Файл: Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 181

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Выразим координаты точек

(xk, yk)

в единицах шага съемки s:

-^- = [ / ] + а

и - ^ = [ і ] + а,

где [/], [г] — целые числа; а

— их

дробная часть.

Рис. 7. Схема расположения массива походных данных на планшете.

1 — матрица (32 порядка) результативных значений; г — полоски результативных зна ­ чений, запоминающихся в ОП; з — полоски результативных значений, засылаемых на МБ; I — исходное поле точек А^, II — упорядоченное поле точек в ОП; III — положение резуль­ тативных точек относительно окрестности радиуса R \ s — шаг результативной сети; хц, уа — начало условной системы координат; X, Y — прямоугольные координаты.

Представим часть оперативной памяти в виде квадратной матрицы с номерами строк / и столбцов і (рис.7).. Затем выберем начало услов­ ной системы координат х0 , у0 в верхнем левом углу и координаты всех точек проведем к этой системе (х, у), х = х0 — xk, у = у0 — -I/ft-

Вычислим номер ячейки ОП как 3 (т [/] -)- [і]), где m —• число столбцов квадратной матрицы, а [/], [г] — целые части от дробей

[j] — j ^ - * 0 ~ X k J, ft] =

У п ~ У к J. Начиная с ячейки, для которой

вычислен номер, последовательно в три ячейки заносятся значения xk,

50

yk, Uk.

[Каждая точка ük (xk, ylt) п ее координаты xk, yk, имеющие

номера

i, j , заносятся в ячейку с номерами i, j . ] Чтобы две соседние

точки, расстояние между которыми меньше s, не попали в один узел,

перед началом работы во все ячейки ОП, где будут находиться

Uk,

заносятся очень большие константы, а перед помещением Uk

в узел

(is, js) проверяется,

находится там константа или

Uk. Точки

Ак,

которые не попали

в узлы, засылаются в соседние

узлы (is

±

1),

(js ± 1).

 

 

 

 

Таким образом,

точки размещаются упорядоченно в оперативной

памяти машины в ячейках i, j , сохраняя неизменными свои коорди­

наты xk,

ijk и образуя квадратную матрицу.

путем

Если

 

же

делать

упорядочивание

и

выборку массивов

перебора

точек, то для этого необходимо

проверить условие

 

 

 

 

l(xk-is)z

+ (yk-is)*Vl^R,

 

(V.7)

где is,

js

— координаты точки счета;

хк,

ук—координаты

точек,

лежащих

в

окрестности

R.

 

 

 

Естественно, при

этом

происходил

бы многократный просмотр

точек, которые заведомо не входят в окрестность точки счета. Это приводило бы к значительной непроизводительной потере машинного времени.

 

Упорядоченная описанным

способом

система

точек, позволяет

не перебирать весь массив точек по условию (V.7)

для выбора

точек

в окрестности R,

а выбирать непосредственно из матрицы порядка m

матрицу порядка

2R. После

того

как произведено

упорядочение,

легко определяется программным путем средняя

плотность

съемки.

 

Применительно к задаче интерполяции алгоритм должен еще

проверить

два

условия:

1) больше

или

равно

шести число

точек

в

элементарной

матрице

порядка 2R? 2)

не

расположены

ли

точки

Ак

внутри

этой

матрицы

на

одной

линии?

Так

 

как

система

(V.5)

не решается, если эти условия нарушаются, то предусматривается увеличение области 2R настолько, чтобы эти условия выполнялись. Вычисленная средняя плотность используется для автоматического

выбора

области

2R. При

средней плотности, равной

0,56;

0,27;

0,17; 0,11 г/см3 ,

начальный R принимается

равным 2s,

3s, 4?,

5s,

а затем

он увеличивается

настолько, чтобы

обеспечить

построение

полинома по числу точек, приблизительно равному 14. Такое коли­ чество Ак внутри R дает необходимую точность восстановления функции.

Когда точка счета находится в центре окрестности радиусом R, расширение окрестности происходит добавлением шагов во все сто­ роны от нее. Когда точка счета расположена на краю области зада­ ния функции, расширение окрестности происходит добавлением шагов в сторону поля счета (см. рис.7).

Для сохранения постоянной точности вычислений по всей резуль­ тативной матрице алгоритм осуществляет анализ точности исходной и результативной функций. Для этого проводится построение интер­ полирующего полинома, в котором все точки входят с весом Рк = 1,

4*

51

и происходит вычисление среднеквадратических погрешностей отно­ сительно построенного полинома для всех точек, участвующих в счете. Если в исходной функции обнаруживаются точки, которые не удов­ летворяют условию

\F(x, y)-Uk\^Se,

'

(V.8)

то они считаются точками с грубыми погрешностями, исключаются из счета, а их значение и координаты выдаются на печать (рис.8).

Рпс.

8.

Пример сопоставления карты,

построенной вруч­

ную

(2) и с использованием стандартной

подпрограммы (2).

В неравенстве

(V.8) е — среднеквадратическая погрешность исход­

ных данных в мгл, либо задаваемая одновременно с исходными данными, либо получаемая в предыдущих блоках АСО.

Необходимо, чтобы поле счета при'переходе от одной результа­ тивной матрицы к другой образовывало непрерывную систему точек.

Для этого из четырех К01,

К02,

Кго,

К22

матриц составляется

одна

квадратная

матрица 32 порядка и

из

нее

формируется поле

счета

в виде квадратной

матрицы

24

порядка. При переходе от одной .

матрицы к другой такие размеры поля

обеспечивают непрерывность

исходного

поля

следующим

образом.

При вычислении функции

по первой элементарной матрице используются примыкающие к пей части соседних матриц (см. рис. 7). Аналогично составляется подоб-

52

ное поле счета при вычислении функции по последующим матрицам. В процессе работы алгоритма значения результативной функции формируются в виде квадратной матрицы 20 порядка, а выдаются значения результативной функции в виде квадратной матрицы 16 порядка. Боковая полоса — 4 X 20 точек и нижняя — 4 X 16 точек хранятся и используются при формировании результативного поля смежных квадратов. Тем самым, за счет незначительного перекрытия рядом лежащих результативных матриц достигается непрерывность результативного поля, а за счет перекрытия исходного поля сохра­ няется постоянная точность на всей площади.

Изложенный алгоритм используется в нескольких (например, редуцирование) задачах, в том числе в задаче интерполяции функции, рассматриваемой в настоящей главе. С помощью этого алгоритма решаются задача интерполяции (вычисление функции в узлах квадратной сети) и ряд ее модификаций.

3.ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ

В рассматриваемом

методе интерполяции точность

ô

функции

U (я, s)

определяется

следующими

параметрами:

ô =

/

(R

(п), е,

Р (ï|, ѵ),

где R — радиус окрестности точки счета (размером

элемен­

тарного параболоида), п — число точек Ak,

попадающих в эту окрест­

ность, Р ( м , ѵ) — вид

веса и численное значение входящих

в него

параметров,

е — точность исходной функции U

(xk,

yk).

 

моделях.

Оценим

точность

метода

сначала

на

аналитических

В качестве одной из них было принято Vz

(х, у)

поля шара

с пара­

метрами: радиус — 5 км, глубина центра тяжести

— 6 км,

плотность

0,2 г/см3 . Для того чтобы модель не была симметричной,

эпицентр

шара был смещен относительно центра квадрата Коі.

Средняя плот­

ность была задана около 0,56

пункта на s2. Аналитически

 

вычислен­

ные значения (точные)

Ѵг

—

U (х, у) вводились в программу,

реали­

зующую изложенный метод интерполяции. В результате счета были

вычислены U (s, s) — значения функции в

узлах

регулярной сети.

Тогда абсолютные погрешности

 

 

maxA = |(7(s, s) — U(s,

s)j

(V.9)

и среднеквадратпческпе отклонения

 

 

 

 

(V.10)

характеризуют точность метода. В (V.10) s — число точек, результа­ тивных в матрице К01. В табл. 8 приводятся результаты этих рас­ четов.

Из табл. 8' видно, что при точно заданных потенциальных функциях наименьшая погрешность получается в том случае, когда

53

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 8

 

Параметры счета

 

 

 

 

 

 

max

Д , мгл

ô, мгл

Я

n

V

 

 

 

s

 

1

0

0,11

0.17

s

 

2

0

0,09

0,015

2s

•12—14

T

0

0,17

0,025

2s

1 2 — 1 4

2

0

0,12

0,018

3s

1 8 — 2 0

1

0

0,24

0,36

2s

1 2 — 1 4

1

1

0,31

0,032

2s

1 2 — 1 4

1

4

0,34

0,033

2s

 

Л с = 1

 

0,52

0,10

полиномы построены по числу

точек,

 

близкому

с

минимальному

(л «rf 6). При Рк = 1,

когда все точки

входят

с

равным

весом,

происходит «сглаживание» поверхности,

и значения погрешностей

в этом случае получаются наибольшие.

 

 

 

Как

видно из приведенных оценок,

на точность

восстановления

функции

U (s, s) можно

влиять,

меняя

параметры. Поэтому

задачу

оценки точности метода

будем

формулировать следующим

образом:

найдем такие параметры, при которых погрешность ô результативной функции U (s, s) равнялась бы (или была бы близка) погрешности е исходной функции U (х, у). Эти параметры будем называть опти­ мальными для данной задачи. Их значение определим на моделях,

отягощенных

погрешностями. Одна из

таких моделей

приведена

в работе

[81]; она представляет собой

гравитационпое

поле трех

точечных

масс. В модели меняются шаг и погрешность

е функции

U (х, у): s =

0,25; 0,5; 1,0; 2,0 км и соответственно е = 0,1; 0,2;

0,4; 0,7 мгл.

 

 

 

Для оценки точности б функции U (s, s) вычислялись погрешности по (V.10). Одновременно для характеристики точности совпадения

интерполирующей функции F (х, у) с исходной вычислялась

погреш­

ность ô 2 :

 

 

( V . l l )

здесь U (х, у) — значения исходной функции, отягощенные

погреш­

ностями; U (х, у) — значение функции, найденное методом

наимень­

ших квадратов в тех же точках, где задана исходная

функция.

Некоторые из результатов этих расчетов приведены

в табл. 9

и 10. Более полно они даны в [63]. Анализ табл. 9 и

10

приводит

кследующим выводам:

1.При сохранении s = 1 км постоянным (табл. 9) и изменении в существует минимум среднеквадратической погрешности ô2 и велн-

'чина его различна при разном количестве точек (переменном ра­ диусе R).

54

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 9

 

£ = 0 , і

 

£ =

0,2

8 =

0,4

8=0,7

 

R

ô.

б,

 

бі

6.

6,

 

 

 

 

6.

Ô,

1

0,080

0,072

0,153

0,144

0,315

0,288

0,552

0,504

2

0,097

0,053

0,128

0,090

0,212

0,169

0,351

0,291

3

0,212

0,108

0,220

0,122

0,250

0,164

0,318

0,239

4

0,390

0,234

0,393

0,242

0,404

0,262

0,432

0,306

п

} и м с ч а II II П. 1.

Величины

Е,

ô, II б. } казана в ыгл.

 

 

2.

В этой та блице, ка к и в друг ix,

подчері путы МИННмалыше

зі іачения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б . fi и ц а 10

 

s = 0,25;

8=0,1

s=0,5;

Е = 0,2

s = i , 0 ;

е=0,4

s = 2,0;

Е=0,7

R

 

б,

6.

 

6,

б.

б,

б»

6,

 

б.

 

1

0,078

0,072

0,157

 

0,143

0,315

0,287

0,552

0,305

2

0,058

0,041

0,115

 

0,082

0,231

0.164

0,426

0,760

3

0.090

0,051

0,179

 

0,101

0,358

0,203

0,720

2,605

4

0.159

0,100

0.318

 

0,218

0,637

0,436

1,314

3,240

п р и м е ч а и и е. е,

бі h б. ука заны в мгл , S — В КМ.

 

 

 

2. При одновременном изменении s u e наблюдается минимум среднеквадратической погрешности о2 для данной е. Количество

точек, при котором фиксируется

этот минимум, постоянно.

Расчеты позволили

выбрать

отпимальные

параметры, т. е. те,

при которых бг

е и max | А | ^ Зе. Эти параметры указаны в табл. 11.

 

 

 

 

Т а б л и ц а 11

Шаг и заданная точность

 

 

 

определения

аномалий

Оптимальные параметры

[или

ошиока интерполя­

 

 

 

 

ции (б)]

 

 

 

s,

км

е, мгл

R

ч

V

0,25

0,1—0,2'

2

1

3

0,5

0,2—0.35

2

1

3

1

 

0,4-0,8

2

1

2

2

 

0,8

2

1

2

Как отмечалось в предыдущем разделе, задачу интерполяции можно использовать и при вычислении Ѵхг, Ѵуг, Ѵ^, Ws, tg <p. Для сглаживания нужно использовать Pk = 1, но в этом случае численные значения параметров будут уже другие [81].

55-

Смотрите также файлы