Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 248

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вится вполне решаемой

при

практически любом числе

факторов и

иногда даже не требует

использования ЭВМ. Кроме того, упомяну­

тое планирование

позволяет получить результаты с помощью гораз­

до меньшего

числа опытов и с более высокой точностью, возрастаю­

щей при увеличении числа

факторов /е.

 

 

 

Как правило, погрешности измерений отклика уъ

у2,

уп рас­

пределены по нормальному

закону,

независимы и имеют одинако­

вые дисперсии, а независимые переменные хг,

х 2 ,

 

х,, задаются

(устанавливаются

по

приборам) с

погрешностями,

значительно

меньшими, чем погрешности

в определении у.

В этих условиях для

нахождения

коэффициентов

уравнения регрессии можно использо­

вать метод

наименьших квадратов. Для большей

наглядности (не

в ущерб общности) ограничимся рассмотрением уравнения регрессии

второго порядка.

Введем

обозначения:

 

 

1;

Xj —Л'; ,+ 1 ;

х; — хk+-2>

XJt

— Хаъ,

 

хх х2 , Y , f t +

1 ; %.:;

х к . г

xh

=

хт; т =

2k +

С\

(9.33)

 

 

 

 

 

 

(С% — число сочетаний);

 

 

 

 

 

 

 

° u = a f t + i ' .

а 2 2 = « л + 2

и

т - Д-

 

 

 

Они позволяют записать уравнение регрессии (9.32) в удобном

линейном

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у=-- aox0 + a1x1t..:

+ amxn

 

 

 

(9.34)

Пусть в

результате

п

измерений

получено

п

значений

отклика

yj

для

п

наборов

значений

(xu -, x2 J -,

хт1).

Коэффициенты

о-о, аг,

 

ат

находим из условия

минимума

суммы

квадратов от­

клонений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-amxmj?=min.

 

 

(9.35)

 

 

 

 

2

 

(Уі

аохо.ї

a i x i } ~

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем частные производные от этой

квадратичной

формы

по каждому из коэффициентов и приравниваем их нулю.

В резуль­

тате получаем систему уравнений, решая которую

можно

найти

интересующие

нас

коэффициенты:

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

п

 

 

 

п

 

 

п

 

 

 

ао

У Хо/ + аг

2] xQj х1}

+ ... - f ат

 

x0j- xmj

=

xoj уу,

 

 

 

 

п

 

 

 

 

її

 

 

її

 

 

п

 

 

 

 

а0

2

Х1І

Х0І

~\~ a l

Х\ j - \ - . - • - {

- x i j X m j ~

 

S

хііУі>

 

(9.36)

 

 

у = І

 

 

 

/=1

 

 

/=1

 

 

/=1

 

 

 

°0

2

Хті

X0j +

«і

S

хші

X u + . . .

+

а,

ту

=

7

іУі-

 

 

 

і=

1

 

 

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 
получаем систему т + 1 элементарных уравнений

Коэффициенты а0,

аг,

ат

зависят друг от друга (коррелированы).

В этом нетрудно

убедиться,

положив, например, /г = 1. Поэтому,

если по какой-либо причине изменяется порядок уравнения рег­ рессии, например вводится еще один член, то все коэффициенты меняются, а, стало быть, все расчеты по их определению необходимо произвести заново. Этот недостаток исчезает (коэффициенты ста­ новятся независимыми, и существенно упрощаются выкладки), если в системе уравнений (9.36) остаются только диагональные

члены с суммами квадратов xtj. Такое возможно, если

выполняется

у с л о в и е о р т о г о н а л ь н о с т и , а именно

 

%хихи=0.

(9.37)

Поэтому всегда стремятся так спланировать эксперимент, чтобы он был ортогональным. На этом планировании подробно остано­ вимся ниже. Здесь лишь продемонстрируем, насколько существенно при ортогональном планировании упрощается задача вычисления коэффициентов at. Приравнивая нулю в системе (9.36) все члены.

типа 2 XijXij,

относительно неизвестных аг . Різ t'-ro уравнения сразу получаем

«/=--( J ХиУ^І % xb (і = 0, 1, 2,

т).

(9.38)

После вычисления искомых коэффициентов необходимо произвести статистический анализ полученного уравнения регрессии (9.34) на адекватность (правильно ли оно описывает опытные данные). Он заключается в сравнении по критерию Фишера (4.55) дисперсии эксперимента

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

і'.= і N

— l

У.

(УIV — у if

 

 

 

 

 

n

v = 1

 

 

 

 

 

 

N

 

 

N

 

 

 

 

 

2

2

(УІЧ-УІ?

 

2

у г*

 

 

 

 

1 =

л ( N — l )

 

• y j = ^ hN—

(9-

3 9

>

 

1 4 =

1

 

 

 

 

 

 

с дисперсией S2,

характеризующей

разброс полученных в

экспе­

рименте значений t/j-v

относительно

значений,

получающихся по

уравнению регрессии (9.34):

 

 

 

 

 

 

 

5

2 =

2

2 ( У » - У і

) а № п - т - 1 ) .

(9.40)

Здесь ijj — отклик,

рассчитанный по уравнению регрессии

(9.34)

для точки / (хг1,

x2j,

 

xmj);

yjv

— значение отклика, полученное

в v-м повторном

опыте для точки /(v = 1 , 2 ,

/V); N — полное

число повторных опытов для каждой точки /; т — число членов уравнения регрессии (9.34), не считая нулевого (аох0), или число' уравнений (связей) в системе (9.36) без одного.

Если окажется, что

§ = - ^ - <л-р = х[р\ ( M i — i n — 1), л(#—1)1,

(9.41)

то уравнение (9.34) адекватно описывает опытные данные (на уров­

не значимости В) и наоборот. Величина

д-р находится

по табл. П. 5

при kl — Nn —

in — 1, /г, = п (N — 1) и |3, например, • равном

0,05.

 

 

 

Если модель

адекватна, то можно

приступать

к оценке роли

каждого переменного (фактора л'; ), т. е. к оценке значимости коэф­ фициентов СІІ уравнения регрессии (9.34). Для этого необходимо рассчитать дисперсии этих коэффициентов. Поскольку коэффициен­

ты q.t [решения

системы (9.36)1 являются

функциями результатов,

наблюдений

то в самом общем случае

(неортогонального пла­

нирования) для вычисления дисперсии D (at) можно воспользовать­ ся формулой (2.29):

так как D {ijj) з= S%IN [см. формулу (9.39)1. Например, для орто­ гонального планирования, используя выражение (9.38), по форму­ ле (9.42) получаем:

/ = 1 \ І 4 /

" 2 4

Оценка значимости коэффициентов at

производится по крите­

рию Стьюдента (см. § 4.3). В частности, на основе формулы

(3.32)

можно сделать вывод, что если математическое ожидание М (at)

=

= 0, то случайная

ai

/

 

по

величина t — — l /

nN будет распределена

 

Sai V

 

 

 

закону Стьюдента

с п (N — 1) степенями свободы. Следовательно,,

если

 

 

 

 

 

> f , _ l , = * [ l — р , HN—1)],

(9.44).

то величина коэффициента at значима (на уровне значимости |3) и на­

оборот. Значения

находятся по табл. П.4 при а = 1 — В

ичисле степеней свободы п (N — 1).

Вслучае незначимости каких-то коэффициентов at члены с эти­ ми коэффициентами исключаются из уравнения (9.34), а коэффи­ циенты при оставшихся членах (в общем случае — неортогональ-

ного планирования) рассчитываются заново. Новое уравнение ре­ грессии также проверяется на адекватность.

Физика явления или опыт исследования могут подсказать, ка­ ким должно быть уравнение (9.34), в частности, какого порядка. Если такого рода данные отсутствуют, то уравнение регрессии на­ ходится путем последовательных приближений. Поиск разумно на­ чинать с достаточно простои (например, линейной) модели. При ее неадекватности в первоначальное уравнение включаются дополни­ тельные члены.

Ортогональное планирование. Полный факторный эксперимент «2*». Для того чтобы избавиться от основного недостатка регрессион­ ного анализа, необходимо так расположить экспериментальные точки в факторном пространстве (в области возможных значений факторов л',-), чтобы выполнялось условие ортогональности (9.37). Наибольшее распространение в ортогональном планировании по­ лучил специальный случай факторного эксперимента, в котором каждый из k факторов исследуют на двух уровнях (обычно близких к граничным значениям возможного диапазона изменения фактора).

Так, если исследуется влияние факторов А

и В,

то они оба долж­

ны иметь два нижних А„ Вп

и два верхних Ав

Вв

уровня. Экспери­

менты

ставятся

при

всех возможных

сочетаниях

уровней: Ап

Вп,

Ав Вв,

А и Вв, Ав

Вп

— всего

четыре

опыта (22 ). В случае трех фак­

торов таких сочетаний будет 23 =

8; четырех —24

— 16 и т. д., т. е.

число экспериментов

равно

2k.

 

 

 

 

 

 

Подобное планирование позволяет найти коэффициенты непол­

ного квадратного уравнения регрессии. Им обычно пользуются

для

получения первого приближения

Для

двух

факторов Л'] и х,

оно

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

а0 - f aixl --

а.,х2

+ а^х^х.,.

(9.45)

Введем фиктивную переменную х0 - 1 и закодируем верхние значения уровней факторов Лв через - Ы , а нижние h n — через — 1 , •что эквивалентно переходу от переменных Xt к переменным л'/:

х ! = Xi — (hB + h„)i2

= = 2 x i — (hB + hlt)

(Ав -Лн )/2

Ав-Ан

(для простоты записи штрих ниже опустим). Тогда эксперимент можно представить так называемой матрицей планирования, кото­ рая показывает, при каких сочетаниях уровней факторов должен измеряться отклик у (табл. 9.10).

Нетрудно убедиться, что такой план обладает свойством ортого­ нальности:

п

 

.

п

 

 

2

хцхи=0\

at=

2

хиу]1п,

(9.47)

/ =

і

 

/ =

і

 

л

 

 

 

 

 

где S х},- — n [здесь

і — 0, 1, 2,

3, причем х3]- = (хі*2)ї xtj

= ± 1

.(см. табл. 9.10)1. Теперь коэффициенты at

не зависят друг от друга.

Поэтому они могут полностью характеризовать роль (вес) каждой независимой переменной (фактора) в уравнении регрессии (9.45). При коррелированных коэффициентах о* оценивать вклад отдель­

ных факторов в функцию

отклика

у затруднительно.

 

 

 

Т а б л и ц а

9.10

М а т р и ц а п л а н и р о в а н и я

полного ф а к т о р н о г о

 

 

э к с п е р и м е н т а « 2 2 »

 

 

 

Лп'

 

 

+ 1

— 1

1

+ 1

г/1

+ 1

+ 1

1

— 1

 

+ 1

— 1

+ 1

— 1

Уз

+ 1

+ 1

-1-1

+ 1

УІ

Дробные реплики. Если требуется получить чисто линейное

приближение для функции отклика

(9.45)

или нет необходимости

в определении коэффициентов при членах,

характеризующих взаи­

модействие высоких порядков (х; Xj

... X/,

эти взаимодействия ча­

сто трудно объяснить), то нецелесообразно проводить полный фак­ торный эксперимент — достаточно провести часть опытов, входя­ щих в него, или, как говорят, достаточно организовать дробные реп­

лики

от него. Если дробная реплика содержит

половину

опытов

(N =

2* _ | ) по сравнению с полным факторным

экспериментом, то

план

называется полурепликой, если четверть

(N — 2* - 2 )

— чет-

вертьрепликой и т. д. Преимущества дробного факторного экспери­ мента особенно явно сказываются при большом числе факторов х,. Он также применим, когда не представляется возможным провести все опыты полного эксперимента.

Для организации ортогональной полуреплики эксперимента с k факторами нужно в матрице полного факторного эксперимента «2*-'» поменять наименование столбца, характеризующего взаимо­ действие самого высокого порядка, на столбец хк. Так, если иссле­

дуется характер влияния на

отклик трех факторов (k

= 3), достаточ­

но в матрице планирования

эксперимента

«22» (см. табл. 9.10) сме­

нить обозначение последнего столбца с.ххх2

на х3.

Получившийся

план можно записать в более компактной форме, обозначив х1 — а, х2 = Ь, х3 — с и подставив в матрицу всюду вместо + 1 соответст­ вующие буквы. Тогда каждую строку этой матрицы можно закоди­ ровать буквами, имеющимися в ней (табл. 9.11).

Код (с, a, b, abc) и является сокращенной записью плана рас­ сматриваемого эксперимента.

Наряду с полурепликой (см. табл. 9.11) можно организовать еще одну (вторую) полуреплику полного факторного эксперимента

«23». Для этого в табл. 9.10 надо заменить

столбец ххх2

на столбец

х3 = —хьх0. Закодировав строку (—1, — 1 ,

—1) через

(1), получим

табл. 9.12/

 

 

 

I

207"

Смотрите также файлы