Файл: Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством.pdf

скрытых ветвей в D(A, V) должно приводить к увеличе­ нию ожидаемых потерь, характеризующих программу, что следует из формулы (5.6.4). Средние значения параметра т для дерева исходов в каждой а-вершине без включения скрытых ветвей всегда меньше, чем при их включении. Исключение составляет случай (5.6.5). Принятие решений

структуре дерева исходов ситуации развития исследуемо­ го процесса, позволяет существенно улучшить качество функционирования системы управления созданием слож­ ного комплекса. Сочетание в смешанной альтернативной модели описанного метода статистических решений и ме­ тодов имитации возможных детерминированных альтер­ натив является, на наш взгляд, весьма перспективным направлением повышения эффективности процедур при­ нятия решений в сложных многовариантных программах с разнообразными логическими типами ветвлений — как детерминированными, так и стохастическими.

Г л а в а 6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

§6. 1. Основные задачи управления

вдискретно-непрерывном производстве

ироль имитационного моделирования

Наиболее важные задачи управления производством дискретно-непрерывного типа в принципе аналогичны задачам управления дискретным производством и состо­ ят в следующем:

1. Определение последовательности обработки про­ дуктов в аппаратах (агрегированныхтруппах оборудова­ ния дискретно-непрерывного производства) с учетом структуры комплекса, режима работы аппаратов и пара­ метров продуктов с целью ускорения обработки продук­ тов, снижения затрат на обработку и увеличения загруз­ ки аппаратов.

2.Своевременное обеспечение аппаратов, производя­ щих обработку продуктов, вспомогательными механиз­ мами, транспортными средствами и т. д., в целях исклю­ чения их непроизводительных простоев.

3.Определение оптимального режима и регулирова­ ние работы аппаратов.

Сложность управляемых объектов в дискретно-непре­ рывном производстве вызывает необходимость использо­ вания абстрактных моделей для решения задач управле­ ния. Поскольку аналогичные задачи возникают на многих участках производства, эти модели должны быть доста­ точно универсальны.

Специфика дискретно-непрерывного производства поз­ воляет имитировать производственный процесс как про­ цесс массового обслуживания. Действительно, в отличие от непрерывного производства передача продуктов ап­ паратами дискретно-непрерывного производства произ­ водится отдельными порциями. В модели массового об-

служивания этим порциям соответствуют требования на обслуживание.

С другой стороны, в отличие от дискретного производ­ ства дисперсия длительности обработки продуктов в тех­ нологических аппаратах дискретно-непрерывного произ­ водства достигает значительной величины, зачастую срав­ нимой с математическим ожиданием длительности об­ работки. Разумеется, в технологическом аппарате дис­ кретного производства отклонения длительности обработ­ ки от нормативной также имеют место, что объясняется разбросом значений параметров входных продуктов, дей­ ствием субъективных факторов и т. д. Однако, поскольку обработка продуктов в дискретном аппарате представля­ ет собой определенную последовательность действий, ма­ ло зависящую от режима работы (состояния аппарата), указанные факторы не играют решающей роли. Поэтому длительность обработки в аппаратах дискретного произ­ водства колеблется, как правило, незначительно и во мно­ гих случаях даже принимается постоянной.

Длительность же обработки в аппарате дискретнонепрерывного производства определяется не только вы­ шеуказанными факторами, но и в первую очередь режи­ мом работы аппарата, который изменяется во времени, зависит от параметров входных продуктов и подвержен большому числу случайных возмущений. Поэтому дли­ тельность в общем случае нужно рассматривать как слу­ чайную величину, для которой характерны значительные коэффициенты ее вариации. Так, например, для многих аппаратов металлургического производства коэффициент вариации длительности обработки составляет 0,3—0,7.

Естественно, что случайный характер длительности обработки в аппаратах приводит к тому, что потоки пор­ ций продуктов между аппаратами являются случайными, даже если входной поток является детерминированным или же на входе имеется бесконечно большой запас про­ дуктов. Все вышесказанное в равной мере относится и к значениям параметров выходных продуктов. Коэффици­ ент вариации этих значений для некоторых аппаратов ме­ таллургического производства достигает еще больших величин.

В этих условиях применение модели массового обслу­ живания для имитации дискретно-непрерывного произ­ водства весьма эффективно, так как позволяет исполь-

зовать не только широко разработанные методы анали­ тического исследования, но, главное, моделирования слу­ чайных процессов обслуживания.

Однако применение модели массового обслуживания для исследования дискретно-непрерывного производства имеет свои пределы, которые определяются степенью де­ тализации рассмотрения работы оборудования. Если процесс работы аппаратов рассматривается укрупненно, как, например, при решении задач календарного плани­ рования, то считается, что длительность обработки в ап­ парате или значения параметров его выходных продуктов подчиняются некоторому заданному распределению ве­ роятностей. Тогда применение модели массового обслу­ живания дает большой эффект.

Если же процесс работы аппаратов рассматривается более детально, как, например, при решении задач опера­ тивного управления, то необходимо учитывать, что эти распределения вероятностей являются параметрически­ ми, причем в качестве параметров выступают текущие значения параметров входных продуктов и параметров, определяющих режим работы аппарата. В свою очередь, значения этих последних определяются параметрически­ ми законами распределения вероятностей, в которых па­ раметрами являются значения параметров входных и вы­ ходных продуктов.

Для исследования таких процессов, на наш взгляд, более приспособлена не модель массового обслуживания, а отличающаяся большой универсальностью агрегативная модель [6.13, 6.25], использование которой в подоб­ ных случаях чрезвычайно эффективно, поскольку позво­ ляет применить широко разработанные методы моделирования агрегативных моделей.

При исследовании управляющей части производст­ венного комплекса выбор модели определяется специ­ фикой дискретно-непрерывного производства, а также выбором задач управления. Если рассматриваются за­ дачи планирования и оперативного управления, то ре­ зультатом их решения является выбор последователь­ ности обработки порций продуктов в аппаратах и их передач между аппаратами. Тогда входной информацией управляющей части будет информация о начале и конце операций в аппаратах и переходах порций продуктов между аппаратами,

Учитывая дискретный характер этих событий и слу­ чайный характер интервалов между ними в дискретнонепрерывном производстве, можно сделать вывод, что входная информация управляющей части представляет собой дискретный поток случайных сообщений. Это оз­ начает, что для имитации функционирования управляю­ щей части может быть применена модель массового об­ служивания. В ней сообщениям соответствуют требова­ ния на обслуживание, а отдельным элементам управляю­ щей части (устройствам, лицам производственного персонала) — обслуживающие аппараты.

При анализе временного режима работы управляю­ щей части, например, с целью выбора ее характеристик по производительности, применение модели массового обслуживания, как это будет показано ниже, является весьма эффективным. При выборе надежностных харак­ теристик управляющей части следует рассматривать со­ стояние обслуживающих аппаратов (например, текущее значение показателя надежности устройства) и учиты­ вать его при определении длительности и результата об­ служивания (например, ошибки вследствие отказов, повторные расчеты ввиду случайных сбоев). В этом слу­ чае следует перейти от модели массового обслуживания

кболее общей агрегативной модели.

Взаключение параграфа дадим краткое описание основных понятий теории массового обслуживания. Сигтема массового обслуживания (СМО) считается задан­ ной, если известны: входящий поток требований; очеред­ ность (или дисциплина) обслуживания; обслуживающий механизм.

Говоря о входящем потоке, будем предполагать, что если последовательные требования (заявки на обслужи­ вание) поступают в моменты . . . , tT, tr+u .. ., и если иг оз­ начает промежуток времени tr+i—tr, то случайные вели­ чины . . . , иг, иг+и ... распределены по некоторому (произ­ вольному) закону F(u) (Os^u<oo).

Существуют различные типы входящих потоков:

— детерминированный, или регулярный, подчиняю­

— эрланговский при F(и) = A-i£2_ . е <* . и* - 1

и ряд других. Во всех случаях под символом а понима­ ется математическое ожидание М[н].

Очередность (или дисциплина) обслуживания пока­ зывает: в каком порядке требования поступают на об­ служивание; в каком порядке занимаются обслуживаю­ щие приборы; равноценные ли требования или часть из них обладает преимуществом перед остальными.

ний), будет вполне определен, если: 1) задан соответст­

Кроме того, для задания абстрактной СМО необходи­ мо описать ее структуру. Можно рассматривать систему с параллельно работающими приборами. Систему с по­ следовательным соединением приборов можно считать многофазной и рассматривать отдельно работу каждой фазы. Таким образом, каждую СМО может охарактери­ зовать набор характеристик: вид потока, дисциплина об­ служивания, закон распределения времени обслужива­ ния, количество приборов обслуживания, структура си­ стемы.

Необходимо далее отметить, что математическая тео­ рия массового обслуживания очень широко использует понятие марковской цепи (для дискретного времени) и марковского процесса (для непрерывного времени). Свойство марковости предполагает, что будущее поведе­ ние цепи (процесса) в следующий момент времени зави­ сит только от состояния цепи (процесса) в настоящий момент времени и не зависит от предыстории цепи (про­ цесса) .

Назовем характеристиками процесса величины вида a\(t), a2(t),... ,an(t), описывающие процесс функциони­ рования системы (последовательную смену состояний). Величины, характеризующие вышеописанные свойства системы и ее элементов, будем называть параметрами системы, а величины, определяющие начальное состояние

системы, — начальными условиями. Тогда под математи­ ческой моделью реального процесса будем понимать со­ вокупность соотношений (формул, логических условий, операторов и т. д.), которые связывают характеристики процесса с параметрами соответствующей системы и на­ чальными условиями.

Выше мы уже отмечали, что в процессе дискретнонепрерывного производства наиболее часто встречаются такие ситуации, когда начальные условия, параметры системы или все они вместе являются случайными. В та­ ких случаях применение теории массового обслуживания для построения формализованной схемы процесса явля­ ется весьма эффективным.

Необходимо отметить, что имеющийся аналитический аппарат теории массового обслуживания позволяет ре­ шать прикладные задачи лишь для наиболее простых случаев. Для исследования сложных реальных процессов приходится прибегать к существенным упрощениям, а это снижает достоверность получаемых в результате ре­ шения искомых величин (а часто даже искажает их). Поэтому имеющийся в настоящее время аналитический аппарат может лишь частично удовлетворить возросшие запросы практики. Применением метода статистического моделирования можно достигнуть существенного расши­ рения круга задач, получающих эффективное и верное решение.

§ 6. 2. Процесс функционирования системы массового обслуживания

Процесс функционирования системы массового обслу­ живания можно представить как изменение состояния системы (s) во времени:

s = s(t),

где состояние системы в текущий момент времени опи­ сывается вектором

Здесь Si — состояние отдельного элемента системы: об­ служивающего аппарата (А*) или накопителя (Н*).

Назовем элементами, следующими за r'-м, те элементы системы, в которые могут поступить требования из г'-го элемента. Элементы, из которых могут поступить требо-