определение связано с |
преобразованием |
Фурье и имеет |
следующий |
вид: |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
§ ', |
|
О п р е д е Lл е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(£)ТвЕЕ |
|
3.F Пусть^g е= 25',(x),а е-(|Л |
|
|
|
|
при всех |
у ЕЕ В , |
|
В |
Фурье— некотораяЛапласаобласть в |
Л п. |
преобразованиемгде |
|
на |
Тогда / (z)g;= |
|
[g] (z) = |
|
[е~(у' |
(£)] |
|
|
|
где z e |
|
|
|
зывается |
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
обобщенной |
функции |
|
при этом преобразование Фурье |
|
F |
[•] |
пони |
мается в смысле |
рассматриваемого |
класса |
|
|
|
|
|
с |
|
Покажем, нто для |
функций |
это определение совпадает с определениемХа |
2. Пусть |
g |
|
ее |
8 |
|
и |
supp g а |
F а |
при некотором |
а. |
Пусть |
Ха |
(|). |
— некоторая |
|
|
|
|
|
|
|
§ |
приводящаяg |
функция; |
тогда |
|
(|) е~Сѵ' Е)6 |
І |
|
при |
|
всех |
г/ ЕЕ С |
и является мультипликатором в |
|
Очевидно, что |
|
5) |
(£) €Е 2)', и справедливо равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(е-(іу, E)g- (£), ф (I)) = |
(g |
(£), |
Х а |
({•) |
ertV’ |
Е) ф (£)), |
Ф е |
|
25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Но в силу сказанного выше правая часть этого равенства определяет обобщенную функцию из § ', которая являет ся расширением обобщенной функции е~^'^ g(%). Так как 25 плотно в $ , то это расширение однозначно и не зависит от выбора приводящей функции Х а. Таким образом, для g определено преобразование Фурье — Лап ласа
|
|
|
|
|
|
|
fs |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
g] X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
ЕЕ С |
и Ф ЕЕ § |
имеем |
|
|
|
|
|
причем при любом (z) = |
|
|
g |
|
|
( |
), |
|
|
|
|
|
|
(fs(x, |
у ) , |
Ф |
{х)) |
|
= |
{F |
|
|
|
|
|
(I)] |
(ж), |
ф(ж)) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( e -[«-<"> *> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
^ V g ( t ) , |
П ф і© ) . |
|
|
|
|
|
|
интегральнуюПростыми оценкамисумму длялегкофункциидоказать |
через |
|
|
пустъ |
|
П р е д л о ж е н и е |
|
|
6. |
|
Обозначим |
■S8 (ф (а;)) |
|
|
|
|
|
|
|
ф (z) Е |
|
ф |
(х) |
Е § . |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ф (х) dxj ф (|) —> 0 |
в § |
при б -*• 0. |
|
|
еі(-х< |
|
|
|
|
|
|
е'(х’ |
|
[iSg ( 5)ф (х)) — ^ |
|
|
|
|
|
Используя это предложение, получим |
|
|
|
|
|
11з (ж, У), Ф (х)) |
= |
(e-fo* ^ g |
(І), 5 еі(л'' 5)ф {*) d x ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(g (6), |
Ха |
(6) |
е-(ѵ< |
5) 5 |
|
Оф (х) |
dx) |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
$ |
(g |
(6). |
К |
(I) е1 |
|
|
|
( x ) d x = \ f ( x |
|
+ iy) |
ф |
(х) dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(г-«) Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
всех |
у |
е |
С |
и ф е |
25Таким образом, |
fs |
(z) и / (z) |
совпадают как |
обобщенные |
функции |
из |
25'. |
|
Поскольку |
/ (z) |
и (как |
это |
можно |
|
показать) |
fs |
(z) — голоморфные |
в |
Т с |
функции, |
то |
fs |
(z) = |
|
/(z). Отсюда следует, что спра |
ведлива |
|
|
Пустъ g |
|
|
|
u supp |
g а |
F а |
|
при неко |
|
Л е м м а |
3. |
е= §' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тором а {т. е. g ЕЕ. Sc)- |
Тогда ее преобразования Лапласа |
в смысле определений |
2 и 3 |
совпадают и имеет место равен |
ство |
F [е<и>Ъ g |
|
|
(g |
(g), |
|
|
z e |
|
|
T °, |
|
|
|
|
|
|
(I)] (а,) |
= |
|
|
|
|
|
|
где преобразование Фурье слева понимается в смысле
3.Обращение преобразования Лапласа
Оп р е д е л е н и е ^ Пусть С — открытый острый вы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пуклый |
конус |
в Л п |
с вершиной |
в |
|
нуле. |
Назовем |
Н с |
|
Т с |
пространство, состоящее из всех |
|
голоморфных в |
|
функцийI |
|
/I (z),Мудовлетворяющих оценкеI |
|
z |
|
Т с’ |
|
|
/ |
(Z) |
< |
{С’) |
(1 + | z Ь (1 + |
у |
и |
|
|
е= |
|
для любого конуса |
С', |
компактного в конусе |
С, |
при неко |
торых |
р |
и а, не зависящих от |
С'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из результатов предыдущего пункта следует, что пре |
образование Лапласа |
отображает |
Sc |
в |
Н с- |
В этом пункте |
|
|
|
мы построим обратное отображение. |
Прежде всего |
отме |
тим, |
что справедлива |
|
|
|
[3], |
стр. |
275; |
Тильман |
Т е о р е м а |
1 |
(Владимиров |
|
|
Пустъ функция |
f |
голоморфна в трубе TGr |
= J?n + |
iCR, |
где |
C R = {у |
е |
С |
: | |
у |
| |
< |
R } , |
С |
— |
связ |
|
|
|
R (z) |
|
|
|
|
|
|
[11])ный . |
открытый |
конус, |
0, |
и удовлетворяет оценке=: |
|
|
I/ (z) I < |
М {CR.) |
(1 + |
|
|
|
|
2 G |
т0’* ’ |
|
|
|
|
|
|
|
I* |р) I У И , |
|
|
|
|
|
|
для любого конуса С ' (с. С и числа R ' , 0 < R ' <Е R , при некоторых р и д, не зависящих от выбора С ' и R '. Тогда в § ' существует (единственное) граничное значение
|
f (х) |
= |
lim |
f(x + iy) |
е |
§(m)', |
т = р + |
q + |
п + |
3, |
не |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ->о. /еС' |
|
|
|
конус |
С ' (с С |
|
зависящее от выбора конуса С '. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Фиксируем |
и число |
R ', |
О |
<E R ' < R - |
Пусть / (z) — произвольная фун |
кция, удовлетворяющая |
условиям теоремы; рассмотрим |
Из последнего равенства и оценки для /ч+1 (я, со, t) по лучим
I(/®і. Ф) I< |
QM q+11(со, Ѵ*)«+і ср IР + П + 2 + |
Л |
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = p - \ - n + |
|
II |
q + |
|
|
ср |
|
|
М |
• |
ср ||р Hi-Hj+Si |
|
|
|
|
|
|
+ |
1 = 0 Nt• M o • |
|
(со, |
V *)' |
||р+п+2 < |
|
ф Ё § , |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничено |
откуда следует, что множество |
|
|
в |
$(т )', |
при |
|
|
|
теперь |
ср e |
3. |
= |
|
F [ S l ; |
|
тогда |
|
|
|
|
у |
|
|
|
(Пусть |
|
Ä |
|
|
|
|
ср (z) — целая |
функция |
|
и |
|
хпри |
|
|
|
любом |
|
фиксированном |
|
|
|
|
I ср |
х |
+ |
iy) |
I |
стремится |
к |
0 |
|
при | ж | |
— |
оо |
|
быстрее |
лю |
бой степени |
| |
|
| -1. |
В |
силу теоремы |
Коши — Пуанкаре |
отсюда= следует, |
что |
|
|
|
^ |
|
/ (z' + |
|
|
|
Ф (z') |
|
|
c p e ^ |
Uv, Ф ) |
|
|
iy)y(x)dx |
= |
|
|
іу) |
dz', |
= |
\f (x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im z'=y' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для любого допустимого |
у' |
е |
С ' |
и любого |
у |
|
C r ', |
при |
чем интеграл |
|
справа |
не Сзависит' . |
|
|
у' |
|
е= |
|
С' . |
Очевидно, |
|
от2L |
|
|
|
|
|
последпее |
выражение |
имеет |
|
предел |
|
при г/ |
—>0, |
|
С', |
не зависящий от выбора |
|
|
|
Далее, |
|
|
|
плотно |
в |
8, |
и |
§ |
плотно в §(р> при всех |
р |
> |
|
0, |
так |
что |
|
§ |
|
плотно |
в |
§(">). |
|
Таким образом, мы показали, что множество |
Л |
ограни |
чено |
в банаховом |
пространстве §(тп)' |
и |
|
имеет |
предел на |
плотном множестве |
|
2g |
при |
|
у |
->0, |
у |
|
е |
|
С |
, |
|
не зависящий |
от выбора |
С . |
Отсюда в силу теоремы Банаха — Штейн- |
хауса следует, что существует функционал |
/ |
§(т )' |
такой, чтоl i |
|
|
(/ |
+ |
|
|
іу), |
ср (г)) |
|
= |
(/ (ж), |
ср (ж)), |
|
ср е |
§ |
( т >. |
|
|
|
|
m |
|
|
{ х |
|
|
|
|
|
|
|
|
У—*0, 1J<=C'
Так как пространство § совершенно, то отсюда сле дует, что / (х + іу) -» / (ж) по норме при у -* 0 в некото ром §<')', I т, что и требовалось доказать.
П р е д л о ж е н и е 7. Пустъ f (z) удовлетворяет ус ловиям теоремы 1 и
g R & y ) = $ |
R > 0, у е с . |
|.х|<Д
Тогда: 1) в 3)' существует lim gR (g, у) = g {|), не зава-
R -+ 0 0
