Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 252
Скачиваний: 1
М а т р и ц а р е з у л ь т а т о в д в у х ф а к т о р н о г о э к с п е р и м е н т а |
|
||
|
в, |
в„ |
|
Лі |
х п |
х-12 |
х1т |
А» |
|
.V'.,., |
Х2Ш |
Л |
|
|
|
х1а |
|
* Й 2 |
|
xl<m |
|
1 |
к - |
1 |
* |
|
'" |
|
|
|
|
где л - с о = — ^ |
Х;=-- |
km |
"V |
|
"У л-;г —общее среднее для табл. 9.3; |
||||
k |
i = |
i |
^ |
і |
^ |
|
|
|
|
|
|
» = |
і=і |
|
|
|
|||
о;4 —дисперсия, получающаяся при варьировании |
фактора А. |
||||||||
Аналогично |
для средних |
|
по столбцам xt |
—• — |
V хп |
||||
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
і = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
(Xl |
|
— ,vc p )2 |
яз а% + |
4 - . |
(9.17) |
|
|
ні — 1 |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим, как |
в формуле |
(9.12), |
|
|
|
||||
|
|
|
^ |
( * ; — А - с р ) 2 |
Я » Ш С Т 2 ! + 5 о і |
|
|||
|
|
|
і = I |
|
|
|
|
(9.18) |
|
|
|
/л •— 1 |
У (хг—х- f ж ko2B + So . |
|
|||||
|
|
/ = |
і |
|
|
|
|
|
|
Оценку S§ генеральной дисперсии а2 можно найти, например, следующим образом. Вычислим дисперсию наблюдений по і-й строке
Sf = — У |
- х г ) 2 « аь + • |
(9-19), |
171— 1 / = |
і |
|
Эту оценку можно уточнить, усреднив S; по всем строкам:
к |
к |
m |
1 = 1 |
І= і |
;= і |
Подставляя сюда о% из выражения (9.17), находим
|
|
|
|
|
|
к |
|
т |
|
|
|
|
in |
|
|
|
|
|
|
ik |
— \){ІП— |
1) |
^ші |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
• |
(9.21) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
C P |
/ |
|
||||||
Если |
ввести |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
к |
|
in |
|
|
|
к |
|
|
|
|
in |
|
|
|
|
^1,—- У |
У А'<?'; |
2 2 = = — У * ? ; |
к « =--- |
У |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
і = і / = і |
|
|
|
j = i |
|
|
|
/ = і |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
і |
" ! |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 = — V x z ; |
|
У х ; / ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
і=і |
|
|
І=І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то оценки (9.18) и (9.21) легко представить в виде |
|
|
|||||||||||||||
с2 |
^! - j - 2d — ( 2 2 |
+ Е 3 ) |
|
n j |
2 2 — 2 4 |
|
па |
|
2 3 |
S j |
/ п 99> |
||||||
^о = — 7 7 |
— |
7 г , |
г;—• |
^А |
— ~і—;—' |
|
^в |
= |
|
Г~ • |
\Р-11) |
||||||
|
|
(k |
|
|
|
|
ft |
|
— 1 |
|
|
|
m — 1 |
|
|||
|
|
— 1) (m — 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для определения |
значимости |
влияния факторов |
А и 5 |
на отклик |
|||||||||||||
х |
необходимо вычислить отношения |
?FА = S% /SI |
и |
3RB = |
S%/Sl |
||||||||||||
и |
сравнить |
их с критическими |
значениями |
соответственно |
х£ = |
||||||||||||
=-•= JC [Э, /г — 1, (/г— 1)(/л— 1)] |
и |
хр й = х[6, |
m—l, |
(k — l)(m — 1)] |
|||||||||||||
из |
табл. П.5. Если f |
н > ^ р |
или |
§в>х$, |
|
то |
влияние фактора Л |
||||||||||
или 5 |
существенно |
на |
уровне значимости J3. |
|
|
|
|
||||||||||
|
До |
сих пор считали, |
что величина |
So |
(9.21) |
является оценкой |
|||||||||||
генеральной дисперсии а2 , характеризующей случайные погреш ности измерений. Это так и есть при условии, что отсутствует взаимо действие между факторами А и В. Если же оно существует, то
величина |
So (9.21) будет уже определяться не только а2 , но и дис |
|||||
персией, |
связанной как бы с третьим фактором АВ — взаимодей |
|||||
ствием А |
и В. Чтобы |
выделить |
из So дисперсию о-АВ, |
необходимо |
||
для |
всех |
комбинаций |
уровней |
At и |
В, (см. табл. 9.3) |
повторить |
опыт |
по определению |
отклика ХЦ п раз. В результате для каждой |
||||
ячейки табл. 9.3 получим / = |
1, 2, |
п значений отклика (хц)}-. |
||||
Найдем среднее значение отклика (по п параллельным наблю |
||||||
дениям) для каждой |
ячейки таблицы |
|
|
|||
|
|
|
хц=-— |
У |
(хц)}. |
(9.23) |
|
|
|
|
i = i |
|
|
Если |
в выражении |
(9.21) |
под хц подразумевать эти средние, |
то SJ5 будет характеризовать |
их рассеяние в результате изменения |
||
фактора |
А В и за счет |
случайных погрешностей эксперимента а2 , |
|
или, как говорят, эффекта воспроизводимости опытов. Следова тельно, по аналогии с выражением (9.11) можно записать
|
|
|
S* = a2AB |
+ o2/n. |
|
|
|
(9.24) |
||||
Умножая обе части на я и вводя |
обозначение SAB, получаем |
|||||||||||
|
|
|
SAB |
= nS20 |
= no*AB |
+ &, |
|
|
(9.25) |
|||
где |
а2 — оценка генеральной |
дисперсии а 2 [в |
отличие |
от So, ко |
||||||||
торая теперь не является оценкой |
а 2 ] . Величину |
о 2 можно опреде |
||||||||||
лить |
по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
т |
'( |
|
|
п |
|
|
) |
|
|
S*= |
- L V |
- L V |
> |
У |
[(xtl)r-XilY\ |
|
= |
|
|||
|
|
1 = |
1 |
l=l[ |
|
|
|
/ = |
I |
|
J |
|
|
|
|
k |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
I s |
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
z= 1 ; = |
1 |
|
|
|
|
(9.26) |
||
|
|
|
|
|
(n — 1) |
km |
|
|
|
|
||
где |
ХЦ определяется |
по формуле |
(9.23). |
|
|
|
||||||
Чтобы оценить, существует ли взаимодействие между А и 5, |
||||||||||||
достаточно [в |
полной |
аналогии |
|
с |
выражениями |
(9.12) |
и (9.14)] |
|||||
сравнить две дисперсии SAB И а 2 |
|
по критерию Фишера. Если |
||||||||||
|
S 2 |
1 |
= Х$, |
( f t _ l ) ( m - l ) , |
fem(n-l)], |
(9.27) |
||||||
|
:7АВ=^->Ха- |
|||||||||||
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то взаимодействие факторов А и В существенно на уровне значи
мости В. Величина хАВ |
находится по табл. П.5 для степеней свободы |
|||||||
kx = \k — 1) (m — 1) |
и |
&2 |
= km |
(п — 1). Из |
выражения (9.26) |
|||
.легко получить |
(раскрывая |
квадрат) |
|
|
|
|||
|
а 2 = ( 2 5 — n Z J I m k i n — |
1), |
[(9.28) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fe |
m |
/: |
|
|
k m |
|
|
2 5 = |
2 |
2 |
2 ( * » ) / ' |
2 i = |
2 |
|
2 |
|
Пример. Для |
( = i |
i=i |
/ = |
і |
|
І = |
І |
г = і |
поиска |
путей форсирования |
мощности реактора |
||||||
ставится эксперимент, в котором требуется определить, существен но ли отличаются критические плотности тепловых потоков qKp для , трех типов каналов с закруткой теплоносителя относительно оси
потока |
(при фиксированных прочих параметрах). |
Таким образом, |
• имеем |
три качественных уровня фактора А : Ах |
—обогреваемая |
труба, на внутренней поверхности которой по винтовой линии рас
положена проволока; А2—обогреваемая |
труба, внутри которой |
||
расположен |
необогреваемый шнек; |
Л 3 — обогреваемая труба эл |
|
липтического |
сечения, закрученная |
вдоль |
оси. |
Влияние типа канала на <7,.р определяется для трех шагов за крутки конструктивных элементов (проволоки, шнека, эллиптиче ской трубки) hlt h2, h3. Шаг закрутки — это второй фактор В — количественный, исследуемый тоже на трех уровнях. Результаты эксперимента приведены в табл. 9.4.
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.4 |
|
|
Критическая плотность теплового потока |
qKn |
|
|||
|
|
Ю7 |
ккал1{л?-ч) |
|
|
|
|
|
Л. |
|
|
Аз |
|
|
я |
3,0 |
|
2,1 |
4,4 |
|
|
Ai |
3,2 |
|
2,2 |
4,5 |
|
|
Аг |
5,1 |
|
4,3 |
6,0 |
|
|
5,3 |
|
4,2 |
5,9 |
|
|
|
А3 |
4,5 |
|
3,8 |
5,0 |
|
|
4,7 |
|
3,9 |
5,1 |
|
|
Сначала, |
исходя |
из табл. |
|
9.4, удобно вычислить |
величину |
|
2 6 = 352,14. |
Теперь |
заменяем |
каждые пары (п = 2) |
повторных |
||
наблюдений их средними (9.23). В результате вместо табл. 9.4
получим |
табл. |
9.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.5 |
|
|
||
|
|
|
Средняя критическая плотность теплового |
потока |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ft. |
|
ft. |
|
ft. |
|
|
|
|
|
|
|
Ai |
3,1 . |
|
2,15 |
|
4,45 |
|
|
|
|
|
|
|
Аг |
5,2 |
|
-4,25 |
|
5,95 |
|
|
|
|
|
|
|
А3 |
4,6 |
|
3,85 |
|
5,05 |
|
|
|
Используя |
табл. 9.5 |
и формулы |
(9.22), получаем |
2 Х = |
176; |
2 2 = |
||||||
= |
171,2; |
2 3 = |
170; |
2 4 = 165,5 |
и |
S§ = |
0,088; |
S% = |
2,85; |
S% = |
||
= |
2,25; |
0 2 |
=-0,01. |
Отсюда: S%/S20 |
= 32; |
Sb/Sg = |
26. |
Табличное |
||||
значение xf = л:р = х (Р; 2; 4), см. табл. П.5, даже при уровне
.значимости р* = 0,025 оказывается меньшим, чем отношение оценок дисперсий (x0i025 = Ю,6), следовательно, и тип канала, и шаг значимо влияют на критические плотности тепловых потоков.
Кроме того, |
= nSb/a2 = 17,6 > х (0,025; 4; 9) = 4,7, |
значит, пренебрегать взаимодействием факторов нельзя.
Полный и дробный факторные эксперименты. Как уже отмеча лось в факторном эксперименте все уровни одного фактора соче- -таются со всеми возможными уровнями других факторов. Такой
эксперимент |
называется |
п о л и ы м |
ф а к т о р н ы м. |
Коли |
чество опытов |
для этого |
эксперимента |
равно .произведению |
числа |
уровней всех факторов. При большом числе уровней эксперимент получится громоздким. Количество опытов (испытаний) можно сок ратить, если пойти на потерю некоторой части информации (на пример, о взаимодействии факторов). Если в эксперименте какие-то
сочетания |
уровней пропущены, он называется д р о б н ы м |
ф а к- |
т о р н ы |
м. Наибольшее распространение получил дробный |
фак |
торный эксперимент, в котором теряется информация только о взаи модействии исследуемых факторов. Если это взаимодействие слабое и им можно пренебречь (аАв < а'2/п), то дробный факторный экспе римент позволяет гораздо меньшим числом опытов решить те же самые вопросы, что и полный факторный эксперимент. Однако при этом надо особое внимание уделять правильному планированию опытов, иначе результат может оказаться неверным. Рассмотрим два часто встречающихся на практике плана дробного факторного эксперимента.
Латинский квадрат. Предположим, необходимо оценить влия
ние на |
отклик |
трех |
факторов |
А, В, |
С, у которых |
число |
уровней |
|
k одинаково. |
При |
этом требуется, |
чтобы |
полное |
число |
опытов |
||
было |
меньше, |
чем |
/г3, и составляло бы, например, такое же коли |
|||||
чество, |
как при |
полном |
двухфакторном |
эксперименте (/г2) |
||||
(см. табл. 9.3). Для исключения влияния фактора С на оценку эффекта действия факторов А и В нужно эксперимент поставить
так, |
чтобы все уровни |
фактора С встречались в каждой |
строке и |
||||||
в каждом столбце табл. 9.3. |
В табл. 9.6 |
показано, |
как |
в данном . |
|||||
случае |
надо |
комбинировать |
три фактора |
в отдельном опыте. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.6 |
||
|
|
|
|
Л а т и н с к и й квад р а т |
|
|
|
|
|
А. і |
^ \ |
|
в, |
В; |
|
4-х |
|
|
|
|
с, |
|
|
|
|
|
|||
|
Ах |
|
С-г |
|
Cft-i |
|
c h |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
А, |
|
С, |
с3 |
c k |
|
Су |
|
|
Ah-, |
|
Ск-1 |
|
|
|
|
Ch-i |
|
|
|
Ah |
|
ск |
Сх |
|
Ch-2 |
Ck-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Такое расположение элементов С,- (/ = |
1, 2, |
k) по |
ячейкам |
||||||
таблицы |
(k'X |
k) называется |
латинским квадратом. |
Очевидно, |
что |
||||
сформулированному выше свойству латинского квадрата могут отвечать несколько различных размещений С,-.