Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

k

^

i k

/

2

{дПдхі)1 Д?+2 2

2 {drldxtini.drldxfopijbihj , (5.8)

J = l

/

= І

i = i+\

для независимых X; (точнее

некоррелированных)

Г

'

: = 1

^

(=i

i=i / = » • + 1

(5.10)

2 Д'ї -

Ar = 1

/

где Агг=г(хи

x\,

хї + к і ,

4 ) — r ( x " , JC",

xl)— погреш­

При достаточно большом числе k ^

7 ч- 10 и при независимых

Л'г, согласно теореме Ляпунова (3.7),

линеаризованная функция г

Д л = 3 | /

2 ( № £ ) 2 ( А £ / ? { ) 2 ,

(5.11)

или

Аг=з]/ 2 (Д^/7,)2 ,

(5.12)

где УІ =

AJ/CJ — коэффициент, учитывающий вид конкретного за­

кона распределения / (л:,-), в частности для нормального

закона

с

М (хг)

=

х",

Аг = Зои 7 =

3; для равновероятного закона / (ХІ)

=

1/2А;,

у

=

J/3.

фактическая погрешность результата расчета будет меньше,

чем

| Аг|, вычисленная по

формулам (5.8)—(5.12). С вероятностью

0,95

она будет меньше, чем

-2j | А г |.

л'д) многих случайных

аргументов можно подсчитать по форму­

ле (2.28):

М (г) ~ г [М (х,),

М(х2),

М (xh)}

^

^

г(хъ

х2 ,

x j -

(5.13)

Если Дг отсчитыватьне от точки/•„ =

г (х^, х!,',

х"), как в первом

сохраняются и для данного

случая. Дисперсии D (хг) или средние

квадратнческие

отклонения

ои если не известен закон / (х; ), необ­

ходимо теперь

определить

для каждого х ; по фактическим стати­

Если раньше

ошибки

результата

«в плюс и

минус» были

равны

между

собой:

Дг+

=

| Дг~ | = Дг,

то в рассматриваемом

случае

налицо

явная

асимметрия

погрешностей:

Д/-+= Дг — \г,—М

(/•)];

Д г - = А г + [/•„ — /И (г)].

(5.14)

Итак, максимальная

(из Дг+, Дг~) погрешность расчета

Л / - м а к с = Дг + | / - Н — М ( Г ) | «

ЭЙ Дг - f | г JC , xS, .... х*) — r f c , х2 ,

x h ) | .

(5.15)

В рассматриваемом

случае фактическая погрешность результата г„

( Y

чем Д г м а к с с вероятностью Р [г <С

инженерного

расчета

меньше,

<Л4 (л) + Зогг} = 0,5 +

Ф (3) =

0,9987 [см. формулу (3.10)]. Наряду

ривать среднюю (как бы по серии опытов)

погрешность:

= \г(х",Х2,

х'1)— г(х1 ,

х2 ,

x j | -

(5.16)

Практика показывает,

что для большинства инженерных

расче­

тов результат г распределяется по закону, для

которого М (г)

«

Me (г)

Мо (г). Последнее тем точнее, чем ближе законы f (х; )

к

симметричным относительно М (х-;) и чем больше количество ар­

гументов

k, от которых

зависит результат га.

В общем

случае

средняя

(5.16), медианная

Д г м = | г „ - М е ( г ) |

(5.17)

и наиболее вероятная

А/' п =|/ - и - Мо(/ - )

(5.18)

случае,

когда

г (xlt х2 ,

xk) нелинейна или неизвестен вид этой

функции, ио

ее можно вычислить в любой точке ( х ь Х„,

xh),

закон распределения / (г) или F (г) удобно находить методом Монте-

Карло.

Этот метод применим при любом количестве независимых

или зависимых аргументов xh

т. е. любом /г > 1.

О

гпмш

МоМе М

rH

г*™ г

Р и с .

16. З а к о н р а с п р е д е л е н и я р е з у л ь т а т а

р а с ч е т а .

ления.

' 1

Ї. Вычисление

средней погрешности Дгс Р (5.16). Для определения

Ьгер=\гИ—М(г)\&

(5.19)

/1=1

законом распределения

/ (.v-;)*. В результате получаем k случайных

чисел (выборку) х[п), Л'1"', ...,л-/;Л> и, вычисляя функцию (5.3)приэтих

значениях аргументов,

находим:

r n = r U " \ х 2 "\ .... 4 П ) ) -

(5.20)

На этом заканчивается одно статистическое испытание.

Организо­

ческого

среднего

Отсюда

г = \М(г) — Г\^(аг/

VN)uA/2.

N = [«а/2/(е/а,.)]а

= ( И а / 2 / Є О Т І І ) 2 ,

(5.21)

где

е о т н =

е/аг

— относительная

погрешность определения М(г);

" а /2

определяется

из уравнения

(4.31).

Например,

задавшись

є о т і і

=

0,1

и доверительной

вероятностью

а = 0,9, для которой

« а / 2

=

1,64

[см. табл. П.1], по

формуле (5.21) получим

N = 269.

Это

означает,

что,

проведя

N =

269

рассмотренных

статисти­

ческих

испытаний

и

подсчитав

М(г)

по формуле (4.6), с вероят­

ностью

а =

0,9

получим погрешность

є ^

0,1 аг , где аг — сред­

мя счета.

В случае зависимости между некоторыми

xt

последова­

тельность

расчета по методу Монте-Карло

аналогична только

что рассмотренной. Изменение будет лишь

в

процессе «ра­

зыгрывания» значений

л''"' в отдельном статистическом

испытании.

Допустим,

что только

два аргумента функции

г. xt

и Xj зависимы

вместо f(Xj) условный закон f{xjlxi),

т. е. закон распределения вели­

чины Xj при условии, что другая

величина

приняла фиксирован­

ное значение xt. Случайные значения х{р

теперь будем выбирать

Xin\ затем с учетом условного закона f(xj/x\n))

разыгрывается

значе­

ние х]п), а потом все остальные аргументы прежним образом

(ана­

логично в случае трех и более зависимых

аргументов функции г).

личины

гъ

Го,

Гм, Закон

Fg (г)

находится

по формуле (2.2).

Его удобно строить,

разбив

интервал

от /-„"" =

min (г1>

г2, .... Гы)

до /-"а к с

=

max

(гг,

г2 ,

rN)

на Л^„н т подынтервалов.

Практика

JV„I l T ~ 3,3 lg N,

(5.22)

e

=

\F(r)-Fa(r)\^

K'V~N.

Отсюда необходимое число статистических

испытаний

N = (Ха/г)\

(5.23)

Например,

задавшись

погрешностью є == 0,05 и доверительной

вероятностью а =

0,9,

для которой %а =

1,22 (см. табл. П.9), по­

лучаем N = 595.

Когда закон F3(r)

получен (см. рис. 16), искомые погрешности

результата

расчета

гп

просто вычисляются по формулам (5.16) —

/ м а к с - т а х [ ( г „ - г Г н ) ;

(гТкс-гв)}.

Для расчета

величин А г м а к о и Агс р нет необходимости в опреде­

лении Fa(r),

достаточно провести /V испытаний и получить значения

Гіі г.2и

/"л/.