Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 218

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

'иость (1 — а) называют д о в е р и т е л ь н ы м у р о в н е м . Из рис. 15, а видно, что 1 — а = [3: + В 2 , где р\ и 62 — вероятности того, что истинное значение параметра окажется соответственно левее я.шжн и правее о в е р х 1 Г

аиижн а а авсрхн

а

аиижн

а а а6ерхн

 

6

 

 

 

 

 

1

Чч

'

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

а в

а

Щерхн

 

 

 

 

 

Да)

 

 

 

 

Р и с .

15.

Д в у с т о р о н н и е

1-А 1

 

 

 

 

{а,

б)

и

о д н о с т о р о н н и е

 

 

 

 

(в,

г)

д о в е р и т е л ь н ы е и н ­

 

 

 

 

 

т е р в а л ы

д л я п а р а м е т ­

 

•

О

^*^*

 

 

 

 

р а а.

 

Л

 

 

 

 

инижн

а

л

 

 

 

 

 

 

а

 

 

г

Обычно на практике рассматривают симметричные доверитель­ ные интервалы (см. рис. 15, б), для которых р\ = В2 = В и, сле­ довательно, 1 — а = 2 В,

а = 1 - 2В, В = (1 - а)/2.

(4.21)

Часто при решении

практических

задач представляют интерес

не обе доверительные

границы, а

какая-то одна. В подобных

случаях рассматривают односторонние доверительные интервалы

(см. рис. 15, в, г). Например, если искомый параметр а— положи­

тельная величина, то односторонними

интервалами

для него будут

(О, а„с р х 1 1 ) и ( а Ш 1 Ж Н 1 о о ) . Очевидно,

что для таких

доверительных

интервалов

выражение

(4.20) превращается в два равенства:

 

Р {аВ ерін> а ) = а ' .

р К ш ш . <

а} = «.

(4-22)

и, соответственно, р\ =

0, р 2 =

1 — а,

или

р\ =

1 — а, р 2 ~ 0

(см. рис. 15).

 

 

 

 

 

Задача

определения

доверительного

интервала

для неизвест­

ного параметра а всегда разрешима, если известен закон распре­

деления /(а) точечной оценки а (4.2) рассматриваемого

параметра.

В этих условиях величины а Ш 1 Ж Н

и а в е р х „

(см. рис. 15)

находятся

как

корни следующих уравнений:

 

 

 

 

 

для симметричного доверительного

интервала

 

 

(

 

 

°ПГО8Н

 

 

 

 

p { a < a , „ „ K 1 1 } =

 

\

f(a)da

=

 

 

 

 

 

— со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

= Р[а^ат}=

 

 

J / ( a ) d a = P ;

(4.23)

 

 

 

 

"верхи

 

 

 

для

одностороннего доверительного

интервала

(— оо,

а в е р х п )

 

 

 

л верхн

 

 

 

 

 

 

Р ( a < a B e p

x „ ) =

§

f{a)da

= a или

 

 

 

 

— о о

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

f(a)da==

 

1— a = P ;

 

(4.24)

 

"верхн

 

 

 

 

 

 

 

для

интервала ( а н ш к н , оо)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

Р { а > а и п

ж н ] =

I

f(a)da=a

 

или

 

 

"нижв

"иткк

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

j{a)da^

 

1— а = р.

 

(4.25)

— с о

Соотношения (4.23) — (4.25) получаются из определений до­ верительного интервала и вероятности попадания случайной ве­ личины а в заданный интервал (предполагается, что а — одно, из

возможных значений а). <> • Какую же а (доверительную вероятность) принимать в практи­

ческих расчетах? Понятно, что величина а должна быть достаточно

большой (чтобы быть уверенным, что доверительный интервал дей­ ствительно накрывает а) и в то' же время не слишком близкой к единице (иначе доверительный интервал будет чрезмерно велик). Ориентируясь на требования ГОСТа [32] и учитывая специфику реакторостроения, можно рекомендовать (для инженера— реакторостроителя) принимать в расчетах следующие величины довери­ тельной вероятности:

а = 0,8 ~ 0,99;

(4.26)

а = 0,8 — в прикидочных, вариантных расчетах и в большинстве практических задач; а = 0,9 -f- 0,95 — в задачах, имеющих от­ ношение к объектам или явлениям, которые могут быть причиной аварии или привести к большим финансовым издержкам; а = = 0,99 — в крайних, ответственных, случаях.

Доверительный интервал для математического ожидания нор­ мальной случайной величины:

х

^=t(a,

п — 1 ) < М < х Н

?=Ца,п—1).

(4.27)

Уп

— 1

 

Уп— 1

 

Это двусторонний симметричныйдоверительный интервал, в кото­ ром с вероятностью а'лежит математическое ожидание М нормаль­ ной случайной величины X. Для определения интервала достаточ­ но провести п наблюдений и найти х, а по формулам (4.6) и t(a, п — 1) — по табл. П.4 в приложении, задавшись а.

Часто инженера интересуют односторонние доверительные ин­ тервалы для математического ожидания. Можно показать, что с до­ верительной вероятностью а

М^х

2—t(2a—l,

л—1);

(4.28)

Уп

— 1

 

 

M<Lx-\

^=^t(2a-^\,

п — 1).

(4.29)

У « — 1

Доверительный интервал для математического ожидания про­ извольной случайной величины. Доверительный интервал, в ко­ тором с вероятностью а лежит математическое ожидание М произ­ вольной случайной величины при известном ее среднем квадратаческом отклонении а, имеет вид

 

х~ —^ua/2^M<x+-^=rUa/2,

(4.30)

 

уп

уп

где

иу(у = а/2) — значение аргумента

функции Лапласа (3.11),

при

котором

 

 

Ф (иу) = у.

(4.31)

Величина иа/2 легко находится по табл. П.1 в приложении.

Если о неизвестно, что при п > 10 вместо него в формулу (4.30) можно подставить ах [формула (4.9)]. В итоге получим приближен­ ную, но наиболее употребительную на практике интервальную оценку для /И:

4 K A I < * + - ? r « . / 2 .

(4-32)

Односторонние доверительные интервалы для математического ожи­ дания произвольной случайной величины имеют вид:

М^х

°—и.

і , или М<х + -^—и

, . (4.33)

 

Уп а~Т

УК

а ~ 7

Доверительный интервал для среднего квадратического откло­ нения нормальной случайной величины. Симметричный довери­ тельный интервал, в котором с вероятностью а лежит истинное среднее квадратическое отклонение а нормальной случайной ве­ личины X, имеет вид:

° \ / п

1 х ( Н Г '

"— 0 <а<°]/

/ г / л ' ( ^ Г '

" — і ) . (4.34)

где х($, k) —значение аргумента х функции 9й

(х, k)

[см. формулу

(3.27)], при котором

 

 

 

 

 

 

&>(х, k) =

8.

 

(4.35)

Величина

л:(8, k) легко находится по табл. П.З в приложении для

заданного k и 3* =

6. При k >

20

 

 

 

 

 

х(8, k) ^k

+ u.

і W,

 

(4.36)

 

 

 

- — P

 

 

 

 

 

2

 

 

 

где и і

—корень

уравнения

(4.31)

при v =

6.

Т - Р

.

 

 

 

2

 

Односторонние а-интервалы для о имеют вид:

а<аЛ/

, либо о>а\/

 

.'(4.37)

У

х{а,п — 1)

у х(\—а,п—\)

v

Доверительный интервал для среднего квадратического откло­ нения произвольной случайной величины. Такой интервал может быть определен только приближенно. С вероятностью а среднее квадратическое отклонение о произвольной случайной величины при п > 20 лежит в интервале:

— ^ < * <

- ^ >

(4-38)

У\+ь

У\—ь

 

где ft = u a / 2 | / ^ i . — l j / ( n —1) .

'

 

Односторонние «-интервалы для а имеют вид:

+ b'. и a<a1/Y

\—b'

(4.39)

(b' — b, если вместо а подставить 2 а — 1).

Доверительный интервал для вероятности события. Точечной оценкой для вероятности события является частота (1.31) Р с т = mitt появления события в серии из п независимых опытов. Возникает вопрос: насколько истинное значение р будет отличаться or оценки р = Р с т при заданном конечном п. Ответ на этот вопрос дает построение доверительного интервала, который с веро­ ятностью а накрывает р:

 

 

 

 

 

Р {Рнинш < Р <

Рверхн) = а

'

 

 

 

( 4 - 4 0 >

где доверительные

границы, симметричного а-интервала для р

 

 

Рішиш = Рнижн К

т> аУ>

 

Рверхн = Рверхн'К

аУ-

 

(4-41)

Эти функции приведены

в приложении,

табл. П.7.

 

 

 

Если для р требуется найти односторонний доверительный ин­

тервал,

такой,

что Р{р

> p]miKli)

 

 

= а или Р{р <

р в

е р х а )

=

а, то

можно

воспользоваться

теми же

формулами

(4.41),

куда

вместо

а следует

подставить 2а — 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для инженера интересны следующие три частных случая.

1.

Вероятность

появления

события

в отдельном

опыте

мала

р<С0,\.

 

В

этих условиях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р н и ж н = "вижв^'

 

Рверхн ~

""верхні»

 

 

 

(4.42)

где а н

ш к н

и а в е р х к — к о р н и соответственно уравнений

 

 

 

Q ( m - 1 ,

а н

и ж н ) =

(1 - а ) / 2 ;

 

Q(т, а в е р х н ) =

(1 +

а)/2.

(4.43)

Функция

Q (т, а)

табулирована

(см. табл. П. 6).

 

 

 

 

2.

n > 9

^ -

 

1 j .

Исходя

 

из выражения

(3.63),

 

можно

записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р — иа/2

V

р (1 — p)/n^p<p

+ iia/2V

р(1—

р)/п.

 

(4.44)

3. Очень характерный для реакторостроения случай: произве­ дено п опытов, например испытано п каналов реактора, а интере­ сующее нас событие (допустим, выход канала из строя) ни разу не произошло (т = 0). Очевидно, что нижняя граница для вероят­ ности р рассматриваемого события равна 0. Верхняя доверитель­ ная граница, левее которой о вероятностью а лежит истинное р при т = 0:

Р В е р х и = 1 - ^ ' Ь Г ^ = l - e x p j l n ( l - a ) j ^ - [ I n ( 1 - а ) ] / я . (4.45)

Эта зависимость представлена в табл. П.8 в приложении.

Смотрите также файлы