги (ссвых, схвх), характеризуется <pa{s), а моделируемая система, представленная таким образом, имеет ф-функ-

231

цию, равную произведению cpaCsbqKs), так как налицо контур, состоящий всего из двух дуг. Поэтому получаем:

 

tf(s)=l-<pa(s)-(p(s)=0,

откуда

<Pe(s) =

(5.3.24)

 

<p(s)

Формула (5.3.24) отражает общий результат, смысл которого заключается во введении некоторой обобщен­ ной характеристики стохастической сетевой модели рас­ сматриваемого класса, представляющей аналог переда­ точной функции в системах автоматического регулиро­ вания.

Разработка

сложной

 

системы,

представленная

 

В биде

стохастической

 

 

сети

 

 

ffs)

 

 

Vfs)

 

ft

97

- о ,

 

fs

 

Рис. 5.3.2. Использование <p (s)-функций.

Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим пример для сети, изображенной на рис. 5.3.2. Сеть пред­ ставлена четырьмя контурами первого порядка, для ко­

торых: L i ( l ) = < р г ф 2 ;

£ 2 ( 1 ) = ф 8 - ф 4 ; ^з(1) = ф 5 - ф е ;

Ь 4 (1) =

= ф і ' Ф з - ф 5 - ф 7 - ф , и

одним контуром второго

порядка

Li(2) = ф Г ф 2 - ф 5 * ф б .

 

 

На

основе уравнения

топологии (5.3.21)

имеем:

# = 1 —

ф Г ' ф г — ф З - ' ф 4 — ф 5 - ф б — Ф 7 ' ф 1 - ф 3 - ф 5 - ф + ф 1 - ф 2 - ф 5 '

• ф 6 = 0.

С учетом формулы

(5.3.24) получаем

оконча­

тельное выражение в виде

ф!фзф5ф7

фе(«)

1—фіф2—фзф4 —ф5фв + фіфгф5фв

Равносильный эффект дает применение формулы Месона [5.21]:

 

 

 

2p 3 (s) [ 1 + 2

( - l ) ^ ( m , s ) ]

 

 

 

Фэ (s) =

 

^

 

,

 

(5.3.25)

 

v

;

 

 

H(s)

 

v

'

в_ которой

Pj(s)

является

ф(Х)-функцией

/-го

пути;

L (т,

s) — результирующей

ф-функцией

контуров т-то

порядка, не касающихся

/-го пути, a

H(s)—уравнени­

ем ТОПОЛОГИИ ПрИ

ф ( 5 ) = 0 .

 

 

 

 

Из

(5.3.20) вытекает,

что /?э =фэ(0),

а

поскольку

фэ (0) = 1, из (5.3.24) получаем:

Вкачестве производящих функций моментов удобно использовать экспоненциальные функции (например, характеристические) и соответствующие им семиинвари­ анты, на основе которых могут быть получены необхо­ димые числовые характеристики распределения вероят­ ностей для отдельных фрагментов и стохастической се­ ти в целом. Семиинварианты находятся по известной формуле

за<я

&э = - j — I n £ a ( s ) при s = 0.

С точки зрения практического использования пред­ ложенной математической схемы возникает вопрос о получении в качестве исходных данных для расчета и анализа только что рассмотренной модели вероятностей возможных исходов. В качестве оценок последних на этапах проведения испытаний и ввода в строй сложных комплексов могут быть приняты коэффициенты готов­ ности, выведенные в работе [5.46].

Определение вероятностей переходов в стохастиче­ ских сетевых моделях. Допустим, что при построении Стохастической сетевой модели программы создания

сложного комплекса мы не можем

обеспечить

выпол­

нение процедур экспертного

опроса, а

следовательно,

достаточно

обоснованное

задание

вероятностей

реали­

зации различных частичных вариантов. В связи

с этим

представляется

полезным

рассмотреть

вопрос

о

том,

насколько

возможны в рамках

указанных стохастиче­

ских моделей

исключение

или

оценка

степени

неопре­

деленности

за

счет введения

разумных

предположений

и основанной

на этих предположениях

априорной

ин­

формации. Очевидно, такого рода предпосылки не дол­ жны расходиться с общей тенденцией теории статисти­ ческих решений и должны подчиняться алгебре теории вероятностей. В теории вероятностей, теории игр и ста­ тистических решений и их приложениях [5.25—5.27] су­ ществует множество прикладных задач, которые укла­ дываются в рассматриваемую математическую схему альтернативных сетей, характеризующих процедуры последовательного выбора из множества альтернатив в ходе развития различных процессов действительности. Характерно, что для всех рассматриваемого типа про­ цессов стохастические сети служат моделями проблема­ тичных ситуаций, в которых обязательным повторяю­ щимся элементом в длинной цепи событий является выбор из множества исходов или альтернатив. В свою очередь, неотъемлемыми элементами процесса выбора и связанного с ним принятия решений являются поня­ тия состояния природы и неопределенности, которые с позиций теории решений трактуются следующим обра­ зом [5.27, 5.28].

Существует так называемая статистическая неопре­ деленность, которая происходит от элемента случайно­ сти в действительном мире. Этот тип неопределенности наиболее простой, так как определяется статистически­ ми закономерностями случайных событий, проявляющи­ мися в рассматриваемом частном случае. Разумные предположения относительно неизвестных закономерно­ стей и их использование могут существенно снизить степень статистической неопределенности. Именно тако­ го рода неопределенность сопутствует многим ситуаци­ ям принятия решений, описываемым с помощью стоха­ стических сетевых моделей.

Второй этап неопределенности возникает в том слу­ чае, когда имеется конечное число объективных уело-

Смотрите также файлы