Файл: Бобровников Л.З. Радиотехника и электроника учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 10
изменяются во времени по некоторому заданному закону. Если зависи мость между напряжением и током выражается нелинейными урав нениями, или параметры устройства существенно зависят от вели чины тока и напряжения, то устройство принято называть нелиней ным.
§ 6. Линейные устройства
Важнейшей характеристикой любого устройства является коэф фициент передачи, определяемый как отношение выходного воз действия у к входному х.
Коэффициент передачи — величина относительная, безразмер ная и в электрических цепях может определяться как отношение напряжений, токов или мощностей. В тех случаях, когда входное
ивыходное воздействия имеют различный вид (например, если вход ное воздействие задано в виде светового потока, а выходной сигнал получается в виде электрического тока), коэффициент передачи называют коэффициентом преобразования, который имеет опреде ленную размерность.
Вобщем случае коэффициент передачи является величиной ком плексной, зависящей от времени или от частоты, поскольку реальные радиоэлектронные устройства имеют ограниченный частотный диа пазон и пропускают не все составляющие спектра сигнала одинако вым образом. Это объясняется наличием в устройствах различных реактивных элементов — конденсаторов, катушек индуктивности, трансформаторов и т. д., сопротивление которых зависит от частоты.
Реактивные элементы являются накопителями энергии, вследствие чего устройства обладают инерцией: выходное воздействие всегда отстает во времени от входного и после прекращения действия вход ного сигнала на выходе некоторое время имеется выходной сигнал. Это приводит к тому, что коэффициент передачи зависит от времени. Коэффициент передачи линейного устройства может быть определен как отношение спектра выходного сигнала к спектру входного или как отношение временной функции выходного сигнала к временной функции входного сигнала при 0 < i < ° ° .
Полученный в первом случае коэффициент передачи является спектральной характеристикой устройств, показывающей, в какой степени спектр выходного сигнала отличается от спектра входного. Во втором случае коэффициент передачи является временной ха рактеристикой устройства и показывает, в какой мере форма выход ного сигнала отличается от формы входного сигнала. Спектральная
ивременная характеристики устройства, определенные указанным способом, не являются универсальными. Кроме того, и эксперимен тальное, и аналитическое их определение может вызвать значитель
ные затруднения |
в зависимости от вида |
входного |
сигнала. |
Поэтому |
в радиоэлектронике частотные свойства |
устройств |
принято |
отобра |
|
жать с помощью |
амплитудно-фазовой характеристики. Временные |
|||
.22 |
|
|
|
|
свойства выражаются |
с помощью переходной функции и импульс |
ной реакции. |
характеристика линейных устройств опре |
Амплитудно-фазовая |
деляется как отношение выходного синусоидального сигнала к вход ному синусоидальному сигналу во всем диапазоне частот — от нуля до бесконечности:
£ > в ы х ( 0 _ £ W e / ( 0 ( ' - A 0 |
. |
(40). |
|
К(Щ = !£е£>=и*»* |
/ ш |
||
£>вх (t) |
UBXe' |
|
|
Фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного обус ловлен задержкой сигнала в реактивных элементах устройства. В более общем виде амплитудно-фазовая характеристика может быть записана как
К (/со) = К (со) e-to «°>,
где К (со) — модуль, называемый амплитудно-частотной характери стикой, показывающей, каким образом изменяется от ношение амплитуд (эффективных или средних значе ний) выходного и входного сигналов при изменении частоты;
ср (со) — фазово-частотная характеристика, показывающая, как изменяется фаза выходного сигнала при изменении частоты входного сигнала.
Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики взаи мосвязаны и для большинства радиоэлектронных устройств эта связь однозначна: каждой амплитудно-частотной характеристике соответ ствует только одна фазово-частотная характеристика.
Амплитудно-фазовая характеристика полностью определяет ча стотные свойства любого линейного устройства как в установившемся режиме (при воздействии синусоидального напряжения постоянной амплитуды и неизменной частоты), так и в переходном режиме (при произвольном воздействии).
Рассмотрим поведение линейного устройства с известной ампли тудно-фазовой характеристикой при произвольном воздействии на его входе.
Пусть х (t) — входной непериодический сигнал, который можнопредставить в виде интеграла Фурье
оо
1
т. е. суммы бесконечно малых синусоидальных составляющих, каждая из которых имеет вид
dx(t) = ^Sx(P)*iatda |
(41). |
При воздействии каждой бесконечно малой синусоидальной составляющей dx (t) на выходе линейного устройства появляется
23.
бесконечно |
малая |
синусоидальная |
составляющая dy (t), |
которая |
|||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy (0 = |
dx (t) К (/со) = |
-|г S * |
№ К № ) е ' ' Ш ' d a - |
<4 2 > |
|||||
Так как для линейного устройства справедлив принцип супер |
|||||||||||
позиции (действие суммы причин равно сумме |
действий, |
вызыва |
|||||||||
емых каждой отдельной причиной), то для нахождения |
полного |
||||||||||
выходного сигнала у |
(£) нужно просуммировать выражение для dy (t) |
||||||||||
по всем |
частотам, |
в |
результате |
чего |
получим |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
s* ^ |
к |
0 Ч й ) е / м ' d a - |
( 4 3 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
-00 |
|
|
|
|
|
Но у |
(t) |
можно |
также представить |
в виде |
интеграла |
Фурье |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У® |
= -Ь\ |
SyiW^da. |
|
(43а) |
||
|
|
|
|
|
|
|
- с о |
|
|
|
|
Приравняв |
выражения |
(43) |
и (43а), |
получим |
|
|
|||||
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
^ J |
Sx |
(/со) К (/со) е"»' cZco = |
±- \ Sy |
(/со) е"»' Ао, |
|
||||
-откуда |
|
-со |
|
|
|
|
|
|
-со |
|
|
|
|
|
|
Sx(fi>)K(jv>) |
= |
Su()<i>). |
|
(44) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, спектр выходного сигнала равен спектру вход ного сигнала, умноженному на амплитудно-фазовую характеристику. -Эти выражения справедливы не только для периодических и не периодических сигналов, но и для стационарных случайных сигна лов. При этом имеет место соотношение
W > ) |
= | Я |
И^(«>). |
(45) |
где Wy (со) и Wx (со) — энергетические |
спектры выходного |
и вход |
|
ного |
сигналов; |
|
|
| К (/со) | — модуль амплитудно-фазовой характеристики. Полученные выражения говорят о том, что поведение линейного
устройства при любом произвольном воздействии определяется его амплитудно-фазовой характеристикой, позволяющей вполне одно значно находить:
спектр преобразованного сигнала по спектру входного сигнала
иамплитудно-фазовой характеристике
sy{jv>) = |
sx№K№); |
.24
спектр входного сигнала по спектру преобразованного сигнала'
испектральным свойствам устройства
амплитудно-фазовую характеристику по спектрам входного и преобразованного сигналов
K(j®) = Sy(i<u)[Sx(j<i>)]-1.
Временные характеристики устройства наиболее универсально отображаются с помощью переходной функции h (t) и импульсной
реакции g (t). Под переходной функцией понимается отклик |
устрой |
ства на воздействие в виде единичной функции. Импульсная |
переход |
ная характеристика или импульсная реакция — отклик на |
воздей |
ствие единичного импульса. Определим отклик устройства на произ
вольное воздействие, |
если известны |
его переходная |
функция |
и |
им |
||||||||||||
пульсная |
реакция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть |
х (t) — произвольный |
непериодический сигнал, |
который: |
|||||||||||||
можно |
представить |
в |
виде |
интеграла |
Дюамеля |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а?(0= \ x"{x)a{t-%)dx |
|
|
|
|
(46). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— интегральной суммы запаздывающих единичных |
функций a (t .— |
||||||||||||||||
— т), имеющих |
бесконечно |
малую |
амплитуду |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
-^-[x |
(t) ]dx |
= xf |
(т) dx. |
|
|
|
(47) |
||
|
При подаче на вход устройства элементарного импульса в виде- |
||||||||||||||||
единичной |
функции |
с |
бесконечно |
малой |
амплитудой |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx (0 = х' (т) a (t — т) dx |
|
|
|
(48). |
||||||
на |
выходе |
действует |
элементарный |
выходной сигнал |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dy(t) |
= x'(x)h(t-x)dx, |
|
|
|
|
(49)« |
||||
где |
h (t — т) — переходная |
функция |
устройства. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Так как для линейного устройства справедлив принцип суперпо |
||||||||||||||||
зиции, |
полный |
отклик |
выразится |
как |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t)=\x' |
(x)h(t~x)dx. |
|
|
|
|
(50), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
выводе |
этого |
выражения предполагалось, |
что |
при |
t = |
0> |
|||||||||
х (0) = |
0 и h (0) = |
0, |
но в ряде |
случаев или х (0) |
0, |
или |
h (0) |
Ф |
|||||||||
25>
Ф О, т. е. имеют место ненулевые начальные условия, |
поэтому вы |
|
ражение (50) может |
быть представлено в виде |
|
y(t) |
= x(0)h(t) + \х' (т)h{t — x)dx. |
(51) |
|
о |
|
Когда сигнал задан графически и известна переходная функция, выходной сигнал может быть представлен в виде конечной суммы элементарных откликов
|
|
|
п |
|
|
|
|
y(t) = x (0) h (t) + ^ Axkh |
(t — A; AT) A T . |
(52) |
|||
Если сигнал представить в виде интегральной суммы единичных |
||||||
импульсов б (£) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
x{t) |
= |
\ x(x)8(t-x)dx, |
|
(53) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
•то выходной |
сигнал у (t) может быть |
определен как |
|
|||
|
|
|
t t |
|
|
|
|
y{t) |
= |
\x{x)g{t~x)dx, |
|
(54) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
тде g (t — т) — импульсная |
реакция |
устройства. |
|
|||
Поскольку единичный импульс можно выразить в виде первой |
||||||
производной |
по времени |
от |
единичной |
функции |
|
|
|
|
8(t) = ^[a(t)], |
|
(55) |
||
то для линейного устройства импульсная реакция связана с пере
ходной |
функцией тем же |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
g ( 0 ~ - а г №(*)]• |
|
(56) |
В общем случае для ненулевых начальных условий выражение (54) |
|||||
может |
быть переписано |
в |
виде |
|
|
|
|
|
< • |
|
|
|
y(t) = |
x (t) h (0) + J x (т) g(t-x) |
dx. |
(57) |
|
|
|
|
о |
|
|
Итак, поведение линейного устройства, его отклик у (t) на произволь ное воздействие х (t) полностью определяется или амплитудно- ч
26
