Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 214

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

па В. Из этих N предметов случайным образом выбирается п штук. Вероятность того, что среди п окажется точно т предметов типа А

Р [т) = См-м • C'M/C'N,

(3.54)

где т — случайная дискретная величина с возможными значения­ ми: 0, 1, 2, л; N, М, п — постоянные целые положительные чис­ ла, М < N, п < N; C'N — N\ln\{N — л)! — число сочетаний из N элементов по п.

Р и с . 12. Г и п е р г е о м е т р и ч е с к о е

р а с п р е д е л е н и е п р и N = 20

и М =

10.

Формула (3.54) задает ряд распределения (2.7), который полу­ чил название гипергеометрического (рис. 12),

2 Р. И = 1.

(3.55)

т=0

 

Математическое ожидание случайной величины т (среднее чис­ ло предметов типа А из п)

М (т) = (Л1/Л0 п = пр,

(3.56)

где- р = M/N — вероятность, что наугад взятый предмет из сово­ купности N окажется предметом типа А (например, будет дефект­ ным, если речь идет о контроле качества готовых изделий). Диспер­ сия и среднее квадратическое отклонение имеют вид:

D{m)=np{\—p)

1

и — 1

 

N — l

(3.57)

т ( о ) = | / „ р ( 1 - р ) ( 1 - ^ = 1 ) .

Вероятность, что случайная величина т примет значение в ин­ тервале пц ^ т ^ т.2, вычисляется по формуле

Р { / / г 1 < т < т 2

} =

2

С^СЪ/С%

= (С'^-С7~])/С'Ь.

(3.58)

 

пг = т і

 

 

При н , р = const

И Л/" -V ОО

 

 

Р (,п) = С

П

= С

(1 -р)п~'" рт.

(3.59)

Уже при n^Z0,\N

гипергеометрическое распределение

прак­

тически совпадает с биномиальным (3.59) [23].

Биномиальный закон. К биномиальному распределению приво­ дит следующая часто встречающаяся на практике математическая модель: п элементов по очереди или одновременно участвуют в не­ котором опыте (испытании); по окончании опыта каждый элемент может либо попасть в состояние А, либо нет, причем вероятность

перейти

в состояние А для всех элементов одинакова и постоянна

Р\А\ =

р. В этих условиях вероятность, что после опыта

т эле­

ментов из п окажутся в состоянии А, выражается в виде

 

 

рп('п)=сч;р'"(і-р)п-т.

(з.бо)

Такая модель может быть интерпретирована еще так: проводит­ ся п одинаковых опытов, в каждом из которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А. Тогда вероятность, что за п опытов событие А произойдет т раз, выражается формулой (3.60), называемой формулой Бернулли. Если т рассматривать как ди­

скретную

случайную

величину

с областью возможных значений

т = 0, 1,

2,

п,

то формула

(3.60) задает ряд распределения

(2.7), называемый биномиальным законом (рис. 13). Числовые ха­

рактеристики легко получаем из формул (3.57) при N

оо

М(т)=^пр;

D (т) — пр (I — р); а(т)=\

пр(1—р).

(3.61)

Вероятностьтого, что случайная

величина т примет значение в ин­

тервале т1 ^

т ^

то, вычисляется по формуле

 

 

?{тх^т^1щ}=

 

2 С",1Рт{\~р)'1-"'.

(3.62)

 

 

 

Ш==Ші

 

 

При п ->- оо закон

Р„ (т) по форме стремится

к нормальному с па­

раметрами М =прн

а = У пр{\

— р). В этих условиях,

а именно,

когда М>3а

или п >9^ —

1 j , . вероятность (3.62) можно вычис-

лять

по формуле

 

 

 

 

 

 

 

Р {/«! <

т < т.г} = Ф 1

—Ш*-пР

— ф

 

,

(3.63)

 

 

 

 

 

УпрО-р)

 

V n p ( l - P )

 

где Ф(и) находим

по табл. ПЛ. Эта формула

известна

как локаль­

ная

т е о р е м а

( и л и

ф о р м у л а )

М у а в р а — Л а п ­

л а с а .

 

 

 

 

 

 

больших п

В

работах

[23—25] показано, что при не слишком

(п <

100) более точные результаты дает формула

 

 

Р { ' %

т

trio) —

; н 2 - { - 0 , 5 — пр

-Ф '

т1—0,5—пр

 

 

 

 

 

Упр(\-р)

 

Упр(\-р)

 

 

Когда п-*- оо , а р-*- 0, причем так, что пр = const,

из формулы

(3.60)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р „ и = - т\

(п —

т)\

р'"(1—р)п-'"

SE (пр)" ехр(-пр),

(3.65)

т. е; биномиальный закон переходит в распределение Пуассона.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 т

 

Р и с .

13.

Б и н о м и а л ь н ы й

з а к о н

п р и р

=

1/3.

 

 

Закон Пуассона и простейший поток событий. У распределения Пуассона есть еще одно название: закон редких событий, т. е. со­ бытий, вероятность возникновения которых мала (р-*-0). Обычно достаточно р ^ 0,1 [14, 26]. Из выражения ясно, что к закону Пу-

ассона приводят те же самые математические модели, что и к бино­ миальному закону, но при малых р, п-*- оо и пр — const. Закон Пуассона имеет вид (рис. 14)

Р ( / л ) = ^ U x p ( — пр)=

— ехр(—а),

(3.66)

где а — пр — параметр закона;

т =

0,

1, 2,

.... п. Из выражений

(3.61) получаем

 

 

 

 

 

М (т) = D (т) = лр =

а;

а (т) =

Yap = ~\Пх.

(3.67)

Закон Пуассона — это не просто частный случай гипергеомет­ рического и биномиального распределений. Он справедлив в более общем случае, когда рассматривается число т событий не в п опы­ тах, а вообще за некоторый произвольный интервал х (простран­ ства, времени и т. п.). Например, событием может быть появление

Р,

:

•

"

і

О

2

4

6

8

10

12

14

16

18

т

 

 

Р и с .

14.

З а к о н

П у а с с о н а .

 

 

 

 

дефекта на канале реактора. Пусть среднее число событий (дефек­ тов) на интервале единичной длины (на одном погонном метре ка­ нала) постоянно и равно X. Тогда вероятность, что на интервале длиной х (допустим на всем канале) рассматриваемое событие про­ изойдет т раз, определяется по закону Пуассона

 

 

P ( m ) = № L e x p ( — Х х ) ,

(3.68)

 

 

ш !

 

где

т = 0,1, 2,

оо, параметр закона а = Хх; M(tn) = D(m) =

=

Хх.

 

 

Вероятность того, что случайная величина т,

распределенная

по закону Пуассона, примет значение в интервале

m, ^ т ^ т 2 ,

вычисляется

по формуле

 

 

 

 

^{щ^т^тпъ}^

>^ —

ехр( — a)=Q(m 1 , а)—Q(m2 , а). (3.69)

 

m = m,

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

Функция Q(m, а) = 1 — 2

— е

х Р (—а ) приведена

в

приложении

(см. табл. П.6) для 0,1 ^ а ^ 2 0 .

При а > 2 0 удобно

пользоваться

приближенной формулой, аналогичной (3.64), которая тем точнее, чем больше а [27]:

. . Р [щ < m < m2 } = Ф ^ ^ + ^ 5 ~ А

) _ ф (W L ~ ^ - 5 ~ A

) . (3.70)

Закон Пуассона является

третьим

из рассмотренных

законов

(наряду с нормальным и yj),

который обладает свойством

устойчи­

вости. Это означает, что композиция законов Пуассона есть также

пуассоновский закон. Еслислучайная

величина

2 = тх +

тг,

где тх

и т.о. — независимые случайные

величины,

распределенные

по закону

Пуассона

с параметрами аг

и а2 , то Z будет иметь пуас-

соновское

распределение

с параметром

а = аг +

а2-

 

п о ­

С законом Пуассона

связано понятие

п р о с т е й ш е г о

т о к а

с о б ы т и й

( п у а с с о н о в с к о г о

п о т о к а ) . Ре-

акторостроителю постоянно приходится сталкиваться с теми или иными потоками событий, например потоком отказов реактора [28].

Простейший поток удовлетворяет следующим трем

условиям:

с т а ц и о н а р н о с т и ,

о т с у т с т в и ю п о с л е

д е й с т ­

в и я , о р д и н а р н о с т и . С т а ц и о н а р н о с т ь

означает,

что вероятность появления т событий на интервале времени от t до t + не зависит от t (от места расположения промежутка At на временной оси), а является функцией только числа т и длины ин­ тервала Д^. О т с у т с т в и е п о с л е д е й с т в и я означает не­ зависимость появления того или иного числа событий в промежутке времени А^ от появления событий , в -предшествующий период t (от предыстории). О р д и н а р н о с т ь отражает практическую невозможность появления двух и более событий в один и тот же мо-

"мент времени или за достаточно

малый интервал.

 

 

 

Для

простейшего потока вероятность появления т

событий

за

время

t описывается

законом

Пуассона:

 

 

 

 

Р ( т ;

і) = Ш!ехр(—Xt),

 

(3.71)

 

 

 

ml

 

 

где

X >

0 — параметр

потока,

представляющий собой

интенсив­

ность событий (число событий в единицу времени) т = 0, 1, 2,

со..

Г л а в а 4.

О Б З О Р П О Н Я Т И Й И М Е Т О Д О В М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й

СТ А Т И С Т И К И

§4.1. Определение точечных оценок для неизвестных

числовых характеристик случайных величин

Вариационный ряд. Выборка., Генеральная совокупность. Клас­

сическая задача математической

статистики

состоит в следую­

щем.

Над

случайной

величиной

X проведено

п

независимых на­

блюдений; в результате их упорядочения получен

в а р и а ц и о н-

н ы й

р я д

значений

случайной

величины, расположенных в по­

рядке

возрастания,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.1)

Требуется на основе этой конечной выборки объемом п оценить основные характеристики г е н е р а л ь н о й с о в о к у п н о - с т и значений случайной величины X (т. е. всех возможных ее значений, число которых часто бесконечно), например ее матема­ тическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение а*.

Точечная

оценка математического ожидания и дисперсии. Т о-

ч е ч н о й

о ц е н к о й

любого неизвестного параметра (харак­

теристики)

а

генеральной

совокупности называется функция слу­

чайных аргументов

а = Ф (А'І, А'2 > хп), (4.2)

зависящая только от результатов наблюдений xt и от известных постоянных (не случайных) величин, например от числа п.

Оценка а параметра а называется н е с м е щ е н н о й , если ее математическое ожидание (при фиксированном п) точно равно оцениваемому параметру (т. е. если отсутствует систематическая погрешность):

 

М (а) = а.

(4.3)

Оценка а

называется с о с т о я т е л ь н о й ,

если при увели­

чении объема

выборки п ->- оо она стремится к

оцениваемому па­

раметру а по вероятности, т. е. для сколь угодно малого є > О вероятность

Р {\а

— а\ <

є} -нк 1

п р и / г ^ о о .

(4.4)

Оценка а называется

э ф ф е к т и в н о й , если

при

заданном п

она менее других оценок (на

основе* выборок того

же

объема) ук­

лоняется от оцениваемого параметра,

т. е. если

 

 

 

М (а — а)2 =

min.

 

(4.5)

* Ч и с л о

в ы е х а р а к т е р и с т и к и г е н е р а л ь н о й с о в о к у п н о с т и н а з ы в а ю т гене ­

р а л ь н ы м и , а

х а р а к т е р и с т и к и в ы б о р к и — в ы б о р о ч н ы м и .

Смотрите также файлы