Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

a ^ l / ^ l ^ - ^ -

(4-9)

e = ( l - | /

i L z i j . 1 0 0 % ,

(4.10)

при п > 50 є < 1 %.

Можно

показать (см. работу

[29]), что обе оценки дисперсии —

и о2 и о]

— являются состоятельными. Любопытно,

что эффек­

Точечная

оценка коэффициентов

корреляции и регрессии. Для

определения точечной оценки р истинного коэффициента

корреля­

ции р величин X и Y необходимо предварительно на опыте в резуль­

тате наблюдения за X и Y получить п пар значений хи

уг; х.2, у.г\

Тогда

п

1

"

^І(ХІ

— Х){УІ—У)

—

^ХіУі—Ху

Р=

'= '

-

=

,

(4.11)

пах

a,j

ох

o,j

где х, у, ах

и Сту определяются по

формулам

(4.6).

Величину

cov(XY)——

V (xt—Х)(УІ—у)

называют

эмпирической

или вы-

б о р о ч н о й

к о в а р и а ц и е й [см. формулу

(2.25)].

На основе формул (2.25), (4.6) и (4.11) нетрудно получить точеч­

ную оценку r(ylx)

для коэффициента регрессии Y

по X

1

п

= р ^

=

—

2

ХІУІ—ХУ

Г(У/Х)

= - ^ 1 = Ц

.

(4.12)

Эту величину

называют

эмпирическим или

в ы б о р о ч н ы м

к о э ф ф и ц и е н т о м р е г р е с с и и Y по X .

Параметризация. Обычно интересные для инженерной

практики

п

L = П Р

(ти

а),

(4.13)

где

а — параметр

распределения

[см.,

например, формулу

(3.66)];

тх,

т 2 )

т,-,

тп — вариационный ряд значений случайной

ку mt — независимые случайные величины,

а P(mt, а) — вероят­

ности их появления, то в соответствии

с теоремой умножения (1.8)

величина L есть вероятность, что в результате опыта получим имен­

но заданную совокупность значений mt,

і =

1, 2, .... п.

По аналогии для непрерывных случайных величин функция прав­

доподобия записывается

в виде

L

= ГЇ f(xh

а),

(4.14)

dL/da =

0 или д In LI да = 0.

(4.15)

В основе этого метода лежит следующая идея: поскольку в ре­

зультате опыта получена

конкретная совокупность хи

х2, .., хп,

гим методам. Наиболее простым из них является

метод моментов.

Т е о р е т и ч е с к и м

н а ч а л ь н ы м м о м е н т о м пг-го

п о р я д к а случайной

величины

X называется

математическое

ожидание ее т-й степени

v m =

М

(X"') =

' J л-»' / (л-) dx,

. (4.16)

— со

го п о р я д к а

— математическое

ожидание

со

рт=М[Х-М(Х)]т=

^[x-M(X)]"!f(x)dx.

(4.17)

— со

Очевидно, что М(Х) = \\,

a D(X)

=

ft.,.

Метод моментов заключается в том, что теоретические

моменты

приравниваются

к эмпирическим:

Приравнивается

столько

моментов,

сколько параметров

ищется.

ются

соответственно

в

виде

vm -=

-

V

х?;

f l m = - 2

(ХІ-ХГ.

(4.19>

§ 4.2. Нахождение интервальных оценок

для характеристик случайных

величин

Доверительные

интервалы

и вероятности. Если

а — истинное

значение неизвестного параметра, а — его точечная

оценка — слу­

чайная величина

(4.2),

то д о в е р и т е л ь н ы м

и н т е р в а-

л о м

называют отрезок

( а н ш к ш

а верхн)>

построенный около точ­

известный

параметр а; причем, н и ж н я я

и в е р х н я я

д о ­

в е р и т е л ь н ы е

г р а н и ц ы

а и и ж 1 1

и а в е Р х П

— это

функции

только результатов

наблюдений хг,

х.2, ..,

хп

и известных

постоян­

ных величин, независящие от оцениваемого параметра

а.

Ины­

ми

словами,

а н ш к н

и

а п е

р х н

являются случайными величинами.

Вероятность

а называется

д о в е р и т е л ь н о й

в е р о я т н о ­

с т ь ю :

Р

{йнижн <

а <

а в е р х н } =

«•

(4.20)

Она

характеризует

степень доверия

к утверждению. а п н т н

^

а <

<

я в е р х н .

Очевидно,

что с вероятностью

(1 — а)

истинное

значе­

ние

параметра лежит

вне доверительного

интервала. Эту вероят­