Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 245
Скачиваний: 1
К о д и р о в а н и е п о л у р е п л и к и п р я н о г о ф а к т о р н о г о э к с п е р и м е н т а « 2 3 »
|
|
Хг |
х, |
и |
Код |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
с |
Уі |
с |
+ 1 |
а |
— 1 |
— 1 |
г/2 |
а |
4-1 |
— 1 |
b |
— Г |
Уз |
Ь |
4-1 |
а |
b |
с |
У* |
abe |
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.12 |
|
Вторая п о л у р е п л и к а |
п о л н о г о |
ф а к т о р н о г о |
|
|
|
|
э к с п е р и м е н т а « 2 3 » |
|
||
*0 |
|
х2 |
х. |
и |
Код |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
Уь |
(1) |
+ 1 |
' + 1 |
— 1 |
- н |
Уа |
ас |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
+ 1 |
Уі |
be |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
Ув |
ab |
Сравнив табл. 9.10 и 9.12 с матрицей полного факторного эксперимента «23» (табл. 9.13), нетрудно убедиться, что они, дейст вительно, являются его полурепликами.
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.13 |
|
М а т р и ц а |
п л а н и р о в а н и я полного |
ф а к т о р н о г о |
э к с п е р и м е н т а « 2 3 » |
|
||||
Хо |
*1 |
Xz |
X, |
|
XlX, |
хгх, |
ХхХ^Хъ |
У |
Код |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 , |
— 1 |
+ 1 |
Уі |
с |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
— I |
+ 1 |
+ 1 |
Ул |
а |
+ 1 |
— 1 |
+ г |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
Уз |
b |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
- Ы |
УІ |
abc |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
Уь |
ab |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
-1-1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
Уа |
be |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 . |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
Уі |
ас |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
- 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
УІ |
(1) |
(Столбцы взаимодействий не принимаются во внимание, посколь ку они являются производными столбцов факторов). Как видно, в первую полуреплику (см. табл. 9.11) вошли строки с нечетным количеством букв кода матрицы «23», а во вторую (см, табл. 9.12)— с четным количеством и строка (1). Отсюда нетрудно сформулировать формальное правило разбиения полного факторного эксперимента на полуреплики. Сначала строим код матрицы полного факторного
эксперимента. Для двух факторов он будет: (1), a, b, ab, для трех — |
||||||||||
необходимо |
повторить этот двухфакториый эксперимент один |
раз |
||||||||
с уровнем третьего фактора х3 |
= |
—1 и второй |
раз |
с уровнем |
+ 1 , |
|||||
т. е. код будет иметь вид: (1), a, |
b, |
ab, |
с, ас, вс, |
abc. |
Соответственно |
|||||
для четырех |
факторов: (1), a, |
b, |
ab, с, |
ас, be, abc, d, |
ad, |
bd, abd, |
cd, |
|||
acd, bed, abed и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из найденного кода матрицы полного эксперимента выделяем |
||||||||||
строки с нечетным или четным |
[плюс |
строка с кодом (1)] количест |
||||||||
вом букв. Это и будут две полурепликй. Выбор одной |
полурепли |
|||||||||
ки из двух должен производиться случайным образом. |
Нетрудно |
|||||||||
убедиться, что при произвольном |
(отличном от описанного) выборе |
|||||||||
строк из плана полного факторного эксперимента для |
организации |
|||||||||
полуреплики не соблюдается условие ортогональности |
(9.37) экспе |
|||||||||
римента. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Для выяснения зависимости предельной |
|
(в |
отношении |
||||||
кризиса теплоотдачи при кипении) мощности канала заданной кон
струкции от пяти факторов: расхода |
G, температуры недогрева |
||||
теплоносителя на входе до температуры насыщения At, |
давления |
||||
на входе Р, высоты канала Н |
и |
коэффициента |
неравномерности |
||
тепловыделения по высоте Kz. |
Q n p |
= |
Q {G, At, |
Р, Н, Kz) |
был по |
ставлен факторный эксперимент при изменении каждого из пяти
факторов |
на двух |
уровнях (табл. |
9.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9.14 |
|
|
Уровни |
ф а к т о р о в |
|
|
|
Уровень |
Код |
С, кГ/сск |
At, град |
Р, атм |
Я, м |
|
к |
|
10 |
20 |
100 |
6 |
1,5 |
— 1 |
1 |
5 |
70 |
4 |
1 |
Взаимодействия высоких порядков (больше двух) не представ ляли должного интереса, поэтому решено было воспользоваться полурепликой « 2 5 - 1 » . Подбрасыванием монеты выбрана полуреплика с нечетным числом букв в строках. Результаты эксперимента приведены в табл. 9.15.
По формуле (9.47) (при і = 0,1, . . ., k = 5; / = 1,2 |
n = 16) |
вычисляем коэффициенты и в итоге получаем уравнение регрессии
Qnp = |
6,3 |
+ |
3,44 |
G' + |
2,11 |
At' |
+ |
1 . 2 6 Р ' — |
||
— 0 , 1 7 5 Я ' |
^ |
0,Ш'г |
+ |
l,l5G'At' |
+ |
0,675G'P' — |
||||
— 0,1 IG'H' |
— |
0,32G'K'Z + 0.42АГР.' |
— |
|||||||
— |
0,11 |
At'H' — Q,2At'K'z |
— 0 , 1 4 P ' t f ' |
— |
||||||
|
|
|
— |
0 . 1 5 P X |
+ 0,24H'K'Z. |
|
(9.48) |
|||
8 Зак. 1282 |
209 |
|
|
|
Р е з у л ь т а т ы э к с п е р и м е н т а « 2 5 - 1 » |
|
||||||
і |
|
G |
Д( |
р |
|
и |
|
|
Q n p , Мат |
|
1 |
_ ! |
_ ! |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
1,4 |
||||
2 |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
3,4 |
|||
3 |
+ |
1 |
|
|
— 1 |
— 1 |
— 1 |
5,8 |
||
4 |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
9,7 |
||
5 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
2, 6 |
||||
6 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
4, 3 |
|||||
7 |
|
|
|
|
+ |
1 |
— 1 |
+ 1 |
7,2 |
|
8 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
17,4 |
|
9 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
1,6 |
|||
10 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
2, 7 |
|||||
11 |
|
|
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
4 , 6 |
|||
12 |
- И |
+ |
1 |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
11,1 |
||
13 |
|
|
|
|
+ 1 |
+ |
1 |
+ 1 |
2, 0 |
|
14 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
4, 9 |
||||
15 |
+ 1 |
— 1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
8,3 |
||
16 |
+ 1 |
- Ы |
+ 1 |
+ |
1 |
+ 1 |
13,8 |
|||
Переход от xi к xt легко осуществляется по формуле кодирова ния (9.46).
Эта полуреплика полного факторного эксперимента 25 органи зована заменой в полном факторном эксперименте 2'1 взаимодейст вия самого высокого порядка (хх х2 х3 х4) на фактор Kz- Экспери мент можно было бы построить на основе четвертьреплнки. При этом число опытов сократилось бы с 21 = 16 до 23 = 8. Четвертьреплику можно получить, воспользовавшись полным факторным экспериментом «23» («2*—2»). Она позволяет определить восемь коэф фициентов а,-, т. е. кроме свободного а0 и линейных членов а ь . . . , о 5 можно оценить еще два парных взаимодействия. Из полученного уравнения регрессии (9.48) видно, что наибольшее влияние на мощ
ность оказывают взаимодействия GAt и GP, |
поэтому для получе |
|||
ния четвертьреплнки в плане 23 приравняем хх |
х2 х3 (т. е. GAtP) |
= |
||
— Кг |
и х2х3 |
(т. е. AtP) = Н и оставим неизменными столбцы хх х2 |
= |
|
=GAt |
и хг |
х 3 = GP. Если нет априорной информации о взаимодей |
||
ствиях, то выбор парных взаимодействий, оставляемых в уравнении
регрессии, следует производить случайным образом. |
Четвертьре- |
|
плика будет иметь вид табл. 9.16. |
|
|
Вычислив коэффициенты at (9.47), получим |
|
|
Q n p = 6,275 + |
3.4G' + 2.025ДГ + 1,1Р' — 0,05Я' — |
|
— 0,425/Сг + G'At' + 0,475G'P'. |
(9.49) |
|
Рассмотренные в примере дробные реплики были |
образованы |
|
соотношениями: x1x2x3xi |
— х 6 д л я полуреплики и ххх2 |
х3 = хъ> |
Р е з у л ь т а т ы э к с п е р и м е н т а « 2 5 - 2 »
/ |
0 |
|
м |
р |
н |
к , |
GAt |
GP |
< ? п р . Мет |
1 |
|
1 |
— 1 |
_ 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
1,6 |
2 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 ' |
— 1 |
— 1 |
4 , 6 |
|
3 |
|
|
|
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
2, 9 |
4 |
+ |
1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
11,6 |
5 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
.— 1 |
2 , 1 |
|
|
|
4 1 |
|
||||||
6 |
+ |
1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
8,7 |
7 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
4 , 9 |
|
8 |
+ |
1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
13,8 |
Л'2 х3 = ,v4 для четвертьреплики. Эти равенства называются |
г е н е |
||||
р и р у ю щ и м и |
с о о т н о ш е н и я |
м и, |
а произведения |
х\ — |
|
= 1 —Xi .v2 х3 xt |
х5 и соответственно х\ |
= 1 = |
хх х2 х3 хь, х\ |
= |
1 = |
—хг х3хл — о п |
р е д е л я ю щ и м и |
к о н т р а с т а м и . |
Послед |
||
ние позволяют определить вклад в каждый из коэффициентов урав нений регрессии (9.48) и (9.49) тех факторов взаимодействия, ко торыми пренебрегаем (подробнее об этом см. работы [105, 106]).
Сравнивая уравнения (9;48) и (9.49), видно, что вид дробной реп лики влияет на точность оценки коэффициентов регрессии, или, как говорят, на разрешающую способность реплики (которая, кста ти, оценивается с помощью контрастов [105]).
Анализ полученных уравнений регрессии проводится описан ным ранее способом. Для проверки на адекватность необходимо оце нить дисперсию (9.39) эксперимента а | та So, для чего нужно иметь
параллельные наблюдения. |
Оценка значимости коэффициентов по |
||
/-критерию требует знания |
S%i (9.43). На основе |
выражения |
|
(9.43) легко получаем, что для ортогональной матрицы |
планирова |
||
ния |
|
|
|
|
|
N • п |
(9.50) |
N |
2* |
|
|
|
|
||
так какх;7 = 1,т. е. коэффициенты уравнения регрессии определяют ся с одинаковой и (можно доказать) минимальной дисперсией [105]. Из выражения (9.50) видно, что с увеличением числа факторов k дисперсия Sl. уменьшается, так как я = 2*. Следовательно, фактор ный эксперимент наиболее эффективен при большом числе факто ров. Найдем дисперсию у (9.34)
o2s = olo + oliX\+...+olmxi=-jjL(l+xl+xl |
+ ... |
+ xm). (9.51) |
8* |
211 |