Файл: Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений..pdf

О

à

10

і.кіі

Рис. 4.

Влияние случайных погрешностей на точность

1

метода при изменении шага

заданпя

функций.

Цх,

y,z)

= ^ ^ d S , .

(IV.20)

где

F — некоторая потенциальная функция; S — поверхность, за­

данная в виде координат поверхности (£,т), £); (ж, у,

z) — координаты

точки

счета.

Известно,

что

во

многих

задачах

гравиразведкн

необходимо

вычислить интеграл вида (IV.20).

В

зависимости

от вида

функции F и степени га интеграл

вида

(IV.20) дает возможность решать следующие

задачи

гравиразведкн:

S

1.

Вычисление

потенциала

V (х, у, z)

прп F =

Ѵг (г), га = 1 ;

=

const.

2.

Вычисление Ѵг (х, у,

z) от контактной поверхности при F = 1,

га=

1, вычисление поправки за рельеф местности при z = О, S — S

(£> il -

£)•

ф (х, у,

z)

и Ѵг (х, у, z)

в

3.

Вычисление поверхностной плотности

задаче редуцирования

по

формулам М. С. Молоденского

F =

= a - z )

Ѵг

(г), п = 3, S

= £ ( £ , т ] , S).

полу­

4.

Различного

вида трансформации: а) пересчет в верхнее

пространство

при F — zYz

(г),

п = 3,

iS =

const,;

б)

вычисление

V„

(X, у, z)

при F =

(г2 —3z2 )

F z (г),

п =

5,

5 =

const.

При вычислении интеграла вида (IV.20) по существующим схе­

мам

[92] в

задачах

гравиразведкн

поверхность

интегрирования

разбивается

на отдельные

элементы

As, по

которым

счет прово­

нии анализа

исходной функции и в соответствии с

требуемой

точ­

ностью

вычислений

осуществлял

бы в зависимости от некоторых

условий вычисление интеграла вида (IV.20)

с переменными

пара­

метрами S и As, где As = s-s (s — шаг

интегрирования,

S — раз­

меры всей области интегрирования).

F задана

Поставим

задачу.

Пусть

подынтегральная

функция

с погрешностью е. Функция F аппроксимируется с погрешностью

б( £ , г|)

некоторой

аналитической

функцией, где

ô ( £ , n ) = / ( s ,

As, F, r").

Будем считать: 1) интеграл / вычисляется

с максимальной

точ­

ностью при минимальном шаге sm i n , причем с уменьшением s

sm i n

значение

интеграла

стремится к его точному

значению;

2) размеры

поверхности S переменные и ограниченные; 3) горизонтальные

производные

подынтегральной

функции F и S существуют п ограни­

чены. Величины производных с возрастанием

степени

производной

резко

уменьшаются.

Построим

вычислительную

схему

таким

образом,

чтобы вы­

полнялось

условие

j

j

ô ( ^ }

AS = const,

const =f 0,

(IV.21)

m

s

a интеграл

/ = У, I k

, где m — число As,

Тогда

общая погрешность

вычисления

интеграла

/

не будет

превышать

2 е -

Численное

выражение es = / (е, As, г) даст

конкретный вид

условий,

которые определят

изменение

области As.

Задав точность е вычисления интеграла I , будем при выполнении

условий (IV.21) искать переменный шаг интегрирования As.

Алгоритм

динамических

палеток

может

быть

реализован

сле­

дующим образом. Вся площадь интегрирования

5 разбивается на

элементарные

квадратики

интегрирования

A s m i n

с

шагом

sm i n .

При удалении от точки счета в зависимости от выполнения

конкрет­

квадратов с sm i n

в строке, а число ячеек (т)

логической шкалы —

числу квадратов

с smin в столбце, т. е. к = AB/smia, m = AC/smin.

Если размеры AB таковы, что &> - 45,

то для продолжения

и т. д., т. е. длина логической шкалы

практически неограничена.

Если

можно ограничиться

s <іАС,

то число

строк логической

шкалы

следует ограничить

m — sm a x /sm i n . Когда

исчерпана шкала

осуществляется

сдвигом на шаг по столбцу.

Приведем пример использования изложенного алгоритма для

задачи

редуцирования, основанной на решении интегрального

урав­

нения

М. С. Молоденского. При численном

решении

этой задачи

алгоритмы используются для вычисления

интеграла

(ГѴ.9)

вида

(IV.20), когда

F = ц> (х, у) (z—z,), п — 3,

где ф (х, у) — поверх­

ностная плотность, вычисленная по Ѵг с погрешностью, гг — высота

точки счета, z — текущая высота поверхности S (х, у, z). При вычис­

лении

(IV.9)

подынтегральные функции

ф и z—zx

аппроксимиро­

вались (IV. 10)

алгебраическими

многочленами

второй

степени

F2 (х, у)

и Со (х, у). Известно, что полиномом

высокой степени

можно

с

необходимой

точностью

аппроксимировать дискретную

функцию,

заданную с погрешностью [10].

Тогда

погрешность е функции F будет иметь вид

е =

Fn

(Ді,

у) Qn

(х, у) -

F2

(х,

у) Q2

(х,

у).

(IV.22)

В

соответствии

с общей

постановкой

задачи при

редуцировании

вид условия

(IV.21)

записывается

как

Fn (s. У) Qn (г,

у)

-

(X, у)

(X,

у) dS.

(IV.23)

Заданные

функции

ф (х, у) я z (х, у) отражают

характер

потен­

циальной функции и степень изрезанности рельефа, и величины

коэффициентов полиномом изменяются при изменениях ф

и z.

В программе предусмотрено многократное численное

диффе­

между

As и которая в табличном виде хранится в ОП ЭВМ.

При

изменениях F и S каждый раз происходит

вычисление

новой

численной зависимости

(ГѴ.23),

которая в алгоритме ис­

пользуется для автоматического

разбиения площади S на перемен­

ные As.

Изложенный алгоритм позволяет,

таким образом,

производить