Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

< у . Далее, если а < (3, то /(и)

строго монотонно убывает при а <

<С«<|3 и Нш/(ы) = / (Р ) =

/*,

ибо в противном случае, как нетруд-

—0

но видеть, функция J (и) не может быть выпуклой на [а, Ь]. Анало­

гично, если у <.Ь, то J{u )

строго монотонно возрастает при у < « <

<С.Ь и lim/(u) = / (у ) = / * . Таким образом,

J{u )^ Q *[a,

Ь]. А

u-»v+o

Пусть функция J (и) выпукла и непрерывно дифференцируема

на отрезке [а, 6 ]. Согласно теореме 2 J (и)

принадлежит

Q*[a, Ь].

переменной и,

a^:us£Zb при каждом фиксированном аЕ [а , Ь). В си­

лу теоремы 1

J ( u ) ^ L ( u , v) при всех « е [а , b]. В качестве началь­

составляем функцию L(u, и0) и следующую

точку

щ определяем

из условия min L

(и, и0) = Ь ( щ , и0)

(очевидно

щ =

а

или

щ = Ь ) .

а < ц < Ь

ибо если J'(u0) =

0, то, как следует

из

неравен­

Пусть /'(«о)^=0,

ства (2 ) при v=

uq, точка «о будет точкой минимума,

и процесс на

Р и с. 5

ны и /'(«„) =5^=0 ((если /'(«„) =

0 , то из

(2 )

при v = un следует,

что

ип — искомая точка минимума). Тогда составляем функцию

Рп(и) = шах L (и, Ui) = max{L(u,

ип), P„_i(u)}

(естественно принять P 0 (w)==L(«, и0)),

и

следующую точку

ип+1

находим из условия Рп (ип+ 1) =

min Рп (и) и т. д.

о<и< 6

S Щ

Выпуклые

функции. Метод касательных

41

Нетрудно

видеть, что

Р п (ц) — непрерывная кусочно-линейная

довательность {а„} такова, что /'(«„) =#=0, п— 0,

1, ... Тогда:

1)

\im Pn (un+l) = J* =

inf J(u);

п-юо

a^.u^.b

2)

последовательность

{«„} имеет не более

двух предельных

точек,

совпадающих с. a * — inf(У*, u** =

supU*, где V* — множест­

во точек минимума J {и)

на [а, Ь]. Если

U* состоит из одной точки

и*, то lim an= « * .

П-*оо

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим, что при выполнении условий

теоремы

функция J {и)

удовлетворяет

условию

Липшица с кон­

стантой

L = m ax{| / /(a) |,

|Д(&)|} (см.

теорему

1). Кроме того,

согласно

неравенству (2 ) L(u, ип)^ .1(и ) при всех « е [а , Ь] и всех

п = 0 ,

1,

... Тогда ломаная

Р „(ы ), построенная

из отрезков каса­

ву U*. Однако J {и)

непрерывна и строго квазивыпукла

на [а, Ь],

поэтому U* либо представляет собой отрезок

либо

состоит из единственной точки и*. По условию 1'{ип) Ф 0

и, сле­

довательно, Опфи*.

Тогда предельными для последовательности

{«„} могут быть лишь точки и* или и**, а в случае и* =

и**

имеет

место равенство \\тип= и*. Д

П — > СЮ

причем У [и—0) ^ / '(ы + О ) (см. ниже

упражнение 2). Поэтому в

описанном

выше

методе

касательных

можно

принять L(u, -ап) ==

= J (ип)

{и—

ип), где

] п — произвольная

постоянная, удовлет-

42

МИНИМИЗАЦИЯ

ФУНКЦИИ о д н о й ПЕРЕМЕННОЙ

[Гл. I

воряющая

неравенствам

J'{u„—0) ^ / п^ / '(м п+ 0 ) ;

неравенство

J (и) ^ L ( u ,

ип), а ^ и ^ .Ь ,

при этом сохранится (см. упражнение3).

На практике удобнее брать Зп из условия |/„| = m in {| / '(«n— 0) |,

U /(un + 0) |}.

Если при некотором п окажется, что / '(ип— 0 ) ^ 0 ^

(м „+ 0),

то ип — точка минимума (см. упражнение 4), и в

равенств Д ( а + 0 ) = — оо или J'{b —0 ) = +

оо, удобно начинать про­

цесс поиска с точек uQ=a-\-h0 и U\ = b—hi

с тем, чтобы следующее

приближение «2 взять из условия минимума Р 2(«) =xnax{L-(u, и0)\

L(u, Mi)}.

Здесь

ho, hi — положительные

величины, выбираемые

из условия,

чтобы

/'(а+Ао+О ) и J'(b — hi—0 ) помещались в раз­

поиска минимума выпуклых функций описана в работе [242].

Упражнения.

1. Если /(«) выпуклая функция на отрезке [а, b],

то

J (и)—

J (v)

J (w) — j (v)

^

J ( w ) — J (u)

---------------------- -----------------------------

w— и

(3)

и —

v

w — v

ление u=-av-\- ( 1— a) w, где u < u < .w , а = —— — ,

0

1 .

ш — V

I (и) во

2. Доказать, что выпуклая на отрезке [а, Ь]

функция

вые и правые производные J'(udtO),

причем

J'(u — 0 )^ Д ( ы + 0 ),

и е (й , Ь). Доказать,

что / '(ц + 0) —

неубывающая

непрерывная

справа функция,

/'(и—0 ) — неубывающая

непрерывная

слева

функция.

У к а з а н и е .

Пользуясь

неравенствами

(3), доказать,

что

J (и) — J (и — т)

J ( u ) — J ( u — h)

г -

j ( u - \ - h ) — J (и) ^

-------------------------------

- С ----------------

;------------

---------------;---------------

-С

^ y ( u - j - t ) — J (и)

(4)

•Ч.------------------------

х

при всех т, Л, лишь бы 0 < А < т ; и, ы ±т,

u ± t e [ a , Ь].

S щ

Выпуклые функции. Метод касательных

43

3. Если J

{и) выпукла на отрезке [а, Ь], то

Ли) > J (v) +

J'n-iu — v)

(5)

при всех и, v,

а <1 и К Ь,

где J n— произвольное

число,

такое, что J' (о — 0) < J„ < J' {и + 0).

У к а з а н и е . Воспользоваться

доказательством

неравенства

(2), рассмотрев случаи u > v и

и неравенством

J'(v —0) ^

ции / (и) на отрезке (а, Ь] тогда и только тогда,

если / '(« * + 0 ) ^

0 ,.

J'(u*— 0 ) ^ 0 . В

частности, если / '(«*) существует и a< iu *< ib,

то

J'( u * ) — 0. Доказать.

У к а з а н и е .

Принять в (5)

Уп — 0.

5. Доказать, что выпуклая на отрезке [а, Ь]

функция I {и) диф-'

ференцируема почти всюду на этом отрезке.

У к а з а н и е .

Воспользоваться

монотонностью

функций

Г (и— 0 ), / '(м + 0 ) и показать, что J'{u—0 ) = / /(м + 0 ) во

всех точ­

ках непрерывности/Дц+О) (или J'{u —0 )).

6 . Доказать,

что выпуклая

на отрезке (а, Ь] функция /(и)

удовлетворяет условию Липшица на каждом отрезке

ле­

жащем строго внутри [а,

6 ]. На примере функции J ( u ) = — ] f 1— и2

убедиться, что в

общем

случае

здесь

нельзя

полагать

а = а , р= й.

У к а з а н и е .

Пользуясь неравенствами (3), (4), показать, что

3’ (а + 0 ) < ~ (и)— J —

(ft— 0 )

и — V

при всех а ■%и,

v -< ft.

7. Доказать,

что выпуклая на отрезке [а, Ь\ функция J (и) аб­

солютно непрерывна на каждом отрезке

лежащем стро­

го внутри [а, Ь].

8 . Для того чтобы дифференцируемая функция J (и)

на отрез­

/"(и) Г5:0

при а ^ и ^ Ь . Доказать. .

10. Для

выпуклости функции J (и)

на интервале а < ы < ф

не­

обходимо

и

достаточно существования

такой функции l{v),

а <