Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

З а д а ч а

1.5.1.

Допустим,

что ylt

■ • •. Тп — полунормы на

линейном

пространстве

V .

Показать,

что

yt +

. . . +

уп

и

m a x llj, .

. ., уп] являются полунормами на V

. Далее,

предположив

дополнительно,

что

yt —

норма,

показать,

что

ух +

. . . +

уп

11

max [yt,

. . .,

у„] — также

нормы на V .

пространство н у

—

З а д а ч а

1.5.2.

Пусть

V

— лннейиое

норма на V . Будем говорить,

что последовательность {фѵ} в V

схо­

=1

S

и произ­

конечного подмножества {у„ }к множества

вольных положительпых чисел

е2,...,

еп

шар с центром

в

ф, где ф — фиксированная

точка

в

Ѵ ',

определяется

как множество всех tp, для которых1

2

п.

Ъп

(ф — Ф) <

к =

,

, . . . ,

Ясно, что пересечение двух шаров с центрами в одной и

той же точке ф —также шар с центром в ф.

Окрестностью в

Ѵ'

называется любое множество в

V ,

содержащее шар, а

окрестностью элемента

ф ЕЕ

V 1

называется любое мно­

жество, содержащее шар с центром в ф. Окрестностьтопона­­

логиейчала координат 0 называетсяV .

окрестностью нуля.

Се­

мы будем называть

мейство всех окрестностей в

но

будет

рассматривать

толькоу

окрестности

нуля. Ана­

логичноеУ

замечание относитсяу,

и к шарам в

І? .

Если

две полунормы

и

р эквивалентны, то шар

{ф ■'

(ф) ^ е} порожденный

содержит шар {ср : р (ф) ^

ö}, порожденный р, и наоборот. Таким

образом, ок­

ми, совпадают.

S

отделяющим

называется ли­

Мулътинормированным пространством

нейное

пространство,

имеющее топологию, порожден­

ную мультинормой

(т. е.

V

семейством полу­

норм);

если

S

счетна,

то

называется

счетно-мулъти-

нормированным пространством

(обратите внимание на то,

что счетной является мультинорма,

а не

пространство;

само пространство

не обязательно

счетно).

W

В мультинормированном

пространстве

пересече­

Ѵ*

ние всех окрестностей данного элемента ср е=

не содер­

жит никаких элементов, отличных

оту ф.

Действительно,

если Ѳ Е

W

также

содержится в

любой окрестности ф,

то для любых е

О и у е 5

имеем

(ф — Ѳ)

е. Сле­

довательно,

у (ф — Ѳ)

= 0 .

Но

S

мультинорма ■Ѵ' отде­

ляет 2^, поэтому ф = Ѳ.

пространстве

зада­

Пусть в мультинормированном

ность {фѵ}ѵ°°=і,

начиная

с некоторого

номера,

принадле­

жит2

2

N ,

что фѵ

£2

при

£ , если существует такое число

ge

V >

N .

Последовательность {фѵ} называется

сходящейся

в

^

сходящейся),

если все фѵ принадлежат

W

(или просто£2

и

существует такой

элемент ф £Е

Ѵ',

что

для

любой

окрестности

элемента ф последовательность

{фѵ},

начи­

пределом

последовательности. Мы будет говорить, что

вается2

—у

{фѵ} сходится

в f

к ф и записывать это в виде «фѵ

- у

ф

в ^ при V

оо

»

или «Ііш фѵ = ф в

Ѵ ь .

Как

обычно, ряд 2 ф„ называется сходящимся в

V ,

=1

ѵ

схо-

если последовательность частичных сумм

дится в

Ѵ'.

направленноесходитсямножествов 'p'

{фѵ} ѵ—а,а.гДе числовой индексѵ

стремится к некоторому

пределу

Мы будем говорить,

что {фѵ} ѵ-»а

к пределу ф, если любая после­

>а.

Пустъ

V

мулътинормированное

пространство

с

мультинормой

S .

Последовательность

к ф при ѵЛ. —

—

Л е м м а

1.6.1.

сходится в V

к пределу

ф

тогда и только тогда,

когда

для

каоісдиго

у Er. S

при

—у оо-

Предел

единствен.

{фѵ}^ і

ф

ѵ

В

у(ф — фѵ) — 0

По

определению

сходящей­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ся последовательности, фѵ ->

ф в У

В .

только в том случае,

если для

любого

шара

с центром ф последовательностьу S

{фѵ}, начиная с некоторого номера, принадлежит

Но

это каку

раз Sи означает, что для любой полунормы

ЕЕ

у(ф — фѵ) — 0

при V

о о . Обратно, предположим, что для

любой

у(ф — фѵ)

0

при V

о о .

Так как любая окрестность элемента ф содержит шар

с центром в ф, то отсюда вытекает,

что { ф ,} ^ , начиная

ІУ .

с некоторого номера, содержится в любой окрестности ф.

Следовательно, фѵ —>- ф в

Для того чтобы доказать единственность предела, пред­

положим,

что

существуют два

различных предела ф и

S

{фѵ}^=і- Тогда для любой полунор­

0 последовательности

мы у £Е

О

У (ф — 0) < У (ф — Фѵ) + 7 (фѵ — Ѳ)

при V

—

> -

V ,

у

(ф —

Ѳ)

= 0 . Так как муль­

о о . Следовательно,

тинорма

отделяет

то ф = Ѳ.

что

любое

Используя эту лемму,

нетрудно показать,

венциальной

сходимостью

и

мультинормированными

пространствами, так же как

и между всеми различ­

ными типами пространств,

которые рассматриваются

в этой главе.

точкой прикосно­

Пусть

М

— подмножество мультинормированного про­

странства

элемент ф б У

называется

вения М ,

если любая окрестность <р

имеет

непустое пе­

ресечение с

М .

Множество, получаемое добавлением к

М

всех его точек прикосновения, называется

замыканием М

и обозначается через

М .

Если

М —

то множество

М

называется

плотным

в

Очевидно,

что

М

плотно в

,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточность очевидна,

поэтому обратимся к доказательствуV

необходимости.

Сна­

чала мы покажем, что из счетности мультииормы

S

вы­

текает существование

в

такой

последовательности

шаров с центрами в ср, чтоу

любая

окрестностьу

ср

содержит по крайней мере один из

В к.

Действительно,

семейство всех шаров

вида {ф : (ср — ф)

б}, где

—

произвольная полунорма из

S

и е — произвольное поло­

пересечения

таких шаров содержат другое счетное

мно­

жество шаров, которые и образуют последовательность2

,

имеющую желаемые свойства.

C t --

В г,

Далее,

последовательность

Сшаров3. . .

С =

=

С 1

П

В 2, С 3 — С 2 (] В 3,

. . . имеет то же самые свой­

М

кроме

W ,

ства Си,

того,

гэ Сг ІЭ

Из

того

фактора,

что

к

плотно в

М .вытекает возможность выбора в каж­

дом

ср,

некоторой точки cph

ёЕ

М ,

в частности,

самой точ­

ки

если

ср

Очевидно,

что

последовательность

(срѵ}ѵ==і сходится к ср

и

поэтому имеет нужные свойства.

Лемма доказана.

Коши

в

мультипормпровашіом

Последовательностью

пространстве

W

называется

такая

последовательность

{срѵ}^=х элементов

V ,

что для любойNокрестности Q

нуля

существует

положительное

целое

число

N ,

для

которого

ср« — epp. принадлежит

Q,

если ѵ О

и

р

Аг.

В

этом

случае

мы снова будем говорить, что срѵ — ср1Х, начиная с

некоторого номера, принадлежит Q1 6при1

ѵ

оо и р — оо

независимо друг от друга. Проведя рассуждения, ана­

логичные Wдоказательству

леммы

.

. ,

получим

следую­

щий

результатW

:

{срѵ}

являетсяу 6

последовательностьюS

Коши

в

тогда и

только тогда, когда все ср„ при­

надлежат

И

ДЛЯ

Любого

=

Т (фѵ — ф[П

О,

если ѵ и р стремятся к

бесконечности независимо друг

от друга.

что

любая

сходящаяся

последовательность

Заметим,

в 2^ является последовательностью Коши,

поскольку если

{срѵ}

сходится

к

ф в

f

,

то