Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

2 а )

а (ßcp) =

(a ß )

rp;

2b)

lcp =

cp

(1

обозначает число, равное единице).

3.

Должныср

выполнятьсяаср аф ;

следующие дистрибутивные

законы3 Ъ)

:( а ( +

ß)

ср

=

аср + ßcp.

За)

а

+ ф)

=

+

обычных функций и умножения их нанулевымчисла (смэлементом. задачу

1.3.1).

Вычитание'

определяется формулой

ср — ф

=

= ср +

( — ф). Символ 0

называется0

или

началом координат

в

в

большинстве

случаев

он

%

будет обозначаться просто

цифрой .

пространствомПодмножество) V ,

линейного пространстваср, %

V 1

назы­

вается

линейным подпространством

аср(или6

просто

под­

ср

П р и м е р 1.3.1. аПустьесли

Кпри— компактноелюбых

подмножествоф Е и любом£R,n \

комплексном числе

элементы

Д- ар и

принадлежат %.

Я)к — множество всех

комплекснозначных

гладких

функций

на

“

p W =

r -

' ‘ К

’ ’

(1)

I

о

,

| t | >

l .

Функция £ (t) принадлежит Я>к -

это утверждение становится

очевидным, если мы заметим, что все частные

производные

£ (<)

непрерывны в тех точках t, для которых | 11=

1.

П р и м е р

1 .3 .2 . Обозначим через Я) объединение всех Я)к

когда К пробегает всевозможные компактные

множества

в

З і п.

Таким образом,

ср (г) принадлежит Я) тогда и только тогда,

когда

ср (г) — комплекснозначная

гладкая

функция,

носитель которой

зуя аксиомы

линейного

пространства:

a) из

ф +

ф = ф -|-

0 следует і[) = 0;

b) а 0

=

0 ;

c)

Оф = 0

(здесь О обозначает число нуль);

d)

(—1) ф =

—ф ;

e)

если аф =

ßcp

и ф ф 0 ,

то а = ß;

d)

если аф =

а\|>

п а =/= 0,

то ф = ф.

З а д а ч а

1.3.2.

Доказать,

что линейное подпространство И

ством .

З а д а ч а

1.3.3. Показать,

что пересечение ^ любого семей­

ства линейных подпространств линейного пространства V — также

линейное подпространство V .

З а д а ч а

1.3.4. Показать,

что функция £ (Оі заданная выра­

Пусть

— некоторое

множество.

.

ПоследовательV

­

ность {срѵ} называется

последовательностью в W ,

если все

Множество

ее элементы

принадлежат

называется

пространством с секвенциальной

сходимостью

°}У

, если:

W;введено

правило,

по которому

в

выбираются

не­

которые последовательности,

называемые

сходящимися

в

каждой такой последовательности ставится в соответ­

W',

называемый

пределом

этой

ствие некоторый элемент в

последов ательности;

Ѵ'

выполняются три первые из перечисленных ниже ак­

сиом.

При

этом если {срѵ}

— сходящаяся в

последова­

тельность и ср — ее

предел, то

мы будем

говорить,

что

«{срѵ}

сходится в

V

к ср», и будем записывать это в виде

«{ср„ ->- ср в

V

при V

оо»

или

«lim срѵ

=

ср в

Ѵ»-

V —

‘‘ІУ

1.

Для

любого элемента ср е=

последовательность

{ср, ср,

ср,. .

.}

сходится в

к ср.

единственный предел, т. е. если

ср„ ср в

ТУ

и срѵ

ф

в

ТУ,

то ср =т|).

Понятие сходимости может быть следующим образом

распространено на направленное

множество

ТУ{срѵ}ѵ_ а,

где

числовой индекс ѵ стремится к

некоторому пределу

а.

Мы будем говорить, что {срѵ}ѵ-а сходится в

к пределу

{фѵ JfcLi при

v h

а,

которая содержится в (фѵ}ѵ_а,

ъ Ѵ '

V*

линейным

пространством с

Семейство

называется

секвенциальнойсходится

ксходимостьюф.

является одновре­

, если оно

дующим

дополнительным

аксиомамѴ'

.

V

4. Если {фѵ}

сходится в

V*

к

Ѵ*к ф и {грѵ} сходится в

ф, ТО

{фѵ +

фѵ}

сходится

в

к

ф + ф.

5.

Если

{ф„}

сходится

в

к ф и последовательность

комплексных

чисел

{аѵ}

сходится

в обычном

смысле

к

комплексному

числу а ,

то

{аѵфѵ} сходится в

V

к

осф.

Наконец,

V*

будет называться

линейным пространст­

,

если в дополнение к

вом с секвенциальной ^-сходимостью

V

пяти сформулированным аксиомам выполняется еще одна.

5.

Если фѵ не сходится к ф в

при ѵ -> оо,

то суще­

ствует такая

подпоследовательность {ф^} из {фѵ}, что лю­

бая подпоследовательность

{Ѳ>.} из {ф^} не сходится

в

V 1

к ф при

X —у

оо.

П р и м е р

1.4.1. Рассмотрим линейное пространство Sb,

опре­

деленное

в примере

1.3.2.

Последовательность

будем

бование, чтобы предел принадлежал Я),

нарушено.

З а д а ч а 1.4.1. Проверить, что Я

удовлетворяет

всем акси­

омам

линейного пространства с секвенциальной »-сходимостью,

если

сходящиеся последовательности определены как

в приме­

мостью, ассоциированные2Т

с мультинормамиПолунормой, рассматри­

ваются в последующих пунктахср), .

.

на

2?

Пусть

— линейное2Упространство(

называется

правило

у

ставящее(ср

в

соответствие

каждому

элементу cp GE

действительное число и удов­

летворяющее

следующим

аксиомам

и

ф

обозначают

произвольные

элементы

2У,

ос

— любое

комплексное

число2.

)у.

(ср +

ф)

<

у (ср) +

у (ф).

1.

у

(ссср)

=

I

а I у (ср),

Выбирая а

=

0 в аксиоме 1,

мы видим, что

у

(0 )

= 0.

Далее,

0

= у (ср

—дляср) <всеху (ср) +

у ( —посколькуср) = 2 у (ср).

у

(ср)

>

0

ср е

V ,

Если

одним

свойством

является

справедливость

не­

равенства

I у

(ср) — у (ф)

I <

у (<р — ф),

(1)

У

(ф) <

У

(ф — Ф) +

У

(Ф) и у ( ф )<

у

(ф — Ф) +

у

(ф].

Полунорма

называется

нормой

при выполнении еще од­

ной

аксиомы:

0

то ф =

0

(т. е.

0

— нулевой

эле­

3.

если у (ср) =

,

мент в #").

Если

а

— положительное число, то мы определим сим­

вол

ау

ау

)

(q;) ~

ау

(ф).

Очевидно,

что

ау

формулой (

также

полунормаУп

. Если {ух, . . . ,

у „} — конечное

семей­

ство

полунорм

на

то

мы

определим

полунорму

Уі +

• • •

+

формулой

(Y + • ■ ■ +

Уп)

(ф)у= Тг (ф) + • • • +

Уп

(ф)-

i

max

(уу-,, .

. ,

п)

определяется

выражением

Полунорма

к

[max

(v j, . .

.

,

п)]

(ф)

max

(ф), . . . ,

уп

(ф)].

То, что эти выражения действительно являются полунор­

мами,

вытекает непосредственно из аксиом 1

и 2.

Кроме

того,

если одна из полунорму

уѵ

С1У

является нормойэквивалентны, то тогда­

Уі +

. . . +

у п

и

max

(у^

. . ., у„)

— также

нормы.

ми,Две

полунормы

иЬ,р на

называются

аУ

если существуютby

два такие

фиксированные положи­

тельные

числа

а

и

что для

всех

ф

е У

мы имеем

(ф) ^

Р (ф) ^

(ф). Следовательно,

ух +

. . .

+

уп и

max

(у2, . . . ,

у п)

эквивалентны,

так

как

max

[ух (ф),

. . . ,

у„ (ф)] <

Уі

(ф) п+

. . +[уху„ (ф) <

у„

(ф)].

Пусть теперь

S

<

max

(ф), . .

. ,

=А {. уДцед обозначает семейство полу­

нормщим

на

V

,

причемотделяетиндексW),р пробегает конечное или бес­

S

конечное множество

Семейство

S

называется

отделяю­

элемента

Ф ¥=

(или

найдется

по

если

для

любого

S

0

в ^

крайней мере одна полунорма

Уі^, такая, что у^ (ф)

0. Другими словами, семейство

является отделяющим, если все полунормы обращаются

в нуль только на нулевом элементе пространства 2^. В этом

случае мы называем

S

мулътинормой.

Очевидно, что для

y k

того

чтобы

S

было

отделяющим,

достаточно,

чтобы

по

крайней

мере одна из

полунорм

была нормой.

Если

S

— счетное

отделяющее

семейство

полунорм,

то

оно