Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

уравнение движения сплошной среды, выраженное через напря­ жения

Полученное уравнение справедливо для любой сплошной среды, при условии непрерывности ее параметров. Полученное уравнение является развитием второго закона механики Нью­ тона, когда учитываются силы взаимодействия выделенного объ­

Уравнение движения идеальной среды в форме Эйлера

Для идеальной жидкости, у которой нет вязкости, касательные напряжения т равны нулю, а нормальные напряжения во всех гранях рассмотренного параллелепипеда равны и имеют направ­ ление, обратное действию давления на соответствующую пло­ щадку, т. е.

Ох = Оу = 0 г = —р.

Следовательно, в этом случае система (58) принимает вид

Умножая уравнения (59) соответственно на i, j , k и складывая их, получаем уравнение Эйлера в векторной форме

74

Второе слагаемое правой части уравнения (60) и отличает ме­ ханику идеальной жидкости от механики твердого тела. Оно опре­ деляет силу взаимодействия выделенного объема жидкости с остав­

тора (иу) и на оси координат.

Выражение в круглых скобках представляет собой оператор

и вихревого) течения идеальной среды. Однако в отдельных слу­ чаях бывает удобно рассматривать уравнения движения идеаль­ ной среды с явно выделенной вихревой частью движения. Такая форма записи уравнений движения была предложена русским ученым И. С. Громеко и английским гидромехаником Г. Лэмбом в конце X I X в.

Уравнение движения идеальной среды в форме Громеко—Лэмба

Рассматривая выражения (61), добавим к правым частям каж­

75

соответственно. Тогда получим вместо первой строки

Делая те же преобразования с двумя оставшимися строчками выражения (61), умножая каждую строку на і, /, /е соответственно и складывая, получим

~dldv = д|ѵf + grad (-£.) + 2 (сох и).

Следовательно, уравнение Громеко— Лэмба принимает вид

Уравнение движения в форме Громеко — Лзмба будет исполь­ зовано ниже в ряде разделов нашего курса. Эта форма записи уравнения движения идеальной жидкости в явном виде содержит члены с угловой скоростью вращения, которые обращаются в нуль для потенциального движения.

76

Выполнив аналогичные преобразования со второй и третьей строками уравнения (58), получим

Для несжимаемой жидкости div и = 0 и уравнение Навье — Стокса имеет вид

Подчеркнем, что в уравнение Навье — Стокса входят истинные значения скоростей и давлений и их производные. Уравнение Навье — Стокса справедливо как для установившегося, так и для неустановившегося течения вязкой жидкости. Однако при анализе турбулентного течения вязкой жидкости, которое является суще­ ственно неустановившимся, целесообразно провести осреднение потока по времени и изучать такое осредненное движение. Впер­ вые такое осреднение было сделано О. Рейнольдсом в 1895 г.

Уравнение движения вязкой среды в форме Рейнольдса 1

Если в фиксируемой точке пространства параметры потока с течением времени будут хаотически отклоняться от своих сред­ них значений, то такого рода течение называется турбулентным. Турбулентное течение можно представить себе как бы состоящим из двух потоков: пульсационного и основного осредненного. Ча­ стицы потока в пульсационном движении и перемещаются хаоти­ чески по различным направлениям, и одновременно переносятся по течению основным осредненным потоком. Турбулентное дви­ жение возникает в результате наличия трения в жидкости, отрыва пограничного слоя и т. п. Особенно такое движение интенсивно в местах, расположенных непосредственно за обтекаемыми телами.

Турбулентное движение является всегда неустановившимся и хотя пульсация скорости по сравнению с осредненной скоростью потока мала, она оказывает заметное влияние на важнейшие ха­ рактеристики потока. Математические выражения, полученные для нетурбулентных потоков, в этом случае становятся недействи­ тельными.

1 Этот раздел написан О. М. Панковым.

77

Количественно турбулентные потоки оценивают двумя вели­ чинами: степенью турбулентности е и коэффициентом корреля­ ции R. Если взять в потоке рабочего тела точку А и проследить как с течением времени в ней меняются параметры потока, то зная законы изменения параметров в этой точке по времени, можно найти осредненные величины этих параметров. В самом деле, пусть изменение модуля скорости в точке А за время т будет представ­ лено кривой, изображенной на рис. 38; тогда средняя скорость

Так как пульсационная скорость ѵ' является переменной вели­ чиной по абсолютному значению и знаку, то ее величину удобно

тера движущегося потока по степени его турбулентности будет недостаточной. Возьмем на некотором расстоянии dx от точки А по линии, перпендикулярной к средней скорости потока, точку В

78