Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 222

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4.3.. Проверка статистических гипотез

Классификация гипотез. Исследуя случайную величину, всегда располагаем ограниченным числом наблюдений хх, х2, хп, ко­ торые представляют собой выборку объемом п (4.1) из генеральной (часто бесконечной) совокупности возможных значений рассматри­ ваемой величины. Основываясь на экспериментальных данных,, ис­ следователю приходится принимать или отвергать ту или иную ста­ тистическую гипотезу о случайной величине, т.е. генеральной сово­

купности в целом. Причем всегда

имеем дело с двумя

гипотезами:

В0

— проверяемой

и

Нг

— противоположной ей

(альтернативной

или конкурирующей).

Например, гипотеза Н0 — случайная вели­

чина X имеет равновероятный закон распределения,

Я 4 — вели­

чина

X

распределена

по

закону,

отличному от

равновероятного.

В данном случае надо из двух

взаимоисключающих возможностей

выбрать

 

одну.

Такая

задача

называется проверкой

п р о с т о й

г и п о т е з ы .

Если

количество

исходных возможностей больше

двух,

то говорят о

с л о ж н о й

г и п о т е з е .

Например,

# 0

—

уже

упоминавшаяся

 

гипотеза,

а Я 1

— гипотеза,

состоящая

в том,

что X либо нормальна, либо распределена по логарифмически нор­

мальному

закону.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гипотезы о равенстве числовых характеристик двух или более

случайных величин

 

(допустим,

Н0

— математическое

ожидание

Мг

=

М2 ;

НІ — Мг

ф МІ) называются н у л е в ы м и

г и п о т е ­

з а м и .

 

Эти

гипотезы

проверяют

следующий

вопрос:

Мх

—

—Мо =

О?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача проверки

статистических

гипотез заключается не

в вы­

яснении абсолютной истинности или ложности проверяемой гипо­ тезы Н0, а в установлении того, согласуется она с выборочными {экспериментальными) данными или противоречит им. Если гипо­ теза #„ принимается, это не значит, что она истинна, просто по •отношению. к имеющимся экспериментальным данным она более правдоподобна, чем Ht.

Критерий проверки. Выборка (4.1) является случайной. Это зна­ чит, что проведя еще п наблюдений надХ, получим аналогичную по

объему, но иную выборку: х\, х'ч,

х'п. Повторяя этот процесс

N раз, получим систему выборок типа (4.1), которые, вообще говоря,

•будут отличаться друг от друга. Если члены каждой выборки рас­ сматривать как координаты некоторой точки в/г-мерном простран­

стве,

то очень наглядно все N выборок можно изобразить точками

этого

пространства zlt

z2,

z\,

z^. Очевидно, что среди

вы-

•борок

могут оказаться

такие, по отношению к

которым гипотеза

# 0

верна (наиболее правдоподобна), а по отношению к другим лож­

на,

и ее следует отвергнуть в пользу конкурирующей гипотезы

Н1.

Необходимо иметь какое-то

правило,

критерий,

который бы

по­

зволил по результатам наблюдений (по одной выборке z{) принять или отвергнуть исследуемую гипотезу. Для этого все простран­ ство выборок объемом п(/г-мерное пространство Оп) разбивают на

 

 

 

 

 

 

(4.46)

Если выборка zt

попадает в область

«приемки» 0 п р , то проверне-

мая

гипотеза Н0

принимается, если

же — в критическую

область

0 к р ,

то отвергается.

 

 

 

Уровень значимости. Естественно, возможны такие выборки,,

что, основываясь

на них, мы вынуждены будем по нашему

правилу

отвергнуть

гипотезу # 0 ,

когда она верна, — о ш и б к а

п е р в о ­

г о

р о д а ,

или

принять гипотезу Н0,

когда она ложна, — о ш ігб-

к а

в т о р о г о

р о д а .

Обозначим

вероятности этих ошибок со­

ответственно р и р\. Используя выражение для условной вероят­

ности,

можно

записать

 

 

 

 

 

 

Р -

Р {гг

£ О„р/Я0 };

р! = Р {zt

€ ОярОД .

(4.47>

Здесь

выражение

[zi £ О к р / # 0 ]

обозначает

событие,

состоящее-

в попадании точки zi в критическую область

при условии,

что ги­

потеза

# 0

верна.

Подобно расшифровывается и событие

{г,- £

Опр/Ях).

 

 

 

 

 

 

 

Ясно,

что надо так выбрать

критическую

область

О к р ,

чтобы

Р и р\ были минимальны. Однако при заданном конечном объеме

выборки /г минимизировать обе вероятности

Р и р\ одновременно

не удается. Поэтому критерий проверки гипотезы выбирают сле­

дующим

образом: задают

некоторую

достаточно

малую

величину

р и область

О к р находят

из условия

минимума

р х

( к р и т е р и й

Н е й м а н а

— П и р с о н а ) . Вероятность р называют у р о в ­

н е м з н а ч и м о с т и

к р и т е р и я

п р о в е р к и

г и п о ­

т е з ы .

Вероятность (1 — рх ) отвергнуть

гипотезу

# 0 ,

когда она

ложна,

называется м о щ н о с т ь ю

к р и т е р и я . .

 

Чем больше величина р, тем «жестче» уровень значимости и строже критерий. Приняв, например, Р = 0,05, мы обязаны счи­ тать, что событие, вероятность которого меньше 0,05, практически невозможно (при условии справедливости Н0), а если уж оно поя­ вилось, то это указывает на неправильность исходной гипотезы Я0 , (на значимость отклонения от Н0), т. е. следует принять ее альтер­ нативу Hv Это значит также, что в 5% случаев можем отвергнуть гипотезу # 0 , когда она верна. Часто оказывается, что чем больше уровень значимости р, тем мощнее критерий (больше 1 — pj), т.е. тем правильнее будем делать выводы относительно ложности ги­

потезы Я 0 ,

меньше будем совершать ошибок второго рода (но боль­

ше первого).

 

 

Понятие

уровня

значимости базируется

на п р и н ц и п е

п р а к т и ч е с к о й

н е в о з м о ж н о с т и ,

который надеж­

но проверен и подтвержден практикой. Поскольку проверка от­ дельной статистической гипотезы представляет собой единичный опыт, то исследуемое при этом событие 2( ^••QKp, вероятность ко-

торого

мала

р =

0,01

4-0,05,

можно считать

практически

невоз­

можным. В качестве наиболее употребительного уровня

значимости

для инженерных расчетов можно рекомендовать

|3 =

0,05.

Когда

из теоретических,

физических

или

иных априорных

предпосылок

следует

 

уверенность в

справедливости

проверяемой

гипотезы

Я 0 ,

можно

брать р =

0,01. В противоположных ситуациях

(когда есть

уверенность

в

ложности

Н0)

разумно

принимать

р =

0,1,

чтобы

повысить мощность критерия

(1 —

Р,).

 

 

 

п

 

 

 

 

 

Гипотеза

о

законе

распределения.

Проведено

наблюдений

над случайной

величиной

X, на основе

которых

получен

эмпири­

ческий интегральный закон распределения Fa(x)

[см. формулу (2.2)].

Из физических, теоретических

(или

иных) соображений

принято,

что истинный закон распределения величины

X

имеет

вид

F

(х).

Требуется проверить эту статистическую гипотезу

(#„). Альтерна­

тивной гипотезой в данном случае

будет Нг:

«X

распределена

по

закону, отличному от F (х)».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Есть

несколько критериев

проверки такой простой

 

гипотезы.

Они называются

к р и т е р и я м и

с о г л а с и я.

 

 

Критерии

согласия

дают

возможность

оценить,

является

ли

расхождение

между эмпирической Fg (х) и теоретической F (х) кривыми случай­ ным, несущественным или же оно не случайно, значимо.

1. Критерий

согласия Колмогорова. Сравнивая

две кривые F0 (х)

и F (х), находим

величину

 

 

Л = max | F3 (х) — F (х) \-Vn.

(4.48)

Если Л окажется больше некоторой величины Я|_р, то гипотеза Н0 должна быть отвергнута. Величина ?ч - р есть корень уравнения [33]

К(Х,_р) = 1 - р.

(4.49)

Она легко находится по табл. П.9 для любого р. Величина уровня значимости р для критерия Колмогорова обычно задается равной

или

большей

0,05.

2.

Критерий

согласия у? Пирсона. По этому критерию прове­

ряется гипотеза Н0 о согласии теоретического дифференциального закона распределения случайной величины / (х) [см. (2.3)] с эмпи­

рическим дифференциальным законом

/ э (х)

[см. (2.5)].

Задаемся

аналитическим видом / (х), и оцениваем его

параметры

на

осно­

вании выборки (4.1), количество которых в

общем

случае

может

быть s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По

результатам наблюдений

(4.1) х ь

х 2

 

х„

вычисляем

ве­

личину

х2- Для этого предварительно интервал

[ х ь

хп]

разбиваем

на N подынтервалов ( 5 ^ N ^

12). Обозначим

&П] число наблю­

дений, попавших в /-й подынтервал (/ =

1, 2,

.... W) шириной

Axj.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ =1

я"7

""/У

где п — объем выборки; р] — теоретическая вероятность попадания X в /-й подынтервал (xj, х} — кх/):

 

 

 

 

р\=

 

г1

 

 

N

 

 

. (4-51)

 

 

 

 

 

\

f(x)dx;

V] Р } = 1-

 

Величина

х2

будет

распределена

по

закону х2_Пирсона

(3.25)

с

k = N — 1 — s степенями

свободы [34].

 

 

 

 

Если вычисленное по формуле (4.51) значение X2 окажется больше

хр, то

гипотеза Я 0

отвергается,

 

поскольку

расхождение

между

7э (х)

и / (х)

значимо.

 

Гипотеза

Я 0

принимается,

если

%2 ^

х$.

Величина

 

находится

из уравнения

3* (х, k) — р по табл. П.З при

заданном

Р и при

/г =

N — 1 — s.

 

 

 

 

 

Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух случайных

величин.

Случай

первый.

Заданы

две нормально

распределенные

случайные величины

X

и

Y,

имеющие одинаковые дисперсии

D (X) =

D (У)-=

а2

(величина

а2

может быть неизвестной). Тре­

буется по результатам наблюдений над этими величинами

 

 

 

 

 

 

 

Хх,

Хъ,

•••> ХПі)

У\, У%і

1/па

 

(4.52)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проверить гипотезу Я„ о равенстве математических ожиданий М (X),

М (Y). Вычисляем

величину

 

 

f _

У") У / г і

" з [1 — 2 / ( л х 4 - / г 2 ) ]

^

 

V 1=1

і=і

 

К р и т е р и й С т ь ю д е н т а

для проверки гипотезы Я 0

можно

сформулировать следующим образом: если полученное на опыте

значение

t

окажется по абсолютной величине больше

некоторо­

го

числа

 

то гипотеза о равенстве М

(X) и М (Y)

отвергается

на

уровне

значимости

(3, если

меньше,

то принимается. Величина

tx_$

= t (1 — Р;

пх

+ пг

 

— 2)

находится

по табл. П.4

при а

=

= 1 — р и /г = лх

+ п 2 — 2.

 

 

распределенные

величи­

 

Случай

второй.

X и

Y — произвольно

ны,

причем

дисперсии

D (X) — <з% Ф D (Y) = с$.

Для

проверки

гипотезы

Я 0 о равенстве математических

 

ожиданий М (X) =

М

(Y)

в этом случае

используются

приближенные критерии

(при

пх

>

^ 2 0 ,

По, >

20). Находим

Ojj.,

а\у по формуле (4.9), л:, у

по формуле

(4.6)

и величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W = (x-y)

I V{o\xlnx)

+ (a\y!n2).

 

 

 

(4.54)

Если | W\ ^ «o,5(i-0), то гипотеза Я0 -принимается на уровне зна­ чимости Р; если | W] > «0 ,5(1-р),то отвергается в пользу конкури­ рующей гипотезы М (X) ФМ (Y). Здесь ыо,5и-р) — корень урав­ нения (4.31) при у = 0,5 (1 — Р) [см. табл. П.1].

3

Зак. 1282

49

Смотрите также файлы