Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 178
Скачиваний: 1
Ф . П . Васильев
Лекции
по методам решения экстремальных
задач
Издательство М осковского университета
1 9 7 4
I
ж
' у |
у д к |
Книга написана по материалам лекций, прочи танных автором студентам факультета вычисли тельной математики и кибернетики, и содержит основы наиболее часто используемых на практи ке методов приближенного решении задач мини мизации функций и функционалов, теоретическое исследование и краткую характеристику вычисли тельных аспектов этих методов. В первой части книги рассматриваются методы минимизации функций одной и нескольких переменных, во вто рой — методы минимизации функционалов, опре деленных на решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений, разностных урав нений, а также уравнений с частными производ ными. Большая часть материалов ранее в учеб ной литературе не излагалась и встречается лишь в журнальных статьях и монографиях, трудных для восприятия при первом знакомстве с пред метом.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов, спе циализирующихся по вычислительной и приклад ной математике, на научных сотрудников и инже неров, которым приходится иметь дело с вопро сами минимизации функций и различными зада чами оптимального управления.
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета
Рецензенты:
Кандидаты физ.-матем. наук В. Г. |
К а р м а н о в , |
М. С. Н и к о л ь с к и й , II. X. |
Р о з о в |
(С) Издательство Московского 7пиверситета, 1974 г.
О Г Л А В Л Е Н И Е
П р е д и с л о в и е ................................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||
Г л а в а |
1. |
Минимизация функций одной переменной |
............................... |
|
|
7 |
|||||
§ |
1. |
Постановка |
з а д а ч и ..................................................................... |
|
|
|
|
7 |
|
||
§ |
2. |
Задачи А и Б. Строго квазивыпуклые функции |
. . |
. . |
8 |
||||||
§ |
3. |
Оптимальный пассивный поиск в задачах А и Б |
. |
.. . |
11 |
||||||
§ |
4. |
Последовательный |
п о и с к ........................................................... |
|
|
|
|
16 |
|
||
§ |
5. Метод деления отрезка пополам................................................ |
|
|
18 |
|
||||||
§ |
6. |
Оптимальный последовательный поиск для задачи А |
|
20 |
|||||||
§ |
7. |
Оптимальный последовательный поиск для задачи Б |
. |
27 |
|||||||
§ |
8. |
Метод золотого . с е ч е н и я ........................................................... |
|
|
|
|
32 |
|
|||
§ |
9. |
Метод л о м а н ы х ...................................................... |
|
|
|
|
|
|
35 |
||
§ |
10. |
Выпуклые функции. Метод к а с а т е л ь н ы х ................................................ |
|
|
|
38 |
|||||
§ |
11. |
М е т о д 'п а р а б о л ...................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
44 |
||
§ |
12. |
О некоторых |
других методах |
м и н и м и зац и и ....................................... |
|
|
47 |
||||
Г л а в а |
2. |
Минимизация |
функций многих |
п е р е м е н н ы х ........................................ |
|
|
51 |
||||
§ |
1. |
Постановка |
задачи. |
Обозначения. Вспомогательные сведения |
51 |
||||||
§ |
2. |
Градиентный |
м е т о д .......................................................................... |
|
|
|
|
65 |
|
||
§ |
3. |
Метод проекции г р а д и е н т а ......................................................... |
|
|
|
|
72 |
|
|||
§ |
4. |
Метод возможных направлений |
....................................... |
|
: • . |
|
77 |
||||
§ |
5. |
Метод проекции опорных ф у н к ц и й .......................................... |
|
|
84 |
|
|||||
§ |
6. |
Метод условного г р а д и е н т а ......................................................... |
|
|
|
|
96 |
101 |
|||
§ |
7. |
Метод сопряженных градиентов |
|
........................................................... |
|
|
|
||||
§ |
8. |
Метод Н ь ю т о н а |
.............................................................................. |
|
|
|
|
107 |
|
||
§ |
9. |
Метод штрафных ф у н к ц и й ......................................................... |
|
|
|
|
117 |
|
|||
§ |
10. Теорема Куна |
— Т а к к е р а ............................................................................. |
|
|
|
|
|
121 |
|||
§ |
11. |
Элементы линейного п р о гр ам м и р о ван и я ............................................. |
|
|
|
131 |
|||||
§ |
12. О методе случайного поиска и некоторых других |
методах . |
148 |
||||||||
Г л а в а |
3. Принцип максимума Л. С. П о н ..............................................т р я г и н а |
|
|
|
155 |
||||||
§ |
1. |
Постановка задачи |
оптимального .................. |
у п р а в л е н и я |
|
155 |
|
||||
§ |
2. |
Формулировка принципа максимума Л. С. Понтрягина |
. . |
159 |
|||||||
§ |
3. |
Приближенное |
решение краевой |
|
задачи принципа |
максимума |
168 |
||||
§ 4. |
Связь между принципом максимума ..и классическим вариаци |
|
|||||||||
|
|
онным и с ч и с л е н и е м .................................................................... |
|
|
|
|
177 |
|
|||
Г л а в а |
4. |
Динамическое |
программирование. |
Проблема |
синтеза . |
|
181 |
||||
§ |
1. Схема Р. Веллмана. Проблема синтеза для дискретных |
систем |
181 |
||||||||
§ |
2. |
Схема Н. Н. |
М о и с е е в а ..................................................................................... |
|
|
|
|
|
191 |
||
§ |
3. |
Дифференциальное |
уравнение Р. |
Веллмана |
. . . |
' . . |
198 |
||||
§ |
4. |
Проблема синтеза для систем с непрерывным временем. Оцен |
|
||||||||
|
|
ка п о г р е ш н о с т и ........................................................................... |
|
|
|
|
203 |
|
|||
Г л а в а |
5. Достаточные |
условия оптимальности ............................................. |
|
|
|
213 |
|||||
§ |
1. |
Достаточные условия оптимальности для задач с закрепленным |
|
||||||||
|
|
временем................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
213 |
|
§ |
2. |
Достаточные условия оптимальности для задач с незакреплен |
222 |
||||||||
|
|
ным в р е м е н е м .............................................................................. |
|
....... |
|
|
|
. |
|||
§ |
3. |
Достаточные условия оптимальности для дискретных управляе |
|
||||||||
|
|
мых систем. Оценка п огр еш н ости ......................................... |
|
|
227 |
|
|||||
Г л а в а |
6. Методы минимизации в функциональных пространствах |
. . |
232 |
||||||||
'§ |
1. |
Вспомогательные с в е д е н и я ............................................................................. |
|
|
|
|
|
233 |
|||
§ |
2. |
Некоторые методы минимизации |
|
функционалов . |
. |
. . |
247 |
||||
§ |
3. |
Задача оптимального управления со свободным правым концом |
257 |
§ |
4. |
Градиент функционала, связанного с |
дискретной |
управляемой |
|
|||||||||
|
|
системой. Условия оп ти м альн ости |
......................................... |
|
|
|
|
273' |
|
|||||
§ |
5. |
Минимизация квадратичного |
функционала. |
Примеры . |
. |
. |
284 |
|||||||
§ |
6. |
Оптимальное управление процессом нагрева |
стержня . |
. |
. |
294 |
||||||||
§ |
7. |
Оптимальное |
управление |
процессом |
колебания струны |
. |
. |
300' |
||||||
Г л а в а |
7. |
Методы решения |
задач |
б ы ст р о д е й ст в и я ................................. |
|
|
308 |
|
||||||
§ |
1. |
Постановка |
з а д а ч и ........................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
308- |
|
||
§ |
2. |
Вспомогательный |
аппарат. |
Критерии |
управляемости и |
опти |
314 |
|||||||
|
|
мальности |
............................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
3. |
р-метод.............................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
321 |
|
§ |
4. |
П р и лож ен и я......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
327' |
|
|
Г л а в а 8. |
Регуляризация некорректно поставленныхэкстремальных |
задач |
337 |
|||||||||||
§ |
1. |
О некорректно |
поставленных задачах минимизации . |
. |
|
337 |
||||||||
§ |
2. |
Метод регуляризации А. Н. Тихонова |
|
............................................. |
|
|
|
339 |
||||||
§ |
3. |
Регуляризация при вычислении с погрешностями |
. . |
. . |
349 |
|||||||||
§ |
4. |
Регуляризация с помощью аппроксимации множества |
|
|
351 |
|||||||||
§ |
5. |
Усиленная регуляризация |
|
. ' .................................................. |
|
|
|
|
|
353- |
|
|||
Г л а в а |
|
9. Разностные |
аппроксимации |
задачоптимального управления |
35S |
|||||||||
§ |
1. |
Разностная |
аппроксимация |
для одной |
задачи |
минимизации |
|
|||||||
|
|
квадратичного |
ф у н к ц и о н а л а .................................................. |
|
|
|
|
|
355- |
|
||||
§ |
2. |
Разностная |
аппроксимация |
задачи |
об |
оптимальном нагреве |
|
|||||||
|
|
с т е р ж н я .................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
361 |
|
Л и т е р а т у р а ........................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
364 |
|
П р е д и с л о в а е
В |
последние |
десятилетия весьма актуальными стали |
вопросы нанлучшего |
(в |
т.ом или |
ином смысле) управления различными |
процессами физики, |
техники, экономики и др. Сюда относится, например, задача опранизации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных
•затратах ресурсов; задача управления системой гидростанций и водо хранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии; задача о космическом перелете из одной точки пространства в другую наибыстрейшим образом или с наименьшей затратой энергии; задача о быстрейшем нагреве печи до заданного температурного режима и многие другие задачи. К таким проблемам приводят также многие задачи вычис лительной математики, как, например, задача наилучшего приближения функций, задача минимизации невязки уравнения и др.
В математической постановке задачи сводятся к отысканию экстре мума (максимума или минимума) некоторой функции или функционала J(u ), выражающего собой качество (цену) управления и из заданного множества U некоторого пространства. Требование принадлежности управления и некоторому множеству U выражает собой ограничения, обычно вытекающие из ограниченности наличных ресурсов, возможностей технической реализации управления, нежелательности каких-либо запре щенных (аварийных) состояний и т. п. Задачи отыскания экстремума функционала J (и) на множестве U принято называть экстремальными за дачами. Заметим, что задача максимизации функционала J(u) на множе стве U эквивалентна задаче минимизации функционала —J (и) на том же множестве U, поэтому можно ограничиться рассмотрением задач мини мизации.
С 50-х годов теория экстремальных задач обогатилась фундамен тальными результатами, потребности практики способствовали бурному развитию методов приближенного решения экстремальных задач.
В основу настоящей книги положен курс лекций по численным мето дам решения экстремальных задач, который автор в течение ряда лет чи тает студентам 3—4-го курса факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета. В книге изложены основы наи более часто используемых на практике методов’ приближенного решения экстремальных задач, теоретическое обоснование и краткая характеристи ка этих методов. Содержание книги можно разделить на две части. К первой относятся две первые главы, где рассматриваются методы мини-, мизации функций конечного числа переменных, во второй части — методы минимизации функционалов, заданных на множествах из функциональных (в основном гильбертовых) пространств н связанных с процессами, опи сываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнениями с частными производными.
Заманчиво было изложить методы минимизации в общем виде на языке функционального анализа в первой же части лекций, охватив при этом как частный случай многие методы минимизации функций конечного числа переменных и различных других классов функционалов. Однако
такой способ изложения, несмотря на свою привлекательность и удобства для читателя-знатока, видимо, все же труден для первого знакомства с предметом, не говоря уже о том, что он не может отразить всю специфику конечномерных задач.
Таким образом, принятое в книге расположение материала объяс няется стремлением автора, с одной стороны, сделать книгу доступной читателям, владеющим математикой в объеме программ технических вузов п желающим впервые ознакомиться с теорией и методами решения экстре мальных задач, с другой стороны, сохранить математическую строгость изложения. По этой причине материал, требующий для своего полного усвоения знаний элементов функционального анализа, излагается в более поздних главах книги. Заметим, впрочем, что отсутствие знаний по функ циональному анализу не будет мешать пониманию и усвоению излагае мых в этих главах основ методов и иллюстрирующих их конкретных при меров экстремальных задач, если только читатель будет готов некоторые утверждения принять не в их максимально общей форме.
Многие параграфы завершаются упражнениями, помогающими усво ить содержание основного текста и дополняющими его. Объем книги заставил автора ограничиться лишь небольшим количеством примеров экстремальных задач, иллюстрирующих описываемые в книге методы. Список литературы, приводимый в конце книги, никак не может претен довать на библиографическую полноту и не имеет целью отразить исто рические аспекты и чей-либо приоритет в рассматриваемых вопросах, а содержит лишь те работы, которые были непосредственно использованы в книге или близко примыкают к ней, дополняя ее содержание.
Нумерация формул, теорем, лемм, определений, упражнений в каж дом параграфе самостоятельная; ссылки на материалы, расположенные в
пределах данного |
параграфа, |
имеют |
вид (А), вне |
данного |
параграфа, |
но |
в пределах данной |
главы — |
(В, А) |
вне данной |
главы — |
(С. В. А), |
где |
С — номер главы, В — номер параграфа, в котором находится упоми наемая формула, теорема или другой материал с номером А. Так, напри мер, теорема 3 из § 1 главы 2 в пределах данного § 1 именуется просто теоремой 3, в других параграфах 2-й главы — теоремой 1.3, в других главах — теоремой 2.1.3. Аналогично, при. ссылках на § В главы С в пределах главы С этот параграф будет именоваться просто § В, вне гла вы С — § С. А. Значок А в тексте означает окончание доказательства теорем, лемм.
Автор выражает глубокую благодарность академику А. Н. Тихонову
за внимание |
и поддержку при |
написании книги, |
В. Г. Карманову, |
М. С. Никольскому, Н. X. Розову, прочитавшим книгу |
в рукописи и сде |
||
лавшим ряд |
ценных замечаний, |
И. С. Березину, взявшему на себя труд |
по научному редактированию книги и своими советами способствовавшему улучшению содержания книги, устранившему многочисленные погрешности изложения. Автор весьма признателен В. Г. Курилову, В. И. Селиверсто
вой, А. С. |
Стрекаловскому за |
большую помощь в подготовке |
рукописи |
к изданию. |
|
|
|
Автор |
будет благодарен |
читателям за все замечания по |
содержа |
нию книги. |
|
|
|
Г л а в а 1
Минимизация функций одной переменной
|
|
§ |
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
||||
Пусть на |
множестве |
U— {и : а ^ .и ^ .Ь } |
числовой оси, |
где а |
и |
|||||||
b — заданные |
числа, |
— о о ^ а < & ^ )-(-о о , |
определена |
|
функция |
|||||||
/(и). Под задачей минимизации функции /(и) |
на |
множестве |
U |
|||||||||
будем понимать следующее: |
1) найти </* = |
inf J |
(и); |
2) |
если на |
U |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
u£U |
u *^ U , |
|
|
|
|
нижняя |
грань достигается, |
то |
найти точку |
в |
которой |
|||||||
J ( u * ) = J * ; 3) |
если нижняя грань не достигается на |
U, то указать |
||||||||||
последовательность и0, щ, |
..., |
uk, |
u ^ U |
(k — 0, il, |
...) |
такую, что |
||||||
lim J (uk) = J*. |
Точку |
|
со свойством J (и*) = |
J* |
называют точ- |
|||||||
&—*oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кой минимума J (и) на U, а последовательность |
{uh} ^ U |
со свой |
||||||||||
ством: |
lim J (uk) = J" называют |
минимизирующей последователь- |
||||||||||
k-*oo |
|
|
на U. |
|
|
|
|
|
|
|
||
ностью для функции J (и) |
|
|
|
|
|
|
|
Что нам известно из классического математического анализа о методах решения этой задачи? Допустим, что /(и) кусочно-непре рывная и кусочно-гладкая функция на U. Тогда, как известно [126], минимум J (и) на U может достигаться лишь в тех точках ы е!7, в которых или J ' { u ) = 0, или J'(u) не-существует, или J (и) терпит разрыв, или же, в точках, являющихся граничными для множества U. Такие .точки принято называть точками, подозрительными на минимум. Если точки, подозрительные на минимум, найдены, то среди них нужно выбрать те, в которых в самом деле достигается минимум. Для этого обычно исследуется знак производной J'(u ) в окрестности подозрительной точки или знак второй производной J " (и) в этой точке, если J"(u) существует. В результате такого отбора определяются точки, в которых достигается, вообще говоря, лишь локальный минимум J (и) на U. Чтобы найти абсолютный минимум /(и) на U, остается перебрать все точки локального ми нимума и из них выбрать точку с наименьшим значением функции, если таковая существует.
Описанным способом поиска минимума можно воспользовать ся во всех тех случаях, когда функции и ее производные имеют достаточно простой вид, и без особых трудностей удается реали-
7