Файл: Брудка Я. Легкие стальные конструкции.pdf

я

= ngr* j* sin cp dф = — 814 см*.

Прибавляя к рассчитанному остальные два интеграла, получаем:

Рис. 6-12. Полукруглый желоб с ужесточенными полками

в — схема; б — эпюра секториальных площадей ; в — эпюра ординат у,

г —эпюра секториальных площадей 0>s

130

6.3.РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

6.3.1.Общие сведения

Нормальные напряжения а в сечении стержня, подвергающегося на­ грузке произвольного вида, сводятся к внутренним силам:

продольной — нормальной

N = j odF;

F

изгибающим моментам

Мх = ^ о ydF или Му = ^axdF;

F F

изгибно-крутящему бимоменту

В = |’o(osdF.

F

Бимомент можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: силы и площади или момента и плеча (ем. рис. 6-2 или 6-3). Знак бимомента считают положительным, если для наблюдателя, смо­ трящего вдоль плеча двойной пары сил, ближайшая к нему пара дейст­ вует по часовой стрелке (рис. 6-13). В таком случае на рис. 6-2 бимо­ мент отрицательный, а на рис. 6-3 — положительный.

Касательные напряжения т в сечении стержня, подвергающегося на­ грузке произвольного вида, сводятся к внутренним силам:

крутящему моменту: для открытого профиля

Mv= jT46dJp;

для замкнутого профиля с одной камерой

Mb = ^xi rdF,

F

где б — расстояние от центральной оси стенки до любой точки этой стенки, выбранной

Рис. 6-13. Изгибно-крутящие бимоменты

внутренними силами, действующими самостоятельно в случае свободно­ го кручения. Дальнейшая основная информация приводится в 6.3.3.

При рассмотрении напряжений в стенках профиля предполагаем, что нормальные и касательные напряжения одинаковы по толщине стен­ ки. Линейное изменение напряжений на толщине стенки учитывается только в случае крутящего момента Mv. В связи с этим вместо касатель­ ных напряжений можно говорить о силах тg, %ig, t3g и T5g (g — толщи­

на стенки). Усилие от касательных напряжений действует вдоль осевых линий стенок (т. е. вдоль контура).

Знаки продольных сил, изгибающих моментов, поперечных сил и прогибов следует принимать в соответствии с правилами, приводимы­ ми в сопромате.

Знаки крутящих моментов М ш, Mv и Мь принимаются положительны­ ми, если для наблюдателя, смотрящего со стороны положительной оси z, этот момент скручивает стержень в направлении, противоположном движению часовой стрелки (рис.6-14). Отсюда вытекает, что на рис.6-15 сила от касательных напряжений дает отрицательные крутящие момен­ ты Ms.

132

133

Жесткость конструкции обеспечивается в том случае, если прогибы и угол кручения не превышают определенных допускаемых величин.

Положительным углом скручивания считают поворот сечения стерж­ ня вокруг центра изгиба в направлении против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных величин оси z (ем. рис. 6-14).

В дальнейших разделах проблемы прочности и деформаций будут рассматриваться при обсуждении способов защиты стенок от разных форм их местной неустойчивости. При разработке стержней необходимо обращать особое внимание на места приложения больших сосредоточен­ ных сил (например, опор или сосредоточенных нагрузок), чтобы не вы­ зывать местную перегрузку некоторых стенок по сравнению со всем сечением стержня. Речь идет не только о нормальных напряжениях ау, обычно не учитываемых в сопромате, но и о напряжениях от изгибнокрутящего бимомента, которые для некоторых величин, например для хе, в соответствии с рис. 6-7 на основе теории тонкостенного стержня прояв­ ляются местами.

6.3-2. Изгибаемые стержни

Стержни изгибаются поперечной нагрузкой, лежащей в плоскости, проходящей через ось сдвига. Нормальные и касательные напряжения от изгибающих моментов и поперечных сил рассчитывают по формулам сопромата. Однако механика тонкостенных стержней вводит измене­ ние при расчете статического момента сечения.

В расчетах статических моментов Sx и Sv для открытых профилей (например, на рис. 6-16) принимается площадь, отсекаемая осями а— а, а\—а.\ или аг—02- Для рассчитанных таким образом статических мо­

ментов распределение касательных напряжений в двутавровом сечении показано на рис. 6-17, на котором обозначены также направления по­ токов этих напряжений.

В замкнутых профилях вследствие отсутствия свободной грани воз­ никает дополнительный поток касательных напряжений <7о- В этом слу­ чае касательные напряжения рассчитывают, например при силе Qy, по формуле

Чтобы рассчитать поток касательных напряжений qQ, необходимо: выбрать начало отсчета в точке контура (например, _на оси х — х) ;

составить график потока касательных напряжений q при условии, что контур рассечен вдоль образующей, проходящей через точку, явля­ ющуюся началом отсчета;

вычислить интеграл §qpds и момент М внешних сил относительно

произвольно выбранного полюса (р — расстояние от произвольно выб­ ранного полюса, как при расчете момента, до касательной к любой точ­ ке контура);

434

найти <7о по формуле

(6- 14)

где Q имеет то же значение, что и в формуле (6 -1 0 ).

Касательные напряжения в стенках получают, деля полученное зна­ чение q из формулы (6-13) на толщину стенки в рассматриваемой точ­ ке. В качестве примера на рис. 6-18 показаны распределение касатель­ ных напряжений от поперечных сил и направления их потоков.

Рис. 6-18. Распределение касательных напряжений

а — от поперечной силы Qy\ б — от поперечной силы Qx

Прогибы, возникающие при изгибе балок, рассчитывают по фор­ мулам, приводимым в сопромате, если обеспечена местная устойчивость стенок.

6.3.3. Скручиваемые стержни

Скручиваемые стержни из гнутых профилей следует делать такими, чтобы они имели большую жесткость на скручивание. У открытых про­ филей эта жесткость значительно меньше, чем у замкнутых, несмотря на одинаковую площадь поперечного сечения. Например, жесткость на скручивание круглой трубы с зазором почти в 30 раз меньше, чем жест­ кость такой же трубы без зазора. В некоторой степени жесткость на скручивание стержня с открытым профилем можно увеличить путем применения поперечных ребер, в частности торцовых перегородок. Большего увеличения жесткости можно достичь, соединяя свободные края профиля решеткой или планками. Благодаря таким связям жест­ кости можно сделать так, что жесткость условно замкнутого профиля будет лишь немногим меньше жесткости замкнутого профиля. Расчеты профилей со связями жесткости приводятся в работах [45, 139 и 226]. Приближенный способ учета решетки и связей жесткости при расчете на скручивание приведен в работе [213].

Как правило, конструктор должен стремиться к созданию такой формы элементов конструкции, при которой воздействие этих элемен-

135

тов друг на друга осуществляется без возникновения крутящих момен­ тов либо бимоментов или действие таких внешних нагрузок передается на систему плоских элементов. В этом случае появляется только изгиб.

В механике тонкостенных профилей различают два способа работы стержня на свободное или стесненное кручение. По теории свободного кручения, разработанной Сен-Венаном и Бредтом, деформация приз­ матического стержня складывается из поворота поперечного сечения вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр жестко­ сти, и из депланации этого сечения. Однако принимается, что депланация одинакова для всех поперечных сечений стержня. Свобода депла­ нации возникает при следующих условиях:

когда два уравновешивающих друг друга крутящих момента Ms дей­ ствуют только на конце стержня с постоянным сечением;

когда эти крутящие моменты Ms располагаются на конечных сече­ ниях по тому же закону, что и касательные напряжения во всех проме­ жуточных сечениях;

когда угол закручивания так мал, что изменения расстояния между концами продольных волокон стержня, искривляющихся винтообразно, можно не учитывать.

Любое отступление от этих условий приводит к тому, что свободная депланация не возникает.

Теперь о стержне, подвергающемся стесненному кручению. С прак­ тической точки зрения, стесненное кручение является доминирующим явлением.

Различают три основных вида опирания стержней, подвергающихся стесненному кручению:

а) вилообразный захват (рис. 6-19), при котором конечные сечения стержня не могут поворачиваться вокруг его оси, но в то же время воз­ можно свободное вращение этих же концов в плоскостях главных осей х—х и у—у. Конечные сечения имеют свободу депланации;

б) крепление, при котором конечные сечения стержня не могут по­ ворачиваться вокруг его оси. В этом случае невозможен также и пово­ рот этих концов в плоскостях главных осей, и конечные сечения не мо­ гут подвергнуться депланации;

в) крепление, при котором конец стержня свободен. В этом случае существует свобода поворота и депланации конечного сечения.

В соединениях элементов конструкций, встречающихся на практике, существует много промежуточных видов креплений. Поэтому при ста­ тических расчетах следует пользоваться одной из трех приведенных схем крепления концов стержня.

При свободном кручении стержня с открытым профилем касатель­

где M s— нагружающий крутящий момент; J, — момент инерции при свободном круче­ нии; б, kt — допускаемое напряжение при сдвиге.

136

При свободном кручении стержня с замкнутым профилем касатель­ ные напряжения определяют по формуле

рой определяются напряжения; Ja — секториальный момент инерции относительно цент­ ра изгиба; k — допускаемое напряжение при изгибе.

При стесненном кручении стержня с открытым профилем касатель­ ные напряжения определяют по формуле

при стесненном кручений стержня с замкнутым профилем по формуле

Qg

При стесненном кручении поворот, характеризующийся углом скру­ чивания, v и бимомент определяются с помощью дифференциального уравнения оси деформированной балки. Решение таких уравнений при различных нагрузках и статических схемах систем приводится в моно­