Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 245
Скачиваний: 1
$ т |
Элементы линейного программирования |
131 |
(если t/i = |
{ u : u ^ O } , |
то условия |
(14) можно записать в виде, |
сим |
|
метричном условиям |
(15): |
|
|
|
|
|
«* > 0, La (и\ Г ) |
> 0, |
и? L'j (и*, Г ) = О, |
|
|
i = l , 2 , . . . , |
/п). Доказать. |
(Этот |
результат носит название теоре |
||
мы Куна — Таккера |
в дифференциальной форме [116, 134, |
149, |
|||
256] и др.) |
|
|
|
|
|
§11. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
1.Под линейным программированием понимается часть т рии экстремальных задач, изучающая задачи минимизации (или максимизации) линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств. Общая задача линей ного программирования следующая: найти
m in(c, |
«); |
|
U = {и : и‘ > 0 (f 6 I), |
Au = b, |
Аи <&}, (1) |
|
где c e £ m, |
|
|
b<^Es — заданные векторы, А — заданная мат |
|||
рица порядка pX.ni, А — заданная |
матрица порядка s X m, I — |
|||||
.заданное |
подмножество |
индексов г |
среди l^ r < Jm |
(подробнее |
||
обозначения см. в задаче |
(10.10)). |
|
|
|||
К задаче |
(1) |
сводятся многие задачи технико-экономического |
||||
содержания |
([54, |
74, 114, |
118, 132— 134, 257] и др.). |
Кроме того, |
реализация ряда методов минимизации нелинейных функций так
же может привести к задаче |
(1) |
как вспомогательной (см., |
напри |
|||||||
мер, § 4, 6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку задача (1) является частным случаем рассмотрен |
|||||||||
ной выше задачи |
(10.10), тр к (1) также применима теорема 10.4, |
|||||||||
•из которой вытекает следующая |
так |
называемая основная |
теоре |
|||||||
м а линейного программирования. |
|
|
и* была решением за |
|||||||
|
Т е о р е м а |
1. Для |
того |
чтобы |
точка |
|||||
дачи |
_(1), |
необходимо |
и |
достаточно |
существования |
точки |
||||
A *=(|.i*, р *), |
такой, |
что . |
|
|
|
|
|
|||
> |
0 (i 6/), |
Аи* = |
b, |
Ли*<&, |
р!(Л«*,— b)i = 0 (t = 1, . . . |
, s), |
||||
|
р * > 0 , |
(с+ А У + |
4*|i*){ > 0 ( f 6 / ) , |
(2) |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
(с + |
А У + Л>*)г = 0 ( i £ 7 ) , |
( 3 ) |
«*■* (с+ л у + А* р*)£= 0 |
(1 = 1 , 2 , . . . , ш) |
132 |
|
МИНИМИЗАЦИЯ |
|
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
|
[Гл. V |
|||||||||||||
здесь сохранены обозначения из задачи |
(10.10). |
Из |
(2), |
(3) |
сле |
|||||||||||||||
дуют равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(р*, Ли* — Ь) = 0, (р*, Ли* — Ь) = 0, (и*, с + Л*р* + Л V ) = 0. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4). |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Составим |
функцию |
Лагранжа |
задачи |
||||||||||||||||
( 1) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(u, |
X) — (с, |
и) + (р, |
Аи — b) -f (р, |
Аи — Ь) = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
= (с + Л*р Аг Л*р, и) — {Ь, р) — (£ 'р ). |
|
|
|
|
||||||||||||||
Согласно теореме 10.4 точка и* |
будет решением задачи |
(1) тогда' |
||||||||||||||||||
и только |
тогда, |
когда |
функция |
|
L(u, |
Х)_ |
на |
множестве |
||||||||||||
t/iXAj, |
Ux— {и : u,'^ 0 ( i e / ) } >A i= {^ = (p ., |
р) |
: р ^ О } |
имеет седло |
||||||||||||||||
вую точку (и*, Я*), т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(с, ы*) + |
(ц, |
Ли* — 6) + |
(р, |
Ли* — Ь)<[(с, и*) + |
(р*, |
Аи' — Ь) + |
||||||||||||||
+ у , Ли* - Ъ) = (с + Л*р* + А 'у, и*) - (Ь, р*) - (Ь, р‘) < |
|
|||||||||||||||||||
< |
(с + |
Л*р* + |
Л* р*. |
и) - |
(Ь, |
р*) - |
(5, |
р*), |
|
и 6 C/lt |
Я 6 Ах |
|
||||||||
или в равносильном |
виде: |
для |
некоторого X* = |
(р*, |
р*) £ Ль |
|
|
|||||||||||||
(р — р*, |
Ли’ — Ь) + |
(р — р*, |
Ли* — Ь) < |
0 |
|
при всех |
|
(р, |
р) £ А1г |
|||||||||||
а для некоторого и* 6 U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5> |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(с + Л*р* + Л’ р’, |
и — и*) > |
0 |
при всех |
ц £ t/1# |
|
(6) |
|||||||||||||
Нетрудно видеть, что соотношения |
(5), (6) эквивалентны соотно |
|||||||||||||||||||
шениям (2), (3). В самом деле, если верны |
соотношения |
(2), (3), то |
||||||||||||||||||
из них, очевидно, [вытекают (5), |
(6). Покажем обратное. |
Пусть |
име |
|||||||||||||||||
ют место соотношения |
(5), |
(6). |
Тогда из |
(5) |
|
при р = |
р* |
получим |
||||||||||||
(р — р\ |
Ли* — 6 ) < 0 д л я |
любого |
р £ Ер, |
что возможно |
только |
при |
||||||||||||||
Ли* =_&. Далее, |
при р = |
|
р* |
из |
(5) |
следует |
(pj— р*. Ли* — Ь) < 0 |
при |
||||||||||||
всех р > 0, |
что |
возможно |
тольно_при |
Ли* < Ь- |
В |
самом |
деле, |
если |
||||||||||||
здесь^ |
взять р = (pi, - - ■, |
pit—i, |
|
pf,_ |
Рн-i , . . . |
, |
Ps), _то |
получим |
||||||||||||
(рг — p‘) (Ли* — b )i< 0 |
при |
всех |
p( > |
0, |
откуда |
(Ли* — 6); < 0, |
||||||||||||||
i_— 1, 2 , . . . , [s. _ B ^частности, если |
(Ли* — b)t < |
0, |
то |
обязательно |
||||||||||||||||
р{ = 0, |
поэтому |
р[ (Ли* — b)i = |
0 |
при всех |
t = |
1,2, |
. . . |
, s. Соотноше |
||||||||||||
ния (2) |
получены. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ Щ |
|
|
|
Элементы линейного |
программирования |
133 |
|||||||
Аналогично условие |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(с + |
|
+ |
A* р*. и - |
и*) = |
£ |
(с + |
А У + Л* p*)i («' - |
иП + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ie/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
£ |
(с + л V |
+ л V |
) £ (U1- |
«'■') > о, |
|
||||
выполняющееся |
при |
всех |
|
0 |
(ie / ) |
и |
произвольных и1’(/’§£/), |
||||||
приводит к соотношениям |
(3). |
Таким образом, существование сед |
|||||||||||
ловой |
точки функции |
L (u t |
X) |
на |
U1Х Л 1 эквивалентно |
соотноше |
|||||||
ниям |
(2), |
(3). |
Отсюда |
и из теоремы |
10.4 |
следует справедливость |
|||||||
теоремы 1. |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оказывается, |
задача (1) тесно связана со следующей задачей: |
||||||||||||
найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
[(6, р) + |
(b, |
р)], |
|
Л = |
{А< = (jx, р ): р > |
0, |
|||||
|
(й, ц)ел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(с |
А*р + А" |л)( |
0 (i 6 I ) , |
(с + А'р + |
А* р)( = 0 |
(t ^ /)}, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
называемой двойственной задачей по отношению к (1). Эту связь выражает следующая теорема, называемая первой теоремой двой ственности.
Т е о р е м а |
2. |
Задачи |
(1) и (7) либо обе не имеют решения, |
||||||
либо обе имеют, |
решения, причем в последнем случае |
||||||||
|
|
|
(с, |
u') = |
- ( b , |
i o , |
|
(8) |
|
где ц* — решение задачи |
(1), |
V = (р", р’) — решение, задачи (7). |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Составим функцию Лагранжа для двой |
||||||||
ственной задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lx (X, |
и) = |
(Ь, р) + |
(67 Й — J ] |
(с + Л*р + |
А* р)г — |
||||
|
|
|
|
|
|
щ/ |
|
|
|
— |
£ |
|
u‘ (c + |
А'р + А* р)г = |
(b, р) + |
(b, |
р) — |
||
|
‘ ф } |
|
|
|
•*** |
|
|
|
|
|
|
— (и, с + |
А*р + А*р) = |
— L(u, |
X), |
|
которая отличается от функции Лагранжа L(u, X) исходной зада
чи лишь знаком. Согласно теореме 10.4 двойственная |
задача (7) |
||
имеет решение А,*— (р*, |
р *)& А |
тогда и только тогда, |
когда функ |
ция Ь](Х, и) на A iX U i |
имеет |
седловую точку (X*, u *)^ A iX .U i: |
|
Li(X *,u) s^.Li(X*, u*)^LLi(X, и*) при всех А,еЛь |
Так как |
134 |
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
[Гл. 2 |
||
L(u, |
Х) = — L\(X, и), |
то из последних неравенств следует, что если |
||
(А*, |
и*) — седловая |
точка |
функции Li(X, а) на A iXf/i, то |
(и*, |
X*) |
— седловая точка L(u, X) |
на U1Х Л 1 и наоборот. Таким обра |
||
зом, |
функции L(u, X) и L\{X, |
и) одновременно имеют седловую |
||
точку или ее не имеют. Согласно теореме 10.4 это означает, |
что |
задачи (1) и (7) либо обе не имеют решения, либо обе имеют ре шения. Из сказанного также следует, что точки и* и А,*= (|х*, р*)
будут решениями' задач (1) и (7) соответственно тогда |
и только |
||||||||||||||||||
тогда, если выполняются соотношения |
(2), |
(3). Для |
|
получения |
|||||||||||||||
равенства |
(8) |
теперь |
достаточно |
воспользоваться равенствами |
|||||||||||||||
(4). А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
3. Для того чтобы точки |
|
|
и А *= (р *, |
(х *)е Л |
|||||||||||||
были решениями задач (1) и (7) соответственно, необходимо |
и |
||||||||||||||||||
достаточно, чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ф, u*) = - ( 6 , |
|
|
|
|
|
|
р*). |
|
|
|
(8) |
||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Необходимость |
доказана |
в |
теореме |
2. |
|||||||||||||
Остается |
доказать |
достаточность. |
Пусть для |
некоторых |
u *^ U |
и |
|||||||||||||
Я ,*= (р *, |
р * ) е Л имеет место равенство |
(8). |
Тогда из условий, оп |
||||||||||||||||
ределяющих U и Л, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(с, и) > — (Л*р + А* р, и) = — (Аи, р) — (Аи, р) > |
|
|
||||||||||||||||
|
> |
— (6, |
р) — (6, |
р) |
при всех |
|
и в U, |
X — (р, |
р) £ Л. |
(9) |
|||||||||
В |
частности, при X = X* — (р*, |
р*) |
с учетом |
условия |
(8) |
отсюда |
бу |
||||||||||||
дем иметь |
(с, и) > — (6, |
р*) — (6, |
р*) = |
(с, |
и’) |
при всех |
и 6 U, т. |
е. |
|||||||||||
(с, |
u*)s=m in(c, |
и). |
Аналогично |
при |
и = |
и* |
из (9) |
и |
(8) |
следует |
|||||||||
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
_ |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ь , |
р) + (Ъ, р) > |
— (с, и") = |
(6, |
р*) + |
(6, _р*) |
при всех |
X= |
(р, р) £ Л, |
|||||||||||
т. |
е. (6, р’) -г Ф, Р”) = |
min [(6, |
р) |
-f |
ф, |
р)]. А |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ХбЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Ниже будем рассматривать так называемую |
каноническу |
||||||||||||||||
задачу линейного программирования: найти |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
min (с, и), |
t/ = |
{ « > 0 , |
|
Аи = 6}, |
|
|
|
(10) |
|||||||||
|
|
ибУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получающуюся |
из |
общей |
задачи |
(1) |
при I |
= |
{ i : 1 < |
i < |
in}, |
А = |
0, |
||||||||
6 = 0, s = |
0. Заметим, что общая задача (1) |
введением дополнитель |
|||||||||||||||||
ных переменных может быть сведена к канонической задаче. В |
са |
||||||||||||||||||
мом деле, |
положим v = |
b —Аи, |
и‘ = |
х&f — wl, где £§Ё1/, wl = |
max {0; |
||||||||||||||
и‘} > 0 , wl — max (0; — и‘} > 0 , |
и |
в |
|
пространстве |
переменных |
||||||||||||||
v, |
u‘ (i(zl), we, |
w‘ ( i £ I ) |
рассмотрим задачу: |
найти |
|
|
|
|
|
§ Щ |
Элементы |
линейного |
программирования |
135 |
|||
|
min ^ |
с;«' -г V |
с, (w‘ — w1) ) |
|
|
||
|
|
£е/ |
lU l |
|
|
||
при условиях |
|
|
|
|
|
||
V> О, ие > |
0 (i 6 I), |
w1'> О, w* > О |
( i £ I ) , |
|
|||
|
^ |
AiU1 |
£ |
At (w!— а;1) = Ь, |
|
|
|
|
iei |
|
igi |
|
|
|
|
^ |
ALu* + |
^ Ai(w‘ — w‘~) + v = |
b |
|
i£I i<£I
(см. обозначения к задаче (10.10)). Как видим, в задаче (11) все переменные неотрицательны, остальные ограничения имеют толь ко вид равенств, и после переобозначений задачу (11) нетрудно
записать в виде (10). |
Остается заметить, что точка |
v*, м‘’ (£6/), |
|||
w‘ , w£ |
(i& zl) |
будет |
решением задачи (11) |
тогда и только тогда, |
|
когда |
точка |
и* с координатами ие* (i 6 /) |
и и * == w * — wl* (i £ I) |
||
будет решением задачи (1), так что задачи |
(1) и (11) |
эквивалент |
|||
ны. |
|
|
|
|
|
Изложенный метод сведения общей задачи (1) к канониче скому виду на практике, однако, применяется редко, поскольку это приводит к чрезмерному увеличению размерности переменных. В то же время разработку и исследование различных методов ре шения задач линейного программирования удобно проводить для задач, записанных в каноническом виде или в виде так называе мой основной задачи линейного программирования: найти
min (с, |
и); U = {u\u^> 0, |
(12) |
u£U |
|
|
Исходная задача (1) |
легко сводится к виду |
(12), если ограниче |
ния типа равенств Аи—Ь заменить на два ограничения типа нера венств Aus^ib и (—А )и ^ .— Ь, а переменные u\{i^I) заменить,
как выше, разностью го,— до*. Разумеется, в зависимости от спе цифики задачи можно указать и другие более удобные способы перехода от задачи (1) к задачам вида (10) или (12), позволяю щие избежать чрезмерного увеличения размерности задачи или, быть может, иногда даже приводящие к сокращению числа пере менных и ограничений. Методы, разработанные для решения за дачи (10) или (12), затем часто удается модифицировать так, что бы их можно было применять к задачам линейного программиро вания в более общей форме.
В настоящих лекциях ограничимся изложением симплекс-ме тода, приспособленного для решения канонической задачи (10), полагая, что знание основ метода в таком виде позволит читате