Файл: Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

a(V). Решение

относительно процесса S принимается в

соответствии

с

некоторым

правилом. Каждое

решение

(обозначим

его

через уІ)

можно рассматривать

как

эле­

мент множества

возможных решений у= {уь у 2 , . . . } .

Пра­

вило в этом случае является некоторой функцией у име­

ющихся данных D и определяется решающей

функцией

6(y/D). Таким

образом, компоненты

D образуют

случай­

ную выборку

апостериорных данных

из пространства Г,

на основании

которых принимается

решение

у.

Наряду

с введенными составляющими рассматриваемого процес­ са (S, D, V, у, б) необходимо учесть влияние случайных воздействий, действующих на систему управления созда­ нием сложного комплекса. Через W(N) обозначим плот­ ность вероятностей случайных воздействий, выражаю­ щихся в первую очередь в случайном колебании налич­ ных ресурсов в период дальнейшего выполнения програм­ мы и непредвиденных изменениях условий ее осуществле­ ния. Таким образом, результаты (D*) функционирования системы формируются в зависимости от характера про­ странства возможных способов осуществления програм­ мы (5*) и вида пространства случайных воздействий (Л'"), а также от распределений вероятностей вариантов про­ цесса а ( 5 ) и распределения вероятностей случайных

воздействий W(N), т. е. D*=SN.

Всилу существования самых различных продолжений

ипутей развития программы принятие решения о воз­ можных вариантах на основе имеющихся данных, есте­ ственно, может быть ошибочным и иметь отрицательные последствия. В случае если эти последствия можно пред­ ставить в количественной форме, введем в рассмотрение так называемую функцию потерь или риска С ( 5 , у). Эта функция приписывает каждой комбинации 5 и у стои­ мостные потери, в общем случае не зависящие от функ­ ционирования системы управления. В связи с тем, что у

является

функцией реализации случайного процесса,

С (5, у)

является случайной функцией. На этом основа­

нии оценку риска или потерь следует искать как вероят­ ностную характеристику, например как математическое

ожидание. Выражения условной и средней оценки потерь при выбранном правиле в пространстве решений Д име­ ют вид:

г (S,6) = IF„ (Я/5) dD $ С(S,y) б(y/D)dy,

(5.6.1)

Т

д

R(o,b)=M{r(S,6)}=

lr(S,t>)o(S)dS

или

"

t (5.6.2)

R(a,6) =

lo(S)dS-§Fn(D/S)dD'$

C(S,y)6(y,/D)dy,

(5.6.3)

 

а

г

д

 

 

где Fn(D/S)

—функция распределения

данных

для из­

вестного

процесса S; C(S,

у) —функция

потерь

в стои­

мостном выражении, часто являющаяся функцией пара­

метров

V.

 

 

Как

следует

из соотношений (5.6.1) — (5.6.3),

сред­

ний риск зависит от принятого решающего правила

б и,

следовательно,

может служить для сравнения различных

правил принятия решений. Решающее правило, для кото­ рого средний риск (5. 6.3) оказывается минимальным, называется байесовым решением относительно априор­ ного распределения o(S). Используя соотношения (5.6.2)

и

(5.6.3)

и предполагая известными распределения

Fn(D/S)

и о(S), можно определить

зависимость средне­

го

риска

от размаха распределения

параметра ст. Так, в

случае простейшего дерева исходов, состоящего из двух ветвей, средний риск, соответствующий байесову правилу выбора варианта программы, имеет вид, показанный на рис. 5.6.1. Как следует из этого рисунка, наиболее пред­ почтительным распределением длины ветви является раз­ номерное распределение. Зная составляющие для при­ веденных формул расчета среднего риска и имея дан­ ные, характеризующие дерево исходов для конкретной программы, можно определить средний ( или условный) риск, соответствующий каждому направлению осуществ­ ления программы. Процедура принятия решения в этом случае сводится к минимизации среднего риска при выборе варианта продолжения программы.

В заключение рассмотрим один из центральных во­ просов анализа программы, характеризующейся весьма

высоким уровнем неопределенности. Существо этого во­ проса состоит в следующем. В теории решений в том слу­ чае, когда из множества альтернатив выбирается лишь одна, подразумевается, что имеющаяся совокупность воз­ можных исходов составляет полную группу событий. Од­ нако для ряда программ, характеризующихся высокой степенью неопределенности, предпосылка о полной груп­ пе исходов может оказаться несостоятельной. Другими

Щ

Ю

15

2°(6Cj-aLj)

 

 

Рис. 5. 6. I. Зависимость средного риска от размаха распределения.

словами, вполне реальна ситуация, когда один или не­ сколько исходов на D(A, V) ветвятся, в свою очередь, на составные альтернативы, увеличивая тем самым количе­ ство возможных вариантов осуществления программы. В этом случае учет неопределенности и процедура при­ нятия решений в условиях неопределенности зависят от возможностей рассматриваемой схемы исследуемого про­ цесса, которой служит дерево исходов, или, как принято называть такого рода структуры в теории статистических решений, дерево решений. Можно показать, что в одном случае существует способ, учитывающий исходы, которые

не значатся в дереве исходов D(A,

V), но как

бы незри­

мо присутствуют в нем.

 

 

Рассмотрим дерево

исходов, множество а-вершин ко­

торого задано, причем

для каждой

а-вершины

известны

априорные вероятности возможных исходов. Рассмотрим далее одно из поколений а-вершин, из которого произ­ вольно выберем любую альтернативную вершину, напри­

мер, а-вершину, характеризующуюся

двумя

исходами

( | Г « | = 2 )

с вероятностями

рх и

1—рх.

Пусть

исход, ве­

роятность

которого равна

1—ри

носит,

в свою очередь,

альтернативный характер и может разветвляться на два исхода, один из которых также ветвится, и т. д. Можно принять схему ветвления, показанную в табл. 5.6.1. При этом правило ветвления основывается на сохранении в

структуре дерева решений условия, что каждая

а-верши-

на удовлетворяет полной группе исходов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

5.6.1.

 

 

Обобщенный

 

 

 

 

 

Априорная вероятность

показатель,

Параметр

Примечание

возможного исхода

характеризую­

ветвления

 

 

 

 

 

 

щий исход

 

 

 

 

 

 

Pi

*1

Нет

Второй

исход

(1—р.) (I—ря )

 

 

 

 

 

 

ветвится

 

( 1

— Р з )

 

( 1 - й )

Третий,

вновь

 

 

 

 

образовавший­

 

 

 

 

ся

исход,

так­

 

 

 

 

же

ветвится

( 1 — Р і ) № ( 1 — Pi)

•ч

( 1 - А )

Четвертый,

 

 

 

 

вновь

образо­

 

 

 

 

вавшийся

ис­

 

 

 

 

ход

также вет­

 

 

 

 

вится

 

 

(1—рі)Р2Рз-Рп-і(\—Рп)

f/i + l

( 1 - А , )

И т.

д.

 

(1—Pi)

РїРі...Рп

Рп

 

 

 

 

Для того чтобы образовать полную группу несовме­ стных исходов, не усложняя аналитические результаты, вводится категория «все остальные исходы, не рассмат­ риваемые в данный момент, но дополняющие систему до полной группы». Назовем эту категорию возможных исхо­ дов скрытыми. Количество скрытых исходов, не отражен-

ных в структуре D(A, V), может быть произвольным. В связи с этим решения, принимаемые на основании ана­ лиза D(A, V) и не учитывающие скрытые возможные ис­ ходы, могут не отражать положения, имеющего место в действительности. Поэтому учет возможности появления скрытых исходов при анализе программы и определении наилучших вариантов ее развития является важным эле­ ментом принятия решений. Легко показать, что сумма вероятностей возможных исходов, образуемых по схеме

табл. 5.6.1, для любого наперед заданного п равна

еди­

нице. Действительно,

используя выражение Pi + (1—р\)

(1—Рг) + (1— Pi) р2 (1— Рз) + (1— Pi) Р2Р3 (1 — P4) +

. . .

+

+ {\—р\)р2Рз...Рп-\{\—Рп)

+ {\—Р\)Р2ръ...Рп

и

пре­

образуя его к виду

(1— р{)

(1— р2(1

— 1+рз(1 — 1+ •

+ Рп{\—1)...)))

= 1,

получим,

что

правило

введения

скрытых исходов дает полную группу событий. Ветвление любого исхода D(A, V) при определенных условиях не вносит существенных изменений в вероятностные харак­

теристики

ветвящегося процесса.

Так, например, матема­

тическое

ожидание параметра

т

может быть

записано

следующим образом:

 

 

 

 

 

М{т}

= P l ( T i - T f t )

+ р 2

( т 2 - Т / г ) + ' . . . + Pk-l(Xk-l—Ck)

+

 

(fft+l-Tft) + . . . +

P m ( T m - T f t )

+ Xk + ph( 1 -pi

~p2

 

— Pk-l — Ph+1 — pm) (tm + 1 —Tfe)

+PhPm+l(i—pi

—

 

— p2~--—

Ph-\~ Ph+l — Pm) (tm +2 — " t m + l ) +

 

 

+ PhPm+lpm+2( 1 — P l —

P2~

 

Ph-i~Ph+l~

~Pm) ( Т т + 3 - Т т + з )

+'...+

PhPm+lpm+2'" Pm+n-1 X

 

 

X (1 -P1-P2-.:-

 

 

ph-i-Ph+i-

 

 

 

— Pm) ( t m + n - T m + n - l ) ,

(5.6.4)

где m — количество

возможных

исходов в а-вершинах

D(A,

V) без добавления скрытых

исходов; п — количест­

во скрытых исходов; k — индекс ветвящегося исхода. Оче­

видно, ЧТО П р И T i = T 2 = . . . =Xh= • • • = T m + n

ИМЄЄМ

М{т} =Tfc = t .

(5.6.5)

Независимость среднего значения параметра т при его одинаковых значениях для всех исходов от правила ветв­ ления позволяет надеяться на то, что неполнота структу­ ры D(A, V) может быть в значительной степени компен­ сирована путем введения априорной информации в ана­ лиз исследуемого процесса. В общем случае включение

Смотрите также файлы