Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Турбулентность потока оказывает большое влияние на харак­

вязкой жидкости неудобны для исследования турбулентного те­ чения вязкой жидкости, так как содержат фактические значения скорости и давления, а не осредненные величины. Если в уравне­ ниях (65) скорости и давления заменить средними и пульсационными значениями:

vx = vxA-v'x\ v,j = vu + v'y, vz = vz + v'z, р=р + р,

а затем произвести осреднение по времени, то получим уравне­ ния Рейнольдса для несжимаемой вязкой жидкости. Для осредне­ ния уравнения воспользуемся статистическим методом и его свойствами осреднения.

Пусть значение некоторой функции f в интервале х равно / = = / + /', где f — средняя величина функции, а /' — пульсационная составляющая. Тогда используя свойства осреднения, по­ лучим

Двумя черточками вверху обозначено повторное осреднение. Затем, заменив в уравнениях (65) мгновенные значения р, ѵх, Ѵу, ѵг суммами: р + р', ѵх + ѵ'х, ѵу + ѵ'и, ѵг + v'z, и осреднив слагаемые по времени, т. е. произведя интегрирование по времени с одновременным делением на промежутки интегрирования, полу­

чим следующее выражение в направлении оси х:

79

свойству осреднения равны нулю, то второе слагаемое левой части уравнения будет иметь вид

- дѵѵ

0.Ѵ дх

Аналогично можно поступить с третьим и четвертым членами левой части уравнения, учитывая, что в каждом промежутке инте­ грирования ѵ' = р' = 0. Окончательно в направлении оси х

+ду •{-pvyvz) + 4- • - е - ( — р у ^ ) -

Эти уравнения называются уравнениями Рейнольдса для тур­

80

пульсации скорости. Наличие пульсационных скоростей в турбу­ лентном потоке приводит к образованию как бы дополнительных напряжений, которые имелись бы в ламинарном потоке, если бы распределение скоростей в нем совпадало с распределением осредненных скоростей в турбулентном потоке.

§ И. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Полученные выше уравнения движения являются дифферен­ циальными уравнениями в частных производных, связывающими параметры жидкости — скорость, плотность и давление с коорди­ натами и временем. В отдельных случаях движения жидкости уравнения движения можно проинтегрировать, получив алгебраи­ ческие соотношения для скорости, давления и плотности.

Уравнение Бернулли для неустановившегося движения

Рассмотрим неустановившееся движение невязкой жидкости. Геометрической характеристикой такого движения, как известно, служит поле векторных линий, которое зависит от времени.

Уравнения Эйлера для этого случая имеют вид:

Умножая каждое из этих уравнений соответственно на проек­ ции элемента векторной линии ôr {Вх, ôy, ôz\ и складывая по вертикальным столбцам, получим

преобразуем коэффициенты при производных от скоростей по коор­ динатам в левой части уравнения. Тогда

произведения и полного дифференциала,

•г

Это уравнение, записанное в дифференциальной форме, спра­ ведливо только для векторной линии в данный момент вре­ мени.

Проинтегрировав его вдоль векторной линии от точки / до точки 2, получим

Уравнение (67) называется уравнением Бернулли; оно связы­ вает параметры жидкости на векторной линии при неустановив­ шемся движении в конечном виде, т. е. является первым интегра­ лом системы дифференциальных уравнений Эйлера.

Уравнение Бернулли для установившегося движения

Если движение жидкости установившееся, то векторные линии переходят в линии тока и уравнение Бернулли принимает вид

2

1

Потенциал U массовых сил обычно связывают с силами тя­ жести. Если ось 2 направить вертикально, вверх, то

откуда

U = —gz -f- const.

2

Для вычисления интеграла | бр/р необходимо знать зависи-

1

мость между р и р в процессе течения по линии тока.

82