Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 253

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

pa Л. Тогда для уровня At при п повторных измерениях выборочная дисперсия отклика х (характеризующая случайные погрешности), согласно формуле (4.9), равна

 

(9.8)

где л-г — 2 хи — среднее значение отклика х на

уровне А и

Xjj — значение отклика х в у-м опыте на уровне At;

j = 1, 2,

її — номер повторного опыта на фиксированном уровне фактора А.

Если

есть основания

считать,

что a2 ~const

на всех

уровнях

At, то более точной будет оценка а2 , усредненная

по всем

уровням:

 

 

 

 

к

п

і • к І

п

\ 2 '

а2

- 5,2 = - L

V

Sj =

 

••° | V

' ° '

L

. (9.9)

 

k

^

 

 

 

k(n—\)

 

 

 

Назовем

величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xср -

k

У

x,

7 2

2 - » )

 

 

(»•«•)

 

 

i =

і

 

 

общим средним значением отклика в эксперименте в отличие от среднего х-, на фиксированном уровне А{. Разброс последних от об­ щего среднего х с р определяется изменением фактора А (величиной а%) и случайными погрешностями измерений. Поскольку эти два эффекта независимы, можно записать дисперсию средних значений

^ р ^ - г Ч

 

; f r - * c p ) 2 - < u + — .

( 9 - 1 ] )

 

 

k

 

1

i ^

 

 

 

 

п

 

так как из выражения

(4.7)1=дисперсия1

среднего по л опытам в п раз

меньше дисперсии

отдельного измерения Xjj. Умножив обе части

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

формулы (9.11)

на п, получим выражение

 

З ^ - г Ч

 

 

&i-xcpY

 

= no2A + S20-

(9.12)

 

 

 

 

 

і = 1

 

 

 

равенством а 2 яг5о

(9.9) и

При написании

его воспользовались

ввели новое обозначение S%- Раскрывая квадрат, нетрудно полу­

чить, что

 

SA

= -^T(І

І

x!~kxlp)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

к (

 

п

\2

 

j

/

к

 

7 2 ^ / -7(.2 Ъ*и

Если окажется справедливой статистическая гипотеза о равенстве

дисперсий 5л и

SQ, то, согласно

выражению (9.12), аА я=0 и фактор

А не влияет на

отклик х. Если

же гипотеза — ложна, то влияние

А на х значимо. В соответствии с изложенным в § 4.3 методом про­

верки такой гипотезы она ложна, когда величина критерия

Фишера

 

f

= -^>xfi

= -x$,k—l,k(n

— l)\

 

' (9.14)

[см. выражения

(4.55)

и

(4.56) при односторонней критической об­

ласти Окр:

>

хр].

Здесь Л'р — критическое

значение

критерия

Фишера для

уровня

значимости

р — определяется

по табл. П.5

при степенях свободы kx

= k— 1 и k2 = k (п — 1). Таким образом

дисперсионный

анализ позволяет

сравнить эффекты

случайности

(о2) и действия фактора (ол)- Если более существенным оказывается второй эффект, то делается вывод о наличии зависимости между откликом и фактором.

Для иллюстрации однофакторного дисперсионного анализа рас­ смотрим следующие примеры.

Пример 1. Исследуется влияние четырех различных типов дистанционирующих устройств, предотвращающих касание стержне­ вых твэлов в тепловыделяющей сборке, на величину гидравличес­

кого

сопротивления канала реактора (в виде пучка стержней).

Для

этого проводятся проливки каналов одного

и того

же ти­

па,

но с различным способом дистанционирования

твэлов.

 

Фактором здесь является способ дистанционирования. Так как способов четыре, то этот фактор имеет четыре качественных уровня (k 4). Рісходя из анализа затрат (времени и т. д.) на отдельный опыт и на основе выражения (9.4) было решено провести пять наблю­

дений

на каждом уровне (я = 5). Таким образом, эксперимент

будет

состоять из kn — 20 опытов и продлится, по-видимому, не­

сколько дней. В процессе эксперимента может незначительно ме­ няться, например, напряжение питания насоса или температура теплоносителя (водопроводной воды). Если сначала сделать замеры (я = 5) при одном типе дистанционирования, а затем при других, то упомянутые случайные эффекты могут по-разному сказаться на перепадах давления при проливках разных типов устройств, что будет оценено как влияние уровней фактора. Чтобы исключить это, целесообразно ввести в эксперимент р а н д о м и з а ц и ю * ,

т.е. случайный порядок проведения опытов.

Вчастности, это означает, что все время эксперимента необ­ ходимо разбить на пять интервалов — по числу параллельных опытов и в пределах каждого интервала испытывать в случайном порядке каждый из четырех типов дистанционирующих устройств (по одному экземпляру). Иными словами, все опыты надо разбить на 20/4 = 5 серий или блоков; в каждую серию (блок) включить по одной проливке каждого дистанционирующего устройства (всего

* О т а н г л и й с к о г о с л о в а rando m — с л у ч а й н ы й .

четыре опыта). Подобные блоки в теории планирования экспери­

мента получили название с л у ч а й

н ы х

и л и

р а и д о м и-

з и р о в а н н ы х б л о к о в [100,

101 ].

Порядок

упомянутых

четырех опытов в блоке следует устанавливать путем случайного разыгрывания, например, вытягиванием номера опыта из урны или с помощью таблиц случайных чисел [103], в результате бросания игральной кости, монеты и т. п. [101]. Порядок проведения упомя­ нутых пяти серий опытов может быть любым. Рандомизация ней­ трализует влияние побочных факторов, благодаря чему увеличи­ вается точность эксперимента, а это является основной задачей планирования.

 

В процессе рандомизированного эксперимента были получены

результаты,

приведенные

в табл. 9.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

9.

 

 

 

 

 

П е р е п а д ы

д а в л е н и я на

к а н а л е ,

атм

 

 

 

 

 

Номер

 

 

 

Тип устройства і

 

Номер

 

 

 

Тип устройства

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

опыта

 

 

 

 

 

 

 

 

опыта

 

 

 

 

 

 

 

 

(пролпвки)

 

1

 

2

 

3

4

(пролпвки)

 

1

 

2

 

3

•1

 

У

 

 

 

 

У

 

 

 

 

1

 

2,1

 

2,5

 

1,8

1,9

 

4

 

2,0

 

 

2,6

 

1,7

1,4

 

2

 

1,9

 

2,3

 

2, 0

1,5

 

5

 

2,2

 

 

2,7

 

1,6

1,8

 

3

 

1,8

 

2 , 4

 

2 , 1

1,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражения

(9.9)

и (9.13) можно представить

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

So

 

Січ

2ч — 2д

 

 

 

 

 

(9.15)

 

 

 

 

 

5 „ 2

=

-

 

 

s%

 

 

•1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k ( n - \ )

 

 

ft-

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

Л

 

 

 

J

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ = 1/=І

 

 

n

j= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xj = У xtj

— сумма

результатов

измерений

для

t'-ro

уровня. По

данным

табл.

9.1

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Х

=

82,5;

 

2 2

=81,96;

 

Е 3

=

80;

 

 

 

 

 

SI =

0,034;

S% =

0,65

и

 

f

=

 

19,2.

 

 

Для

уровня

значимости (5 = 0,05

при степенях

свободы

kt = k —

—

1 = 3

 

и

k2

=

k

(п — 1) =

16

по

таблице

 

П.5

находим

[см.

формулу

(9.14)]

_ х 0 | 0 5

=

х (0,05;

3;

16) =

3,2.

Полученное

значение

§

>

3,2, следовательно, влияние

фактора

значимо,

т. е.

способ дистанционирования

влияет

на

перепад

давления на

канале.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Ч и с л о ц и к л о в д о п о я в л е н и я т р е щ и н Л М О - 3

Пример 2. Для выяснения влияния качества воды на процесс образования трещин на внутренней поверхности барабанов-сепа­ раторов были проведены испытания образцов сталей при цикличе­ ских термических напряжениях в воде с различным содержанием примесей. Испытания проводились на бидистилляте (случай А) и специально ухудшенной воде (случай Б), содержащей 150 мг/л NaOH и 15 мг/л NaCl.

Экспериментально полученное количество циклов, которое при­ водит к появлению трещин на образцах (при прочих идентичных

условиях) для случаев А и Б приведено

в табл. 9.2. В этом экспе­

рименте фактором

является

ка­

 

чество воды (два уровня А и

Б),

Т а б л и ц а 9.2

откликом — число

циклов

N.

 

 

По

формулам

(9.15)

нахо­

дим

S§ =

28,

 

S% = 32

и

f =

— 1,14.

При

 

уровне

значимо­

сти

(3 =

0,1

 

по

табл.

П.5

х

(0,1;

1;

6)

=

3,8.

Поскольку

§

<

3,8, влияние качества

воды

можно признать несущественным (на высоком уровне значимости

Номер

А

 

опыта /

 

1

27

35

2

39

30

Р =

0,1).

3

29

40

Двухфакторный эксперимент.

4

35

41

Дисперсионный анализ позво­

ляет

оценить влияние несколь­

 

 

 

ких одновременно действующих факторов. При

традиционном ме­

тоде исследования

для выяснения влияния факторов

изменяют

(поочередно) один

фактор, оставляя

другие

зафиксированными

на каком-то уровне. При этом

выполняется значительная

(и часто

лишняя) работа, которая тем

не менее

не дает

ответа

на

вопрос

овзаимодействии факторов.

Вфакторном эксперименте все уровни одного фактора комбини­ руются со всеми уровнями остальных «-факторов. Такой подход

позволяет значительно уменьшить объем испытаний по сравнению с классическим методом и, кроме того, позволяет исследовать взаи­ модействие факторов. Если на отклик х действуют два фактора А и

В, то результаты эксперимента, в котором фактор А изменяется

на

k уровнях, а В — на т уровнях, можно представить табл.

9.3.

Усреднив данные по строкам, т. е. найдя средние строк %І— — 2

хи>

 

 

В.

т і=і

 

можно нейтрализовать

влияние фактора

Тогда дисперсия

этих средних по аналогии с выражением (9.11)

равна

 

*

_

2

 

 

2 ( * і - * с р ) 8

+

•

(9-16)

Смотрите также файлы