Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 264
Скачиваний: 1
ный закон для абсолютного большинства практически интересных случаев совпадает с законом Пуассона (3.66) с параметром
а — пр = nXta. |
(7.4) |
Двусторонний доверительный интервал для вероятности р опре делен в § 4.2. По аналогии нетрудно найти и односторонний довери тельный интервал для р (0; р в е р х и ) . В соответствии с формулой (4.42) верхняя доверительная граница такого интервала с доверительной вероятностью а
Рверхн = ^верхн/^' |
(7-5) |
где я в о р х н — функция т и а, вычисляется как уровень |
уравнения |
№ , а в с р х п ) = с с . |
(7-6) |
Функция Q (т, а) [см. формулу (3.69)] приведена в табл. П.6. В дан ном случае иг — число изделий, фактически отказавших в процессе испытания. Величина а В Р р х н находится по табл. П.6 в строке с Q = = а и заданным т. Наиболее употребительные значения <з в е р х н при ведены в табл. 7.1.
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7.1 |
|
|
|
|
Величины |
а в е Р х н |
<*) |
|
|
|
|
|
а |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
^ ^ ^ ^ |
а |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
т |
0.80 |
т |
0.80 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1,6 |
2,3 |
3,0 |
4,6 |
3 |
5,5 |
6,7 |
7 , 7 |
10,0 |
1 |
3,0 |
4,0 |
4,7 |
6,6 |
4 |
6,7 |
8,0 |
9,1 |
11,6 |
2 |
4,3 |
5,3 |
6,3 |
8,4 |
5 |
8,0 |
9,3 |
10,5 |
13,1 |
Используя равенство (7.3), находим верхнюю границу аналогич ного одностороннего доверительного интервала для интенсивности отказов изделия
|
4epxH = /VpxH/Ai=а верхн(т > а)/п*ъ> |
(7 -7) |
|
вычисленная по результатам испытания она представляет |
самостоя |
||
тельный интерес. |
|
|
|
Теперь |
несложно построить доверительный интервал для R (t) = |
||
= ехр(—Xt). Поскольку R (t) — монотонно убывающая функция X, |
|||
то двойное |
неравенство |
0 •< Я < ; Я в е р х н , выполняющееся |
с вероят |
ностью а, |
равносильно |
неравенству |
|
1 > Я (0 > ехр (-Яв е р х н 0. |
(7.8) |
Это условие выполняется для любого момента времени t, |
а стало |
быть, и для t — / т р , т. е. с вероятностью а имеем |
|
1 > R (/ т р ) > ехр ( - Я в е р х А Р ) . |
(7.9) |
Следовательно, чтобы выполнялось условие (7.2), достаточно, чтобы изделия имели Я,в „р х п , удовлетворяющее уравнению
|
е х Р |
( |
^верхпА'р) — -^доп |
|
|
ила |
Х в е р х н |
= |
( М т р ) In (1//?д о п ).- |
|
|
Подставляя |
сюда выражение |
(7.7), |
получаем |
|
|
|
л ' п = «верхи (т, а) |
^тр/ln (1//?дО П ) |
'(7.10) |
||
(напомним, |
что это выражение справедливо при р = |
1 — R (/„) = |
|||
= М п < 0 , 1 , |
когда вместо |
формул для биномиального закона молено |
|||
использовать формулы для закона |
Пауссона). |
|
|||
Итак, если нужно в процессе испытания подтвердить условие (7.2), т. е. обоснованно сделать вывод о достаточной надежности из делия, необходимо выбрать число испытываемых изделий п и время испытания ^п в строгом соответствии с выражением (7.10).
Очень важен частный случай, когда в процессе испытания не
происходит |
ни одного отказа |
(т = |
0). Согласно выражению |
(4.45), |
||||||
в этом случае р в е р х н |
= р 0 = |
1 — \г1 |
— а |
(см. табл. П.8). Следова |
||||||
тельно, |
условие (7.10) можно переписать в виде |
|
|
|||||||
|
|
|
tn = Ро/тр/ln (1/Яд0 П ). |
|
|
(7.11) |
||||
При п > 20, согласно выражению |
(4.45), оно существенно упроща |
|||||||||
ется : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ^ - ї ^ - - |
|
|
|
( 7 Л 2 ) |
|||
Заметим, что формула (7.11) в отличие от формулы (7.10) спра |
||||||||||
ведлива при любом р = 1 —• R (tn). |
|
должен работать |
в тече |
|||||||
Пример. |
Твэл активной зоны реактора |
|||||||||
ние trp |
= 2 года. Предполагается, |
что к |
концу |
срока службы его |
||||||
надежность R (/т р ) ^ |
^ Д О п = |
0,9. |
Требуется |
в |
процессе петлевых |
|||||
испытаний |
подтвердить это,- а именно, что с доверительной |
вероят |
||||||||
ностью, скажем а = |
0,8, надежность твэла |
действительно |
|
|||||||
|
|
|
# ( ^ т р ) > 0 , 9 . |
|
|
|
(7.13) |
|||
В качестве плана испытания выбираем [N, Б, |
Т]. Допустим, что |
|||||||||
п = 20. Спрашивается, какое время |
надо испытывать эти двадцать |
|||||||||
твэлов, если известно, что закон надежности экспоненциальный. От вет на этот вопрос дается в следующей форме.
Если отказов твэлов за время испытания ta не наступит, то в со ответствии с условиями (7.11) и (7.12) надо запланировать испыта ние на время
^ _ |
Ро *тр |
~ j ^TP_ . |
In (1 — а ) |
_ |
и |
1 п ( 1 / Я д о п ) |
п |
І п Я д о п |
|
|
2 |
І п 0 , 2 |
, с |
,-7 лл\ |
|
20 |
І п О . 9 - |
1,5 года. |
(7.14) |
Если же за время испытания откажет один твэл (rn = 1), то, сог ласно уже формуле (7.10), необходимо испытания продолжать время
2 |
• 3 |
• = 2,8 года. |
[(7.15) |
|
20 • |
0,105 |
|||
|
|
И только в том случае, если за этот срок откажет не более одного твэла, можно считать, что условие (7.13) подтвердилось и т. д.
Для удобства определения объема испытаний в табл. 7.2 приведе ны значения отношения
Кг. |
*верхп |
(т, |
а)/1п (1/7?д0П) |
|
|
|
для наиболее употребительных |
значений т, а и RRon. |
В |
первой |
|||
строке этой таблицы |
(при |
т = 0) стоит |
отношение |
Ка — |
||
= In (1 — а)/1п # д о п , |
входящее |
в формулу |
(7.12). С |
использо |
||
ванием этих обозначений объем испытания |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(7.16) |
Из табл. 7.2 хорошо видно, что при увеличении допустимого уровня надежности RKon, который нужно подтвердить, резко воз растает объем испытания.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7.2 |
|
|
|
|
|
З н а ч е н и я к о э ф ф и ц и е н т а |
Кп |
|
|
|
|||
N. |
а |
ЛДОП = |
0.8 |
я д о п = |
0,9 |
д д о п |
= 0 ,95 |
|
= 0,99 |
ЛДОП = = 0 ,999 |
|
т |
N^ |
0,8 |
.0.9 |
0,8 |
0,9 |
0,8 |
0,9 |
0,8 |
0,9 |
0.8 |
0,9 |
|
|
||||||||||
0 |
|
7,2 |
10,3 |
15,3 |
21,8 |
31, 4 |
44,8 |
159 |
228 |
1610 |
2300 |
1 |
|
13,4 |
17,4 |
28,3 |
36,9 |
58,3 |
75,7 |
296 |
385 |
2990 |
3890 |
2 |
|
19,2 |
23,8 |
40,6 |
50,4 |
83,5 |
104 |
424 |
526 |
4280 |
5320 |
3 |
|
24, 7 |
29,9 |
52,3 |
63,3 |
108 |
130 |
546 |
661 |
5520 |
6680 |
4 |
|
30,1 |
35,8 |
63, 7 |
75,6 |
131 |
156 |
665 |
791 |
6720 |
7990 |
Если по условиям задачи табл. 7.2 оказывается недостаточной, то объем испытания следует находить по формулам (7.10), (7.11) и (7.12) с использованием табл. 7.1, П.6 и П.8.
Соотношения (7.10), (7.11) и (7.16) можно использовать для полу
чения самых разнообразных выводов и планов испытаний. Так, мож |
|
но задать п, |
tn, a, R m n , tTp и найти число отказов т в испытании, |
при котором |
будет подтверждена надежность RKon с достоверностью |
а • 100%. Или |
же, имея фиксированные значения п, |
tn,.tn, tTV, |
мож |
|
но определить, |
какую надежность и с какой доверительной вероят |
|||
ностью подтверждает это испытание и т. д. |
|
|
||
Пример. |
Проведено испытание в условиях, близких к эксплуата |
|||
ционным, |
пяти специальных клапанов в течение |
времени |
tn = |
|
6 Зак. I2S2 |
145 |
10 000 ч. |
Отказов |
клапанов не |
было. Спрашивается, |
с |
какой |
на |
|
дежностью такие |
клапаны проработают период / т р = |
5 лет. Пред |
|||||
полагается, что закон надежности экспоненциальный. |
|
|
|||||
По формуле (7.11) при |
t„ = |
10 000 '/, п = 5 и / т р |
= |
5 • 8750 |
= |
||
= 43750 |
ч получаем |
|
|
|
|
|
|
|
Po/ln (1/# д о п ) = |
/„/* т р = 10 000/43 750 = |
0,23. |
|
|||
Задаемся доверительной вероятностью а — 0,8. По табл. П.8 на ходим р0 = 0,28. Из предыдущего уравнения получаем
'л Ядоп = -Ро^тр/Л. = -0,28/0,23 = -1,22,
или Rsoa = exp (—; 1,22) = 0,3. Таким образом, из результатов ис пытания следует, что с 80%-ной достоверностью можно гарантиро вать надежность R (^т р ) клапана к концу 5 лет работы, не меньшую- Rnon = 0,3. Понятно, что такой вывод мало кого может устроить. Вот наглядный пример того, что испытание было спланировано не лучшим образом. Действительно, если хотим подтвердить' предпола
гаемый уровень надежности клапана, допустим R (Лг р ) ^ |
Raon |
= |
0,8,. |
|||||||||
то при доверительной вероятности а — 0,8, т = |
0 |
по формуле (7.16) |
||||||||||
и табл. |
7.2 находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ntn |
= 7,2-/т р = |
7,2-43 750 = 315 000 |
ч. |
|
|
|
|||
Иными |
словами, |
если проводить испытания в течение |
прежних |
|||||||||
/ п |
=10 |
000 ч, |
то |
следовало |
бы |
испытывать |
не |
|
пять, |
а |
п — |
|
= |
315 000//и |
= |
32 изделия. |
Если же испытывать |
п = |
5 |
изделий,, |
|||||
то по формуле (7.11) длительность |
испытания должна |
быть |
|
|||||||||
|
|
|
|
/„ = 0,28-43 750/0,223 = 56000 |
ч, |
|
|
|
|
|||
при условии, что в этих испытаниях отказов не произойдет (т = 0). В заключение параграфа заметим, что иногда целью испытания- на надежность может быть не подтверждение условия (7.2), а прос
то измерение фактического уровня надежности изделия. В-этом слу чае можно пользоваться формулами (7.7), (4.45) и неравенством (7.8). Например, получив в результате испытания тридцати изделий в те
чение времени |
tu |
= |
1000 ч т = 1 и задавшись |
доверительной ве |
|||
роятностью |
ос = |
0,95, по формуле (7.7) и табл. |
7.1 |
находим |
|||
W H |
= |
а в е Р Х Н |
(1. aVn-ta |
= 4,7/30-1000 |
= |
0,00015 ч-1 . |
|
Следовательно, |
|
надежность |
изделия R (/)^ехр (— 0,00015/) с |
||||
достоверностью |
95%. |
|
|
|
|||
Если же инженера интересует не верхняя доверительная грани ца для интенсивности отказов изделия, а ее среднее значение, то> надо использовать формулы (6.44), (6.47), (6.49) и положить К = = 1/7V
План IN, В, 7]. Несложно показать, что планирование испыта ния по плану [N, В, Т] можно проводить, используя формулы (7.10), (7.11), (7.16) для плана [N, Б, Т]. Причем процедура определения объема испытаний полностью сохраняется. В чем же тогда разница между двумя планами? Очевидно, что если в испытаниях по этим пла нам отказов не произойдет (пг — 0), то никакой разницы между ними нет. Действительно, ведь в этом случае по плану [N, В, Т] замена отказавших изделий новыми не состоится. Иными словами, для достаточно надежных изделий различие в планах испытаний [N, Б, ТІ и [N, В, Т] оказывается практически несущественным, потому что количество случаев замены отказавших изделий новыми изделиями либо совсем отсутствует, либо очень мало (в этом слу чае упоминавшийся биномиальный закон для плана [N, Б, 71 совпадает с законом Пуассона, справедливым в случае плана
Ш, В, Л ) .
Однако не всегда при проведении испытаний на надежность в процессе разработки реактора имеют дело с достаточно надежными изделиями. Вполне возможно, что на первых стадиях разработки какого-то нового элемента или устройства оно еще не доведено до •окончательного варианта. Поэтому, планируя на этом этапе испыта ния на надежность устройства, обычно преследуют цель не столько проверить, удовлетворяет ли оно заданным требованиям по надеж ности, а, главное, выявить (желательно быстрее) его слабые места, наметить пути совершенствования. Именно в подобных случаях план
\N, В, |
Т\ может оказаться предпочтительнее плана [N, Б, |
Т]. И вот |
|||
почему. Предположим, что два специалиста |
планируют |
испытания |
|||
идентичных изделий на надежность, один по плану [N, Б, |
Т], вто |
||||
рой — [N, В, Т]. По формуле (7.16) определяют |
объем испытания. |
||||
.Допустим, для выбранных одинаковых а, Яяоа, |
(тр в обоих |
планах |
|||
получилось, что для подтверждения уровня |
надежности # д |
о п надо, |
|||
чтобы |
при испытании п изделий в течение |
времени tB отказало не |
|||
•более |
чем четыре изделия. |
|
|
|
|
Очевидно, если до окончания испытания число отказов станет равным пяти, то можно будет раньше срока прекратить испытание и принять решение о том, что требуемая надежность не подтверди лась. На этапе, разработки изделия указанное укорочение испыта ния в определенном смысле выгодно обоим испытателям. Если надеж ность изделий недостаточно высока, то такая ситуация (пг = 5) очень вероятна.
Обозначим среднее время ожидания m-го (например, пятого) •отказа для плана IN, Б, Т] tfn, а для [/V, В, Т] tm- Используя данные работы [30] [см. там формулы (10.43)—(10.46)], нетрудно получить, что отношение этих времен
(7.17)
, 6 * |
147 |