Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Увеличим эти квадраты в б 0 / / 0 раз и проведем в правой части перегруппи­

Правильность этого тождества удобнее всего проверить непо­ средственным преобразованием к координатной форме обеих его частей, имея в виду, что вектор В = Вхі + Byj + Bzk, а • симво­ лический оператор Гамильтона

так что скалярное произведение векторов

С учетом равенства (52) и формулы (51) для силы fv получаем

/V = - b ( r o t ß ) x ß =

Найдем из этого выражения проекцию силы fv на ось х, для чего выпишем из правой части члены, содержащие орт і:

Нам необходимо получить для проекции fVx выражение, струк­ турно отвечающее формуле (48), т. е. сумму частных производных

70

по всем трем координатам. Для этого добавим в правую часть по­ следнего равенства члены

за искомые напряжения поверхностных сил магнитного поля сле­ дует принять величины:

ВхВу

Мша

Мша

Аналогичные выкладки для осей у и z определят остальные составляющие. Таким образом, объемную плотность пондеромоторной. силы fv = (j X В) можно представить через эквивалент­ ные поверхностные силы по формулам:

Таблица, составленная из коэффициентов при единичных ортах, образует тензор магнитных напряжений. Однако эти напряжения принципиально отличны от гидродинамических поверхностных напряжений.

Во-первых, реальной силой является объемная плотность пондеромоторной силы fv, а магнитные поверхностные напряжения, заменяющие ее действие, — фиктивны.

Во-вторых, в вязкой жидкости гидродинамические напряжения зависят от ускорения частиц жидкости только в данном месте (так как все производные берутся в рассматриваемой точке). Величина магнитных поверхностных напряжений зависит не от производных,

71

а от самого магнитного поля, поэтому магнитные напряжения могут меняться при изменении магнитного поля даже за пределами теку­ щей жидкости.

Магнитное давление представляет собой часть магнитных на­ пряжений, выделяемых из общего поля магнитных поверхностных сил. Как видно из формулы (53), вдоль каждой координатной оси

Если эти составляющие выделить из общего выражения для полной силы f v , то с учетом формулы (49) получим для этих состав­ ляющих:

+ - ^ ( - ^ а - ) / 7 = - е Г а С І ^ п . .

вг-

где р № г н = -s называется магнитным давлением, так как ее действие структурно описывается так же, как давление р в идеаль­ ной жидкости.

Очевидно, что формула (53) позволяет выделить из общей пондеромоторной силы /у ее часть, представляющую магнитное дав­

ление.

Величины вязких и магнитных поверхностных напряжений, ис­ пытываемых средой в рассматриваемых ГТ и КУ ориентировочно таковы: давление р меняется в пределах (ІЧ-400) • 105 Н/м2 , а вели­

=3,17.10е Н/м2 .

§10. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ СРЕДЫ

Вторым основным уравнением гидрогазодинамики после урав­ нения неразрывности служит уравнение движения сплошной среды, которое является выражением второго закона механики Ньютона в применении к жидкой сплошной среде.

72

Уравнения движения, выраженные через напряжения

Для вывода уравнения движения рассмотрим элементарный объем ДѴ в декартовой системе координат, ограниченный поверх­ ностью As (рис. 37).

Равновесие выделенного объема жидкости требует равенства нулю главного вектора и главного момента сил, действующих на

' г cfx

Рис. 37. Схема напряжений на гранях элементарного паралле­ лепипеда

На выделенный объем действуют массовая сила j fmp dV, по­

Преобразуем выражение для поверхностной силы, выразив ее через объемный интеграл. Тогда получим

73