Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 1
12 |
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ о д н о й ПЕРЕМЕННОЙ |
[Гл. 1 |
ик- ь «ft, «ft+1 локализуют точку минимума); 3) имеется правило, по которому одна из точек «* €[«ft-i, «fc+i] принимается в качестве
приближенного значения для и*. Поиск минимума, осуществляе мый с помощью пассивной4 стратегии, будем называть пассивным поиском [230].
Возьмем две пассивные стратегии Р п= { « {} и Рп = {«;} на [а, Ь]. Какая из этих стратегий лучше? Как их сравнивать? При от
вете на эти вопросы будем различать задачи А и Б. |
|
|
|
|
||||
1. |
Начнем с задачи А. |
Пусть для некоторой функции / (ы |
||||||
e Q *[a , b] с помощью пассивной |
стратегии Р „ = { « £} |
(i— 1, |
..., |
п) |
||||
среди точек |
{« ,}е [« , Ь] выбрана точка uk, J (uk) = m in / («£) |
и от- |
||||||
резок [«ft_i, |
«ft+i], содержащий точку и* |
минимума /(«) |
на [а, |
Ь]. |
||||
В задаче А в качестве приближения к и* |
принимаем точку |
и* = |
uk, |
|||||
допуская при этом погрешность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I и ” — и п I < т а х { “ *+1 ~ |
ы«> «ft — « ft - i} . |
|
|
|
|
||
Очевидно любой другой выбор |
и* с вычисленным |
J |
(«*) |
для |
некоторых функций из Q*[«, b] приведет к большей погрешности. Для любой фиксированной стратегии Р„ ={«,•} нетрудно указать функцию / (« )e Q *[a , b], для которой отрезок [«л_ь «/i+i], содержав ший точку и[*, будет совпадать с любым из наперед взятых от
резков [«,--1, «i+i] |
( i = l , 2, ..., п) и погрешность \и* — «*| будет как |
|||||
угодно |
близкой |
к шах{«,-+1— «,-, «£— «£_ 1} |
(например, если |
|||
шах {«,+1— щ, iii— «i_i} = |
«,+1— щ, то можно взять |
|
|
|||
|
— « -!- «i+i— 8 при « ^ « i+i— 8, |
|
|
|||
|
J g («) — |
|
Щ-\) (и — ui+1 - f e) |
при |
« > |
«i+i— e, |
|
-J- («t+1 ~ |
|||||
где e |
достаточно |
малое |
положительное |
число). |
И поскольку |
заранее неизвестно, какой из отрезков [«i-i, «,-+i] содержит и*, мы вынуждены рассчитывать на самую «неудачную» функцию / ( « ) е
^ Q*[a, b] и в |
качестве гарантированной на Q*(a, 6] |
точности в оп |
||
ределении и* |
с помощью стратегии Р п должны взять максималь |
|||
ную из возможных погрешностей; |
|
|
||
шах ш ах{ « £+1 — «,, u£ — uC- i } = |
max {«£+, — и£) = |
L„ (Р , Ь — а). |
||
Величина |
Ln (Рп, Ь — а) от |
/ (« )e Q * [a , b] не |
зависит и ха |
|
рактеризует стратегию Р п на классе функций Q *[a, Ь]. |
||||
Теперь естественно считать, |
|
что пассивная стратегия Р п луч |
||
ше другой пассивной стратегии |
РП, если |
|
||
|
Ln(Pn>b — a) |
<^L„(Pn, Ь— а). |
|
§ 3] |
Оптимальный пассивный поиск в задачах А и Б |
13 |
■Обозначим
Ln (b — а) = inf Ln(Pn, b — a),
рп
где нижняя грань берется по всем пассивным стратегиям.
■ О п р е д е л е н и е 2. |
Пассивную |
стратегию |
Рп |
назовем |
опти |
||||||
мальной для задачи А, если Ln (Ь— а) = Ln {Рп>Ь— а). |
|
||||||||||
Т е о р е м а |
1. Для |
задачи А при всех |
1 |
оптимальная пас |
|||||||
сивная стратегия существует, единственна и имеет вид |
|
||||||||||
|
|
°п = Jt»i = а |
■ Ь— а . . |
уП |
|
|
|||||
|
|
I |
, |
I |
1 , ••• |
|
|
||||
|
|
|
|
а + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего, |
очевидно Ln(Pn, Ь— а) = |
||||||||||
_= ь |
а д дя |
любой другой |
пассивной |
стратегии P n= W i} : я = |
|||||||
п |
1 |
— < « n ^ « 7i+i = Ь всегда |
|
|
|
отрезок [ии, |
|||||
i= « o ^ « i< U 2< |
найдется |
||||||||||
■Wft+i] длины Uft+i— uk > |
° |
• и®° |
в |
противном |
случае |
сумма |
|||||
длин всех отрезков [«i, |
щ+{\ |
(f = 0, |
1, |
..., |
п) будет меньше длины |
||||||
отрезка [а, b]. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ln (Р„, Ъ — а) = |
шах {«i+i — и£} > |
Ь ~ а |
|
|||||||
|
|
|
|
О<£<п |
|
|
|
п |
+ 1 |
|
|
для любой пассивной стратегии Р ц, |
причем равенство здесь дости |
||||||||||
гается только при Рп = Рп. А |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Теперь перейдем к задаче Б. Пусть с помощью пассивн
стратегии |
P n= W i} |
для некоторой функции / (u )eQ *[a, |
Ь] найден |
||
отрезок [Uh-u иь+ij, |
содержащий точку и* минимума J (и) |
на [а, Ь]. |
|||
В задаче Б значение J (и*) нас не интересует, поэтому в качестве |
|||||
приближения к и* |
можем |
взять и* = — (ы*—i + |
Uk+\), |
допуская |
|
при этом |
погрешность \и* — |
— uk-\) |
(любой другой |
||
выбор и* |
может |
привести |
к увеличению погрешности |
при соот |
ветствующем выборе J(u )^ Q *[a, b]). Эта погрешность зависит от
выбора стратегии Р п и функции / (n )eQ *[a, Ь]. |
Для любой фик |
|||
сированной пассивной стратегии Р п= { щ } |
нетрудно указать функ |
|||
цию / (« )e Q *[a , |
b), для которой отрезок [«й_ ь |
содержащий |
||
точку «*, |
будет |
совпадать с любым из наперед |
взятых отрезков |
|
[Ы{-ь Щ+1] |
( i = l , |
ti), и погрешность lu |
— ипI |
будет как угодно |
•близкой к |
— («£+1 — tii—i) (см., например, |
функцию J&(u) из п. 1). |
И поскольку заранее неизвестно, какой из отрезков [и,-ь ш+\] со держит «*, мы вынуждены рассчитывать на самую «неудачную»
14 |
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ЙЕРЕМЕННОЙ |
[Гл. 1 |
функцию /(«) из Q*[a, b] и в качестве гарантированной на Q*[a, Ь] точности в определении и* с помощью стратегии Р п взять макси мальную из возможных погрешностей: _
шах 4 - (щ+1 — ы;_0 = La (Р , Ъ —а).
l<i<n 2 |
|
Величина 1Л(Рп, b— а) |
от 7(« )eQ *[a , b] не зависит и характери |
зует стратегию Рп на классе функций Q*[a, Ь]. |
|
О п р е д е л е н и е 3. |
Пассивную стратегию Р*п назовем "оптималь |
ной для задачи Б, если Ln (Рп, b — а) = Ln (6— а) = inf L„.(P„, b — а),
РП
где нижняя грань берется по всем пассивным стратегиям. Стратегию
Рп назовем е-оптимальной, |
если Ln (Рп, Ь— а) < |
Ln (b — а) -(- в, в > 0. |
Т е о р е м а 2. Для |
задачи Б при всех |
нечетных /г=2/л+1 |
( т ^ 0) существует бесконечно много оптимальных пассивных стра
тегий, причем |
Ln (Ь— а) = |
—-— — . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 ( т + 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Возьмем |
пассивную |
стратегию Р*п — {vt} |
из |
||||||||||
точек v2l = |
а + |
i b ~ a (i = |
1,2, |
. . . |
, т), |
а точки |
|
(i — 0, 1, . . . |
||||||
|
|
т -f- 1 |
|
|
|
Ь\ как |
|
|
|
|
|
|
||
•••, т) расположим на отрезке |
[а, |
угодно, |
лишь бы |
|
|
|||||||||
|
|
V2C—\ <С v 2 i <С °2(+1, Щ;+1 |
b'2i—\■< — |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/П-|- 1 |
|
|
|
|
Очевидно, |
Ln (Рп, b— а) = |
~ |
|
|
. С |
другой |
стороны, |
для |
любой |
|||||
пассивной стратегии |
|
2(/п + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рп = {иJ |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Б |
|
|
|
1 |
шах («£+1 — щ- i) > |
|
|
|
||||
|
|
Ln (Pn, b — а) = |
— |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 1<г<п |
|
|
|
|
|
|
||
^ |
2 ПТаХ (Ь |
W2nj, U2m |
Ч2т—2, •••, |
U2, И2— |
^ |
|
|
|||||||
|
|
|
Ь— а |
Ln (Рп, Ь— а). |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
> 2 (т + 1) |
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
стратегии Р"п |
оптимальны |
и Ln (Ь— а) = |
_b |
а |
А |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(/л+1)-’ т |
Теоре^ма 3. Для задачи Б при всех четных п = 2т (т > 1) оптимальной пассивной стратегии не существует;
Ъ— а
Ln (Ь — а)
2 (m + 1) ‘
S'SI Оптимальный пассивный поиск в задачах А и Б 15
В качестве |
е-оптимальной стратегии |
можно взять |
|
|
|
|
. |
b — а |
e, v2i = a + i |
b — a |
e, |
Рп = |
К-}: v2i- i = a + i |
m-\- 1 |
m-\- 1 |
||
|
i = |
l , 2 .......... .... |
|
|
где 0 < e <■ b — a
‘2 (m + 1)
До к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего
Ln(Рп, ь— a) = - i. |
max (o£+1 — ot_i) = |
^ -(v 2 — a) = |
b — a |
- |
|
|||||
2 |
i<«n |
|
|
|
2 |
2 (m + 1) |
|
|
||
Покажем, что Ln (Pn, b — a) |
6 —a |
|
для любой |
пассивной |
страте- |
|||||
> |
|
|
||||||||
гии Рп = {ut}, и0 = |
а < |
|
2 (m + 1 ) |
|
|
|
|
|
||
их < ы 2< |
•••О |
л < 6 = «л+1. |
Имеются |
две |
||||||
возможности: либо ы„ " > и = |
с + |
b ~ |
a |
г либо и2 < |
и. Если и2> |
и, то |
||||
|
|
|
|
/72 + |
1 |
|
|
|
|
|
Б |
|
1 |
|
|
|
1 |
(и2 — а) > |
|
|
|
Ln {РП, ь— |
а) = — max |
{щ+1 — щ- 0 > — |
|
|
||||||
|
|
2 |
1<£<л |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
1 |
|
. |
|
6 — а |
|
|
|
|
|
|
2 |
V |
' |
2(/п+1) |
|
|
|
|
|
Если же |
то max (w£+i— « i _ i ) > « 2—'а. В |
самом |
деле, |
||||||||
если |
|
|
|
1<;<п |
|
то ыгг+г— Ыгс_i < |
и2 — а, |
i = |
||||
бы max {щ+\.— « i _ i) < « 2— а, |
||||||||||||
= 1 |
1< £ <л |
|
|
их— а < « 2— а. |
Сложив последние |
|||||||
, |
2 |
и, кроме того, |
||||||||||
неравенства, будем иметь b — а < |
{пг + 1) (и2— а) < (tn + |
1) (и — а) = |
||||||||||
= 6 — а; |
получили противоречие. Таким образом, |
|
|
|||||||||
|
Ln (Р„, Ь—а) — 4 - |
max («i+1 — ис~i) = |
LJL-i (Рп_ь 6 — %), |
|
||||||||
|
|
|
2 |
2<i<n |
|
|
|
|
|
|
|
|
где P„_i — пассивная стратегия |
на |
[uif b], |
составленная из |
точек |
||||||||
и2, .............. ип стратегии |
Рп. |
Но п — |
1 = 2m — 1 — нечетное число, и |
|||||||||
в силу теоремы 2 Ln-\(Pn- u |
b — их) > — 2m |
. Следовательно, |
|
|||||||||
|
|
|
1% (Pn>b — |
|
— г—— > |
b — и |
|
Ь— а |
|
|
||
|
|
|
|
2т |
|
2 ( т + 1 ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
||||
Таким образом, Ln{Pn, Ь — а) > |
— — -— для |
любой пассивной |
стра- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 (от + 1 ) |
|
|
|
|
|
|
тегии Р„, |
прйчем 1%{Р%,Ь — а ) < Ь~ а |
+ |
8 |
ДЛЯ любого 8, |
0 <[ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 (772 + 1) |
|
|
|
|
|
|
< + |
< п 4 |
, а,ч• Следовательно, |
Ln (b — а) — |
b |
а |
|
|
•2 (772 + 1) |
2 (772 + 1) |
16 |
МИНИМИЗАЦИЯ |
ФУНКЦИИ о д н о й ПЕРЕМЕННОЙ |
[Л/1. / |
|||
Из теорем 2— 3 непосредственно вытекает |
|
|
|
|||
С л е д с т в и е 1. |
Для |
любой пассивной стратегии Р п= { щ } |
на |
|||
отрезке [а, Ь] существует |
функция 7 (u )e Q *[a , |
b], такая, |
что |
для |
||
тройки |
точек ап, Ьп, |
ип, |
локализующей точку минимума J (и) на |
|||
[а, 6] по точкам щ, |
ип, |
справедливо неравенство |
|
|
||
|
Ь п - а п > ± = ± - = 2 1 * ( Ь - а ) , |
|
|
|
||
|
|
|
т-\- 1 |
|
|
|
где т — - j- для четных п, т = -п ~ 1 для нечетных п (п > |
1). |
|
||||
Как видим, при решении задачи Б с помощью пассивных стра |
||||||
тегий предпочтительнее брать четное число п — 2т, поскольку |
|
|||||
|
l L + i (b - |
а) = Lfm (b — а) = . |
? |
|
|
|
|
|
|
2(/л+ 1) |
|
|
и увеличение числа точек на единицу существенно не улучшает точность.
§ 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ПОИСК
Пассивный поиск используется, как правило, лишь в тех слу чаях, когда можно одновременно провести п независимых экспери ментов, но нет возможностей (например, не хватает времени) для того, чтобы ставить эти эксперименты последовательно, друг за другом, с учетом результатов предыдущих экспериментов. Между тем интуитивно ясно, что при выборе наилучших действий следует использовать информацию о результатах действий, которые мьг уже произвели, и во всех тех случаях, когда это возможно, гораз до эффективнее использовать последовательный поиск [230].
О п р е д е л е н и е 1. Пусть / («)eQ *[fl, |
Ь]. Скажем, |
что на от |
|||||
резке [а, |
Ь] задана последовательная стратегия Рп, если: |
1) задано' |
|||||
правило |
выбора |
первых |
нескольких |
точек и\, и2, ..., |
us^ [a, b |
||
( l ^ s ^ n ) , |
из которых определяются три точки as, bs, |
й3, локали |
|||||
зующие точку |
минимума |
/(«) на [а, |
b] |
(см. определение 2.2); |
|||
2) если |
l^ s < ;n , то по известному правилу на отрезке [cs, 6S] вы |
||||||
бирается |
несколько точек |
«s+i> •••> ии i(l ^.s<C.k^.n) и среди точек. |
|||||
us, us+1, ..., |
Uk определяется тройка аь, |
bh, йь, локализующая точку |
|||||
минимума; |
если k< in , то на [a?,, 6/J по некоторому правилу выби |
раются последующие несколько точек uh+u-..,thn (l^ s< Z k< C m ^ .n ) и среди йк, Uh+1, ..., «тл определяется очередная .локализующая
тройка От, Ьт, йт и т. |
д. Этот процесс продолжается до тех пор,, |
|||||
пока не будет выбрана |
последняя п-я точка и определена соответ |
|||||
ствующая тройка |
а п, Ьп, |
йп, локализующая точку, ы* |
минимума |
|||
/ (и) |
на [а, |
Ь]; 3) |
имеется |
правило, по которому одна |
из точек, |
|
ы* £ |
[а п, 6Л] |
принимается в качестве приближения для и*. |