Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рассмотрим два наиболее распространенных случая: 1. Несжимаемая жидкость, р = р 0 = const.

Интеграл J ôp/p в этом случае легко подсчитывается:

j ôp/p = - ^ - + const.

Следовательно, уравнение Бернулли для несжимаемой не­ вязкой жидкости

x + ^ + ^ = c o n s t -

( 6 8 )

Таким образом, для двух точек на линии тока параметры жид­ кости связаны соотношением

2. Сжимаемая жидкость при изоэнтропической связи между ітностью и давлением, -^— = m — const.

р

Интеграл j - ^ - в данном случае принимает вид

— с dp = -г—;—~- 4- const.

J P P

R Ä — l p 1

Тогда уравнение Бернулли для сжимаемой невязкой жидкости или идеального газа запишется в форме

-t + ^ + ^rr - ^ - = c o n s t - (б9>

При движении газов, как показывают расчеты, можно прене­ бречь влиянием потенциальной энергии положения на распределе­ ние давления. В самом деле, скорость ѵ = 10 м/с дает 1 кг газа такую кинетическую энергию, которая соответствует потенциаль­ ной энергии этого килограмма, поднятого на 5 м. В практике же турбостроения такие вертикальные перемещения встречаются

редко, а скорости

течения газов

обычно

намного превосходят

10 м/с.

 

 

 

 

Следовательно, уравнение Бернулли для идеального газа

можно записать в

виде

 

 

 

 

4 + T ^ r - i = c o n s t -

( 7 ° )

При расчете турбин и компрессоров часто применяют другие

формы записи уравнения Бернулли.

 

Используя

термодинамические

соотношения

-^

= RT; i = cpT; cp-cv

= R; \

= К

G*

83

получим следующую форму записи уравнения Бернулли:

 

-к-

+

I =

const

 

(71)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

- ^

+

Т =

const.

(72)

Вводя известное выражение для скорости звука в газе

 

имеем

a =

ykRT,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ -^rr = c o n s t -

<73>

Первое слагаемое определяет кинетическую энергию кило­

грамма массы газа, а второе — его теплосодержание.

 

Правую

часть уравнения

Бернулли

можно определить

по ха­

рактерным

параметрам газа.

газа в пустоту а — О, ѵ = ѵ,тк, из

Например, при истечении

выражения

(73) получим

 

 

 

 

••

 

 

const

 

2 "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда уравнение Бернулли примет вид

 

 

ÏL ,

 

П 3

=

"max

 

 

 

2

k — 1

 

2

'

 

Если рассмотреть истечение газа из сосуда неограниченной емкости, то в сосуде можно считать, что ѵ = 0; а = о*, где а* — скорость звука в неподвижном газе. В этом случае уравнение Бер­ нулли имеет вид:

хГ- .

a2

a*2

kRT*

.

Т +

Т = Т

= Т=Т

= т=т = c o n s t -

где Т* — температура неподвижного газа.

При изменении параметров газа вдоль струйки уменьшению кинетической энергии соответствует увеличение теплосодержа­ ния, т. е. при уменьшении скорости газа растет местная скорость звука. Может наступить момент, когда скорость газа станет чис­ ленно равна местной скорости звука. Такая скорость газа назы­

вается критической скоростью и обозначается

через акр. В этом

случае уравнение

Бернулли можно записать в форме

»2 I " 2

_ <

I ° К Р _

* + 1 J

_ c o n s t

2 + k - l

+

k - l -

2 ( й - 1 ) « к р - C O n s ï .

Следовательно, скорость газа и т а х теризуют энергию

критическая

скорость газа а к р ,

максимальная

и температура неподвижного

газа Т* харак­

струйки газа

и постоянны вдоль этой струйки.

84

Между ними существует определенное соотношение

max

—' г ß KP = -и Г = Const,

2

2 (k

откуда получим

Параметры изоэнтропически заторможенного потока* Газодинамические функции

При рассмотрении течения струйки газа удобно пользоваться параметрами изоэнтропически заторможенного потока или пара­ метрами торможения. Вообще говоря, для произвольного сечения струйки термодинамические параметры заторможенного потока является воображаемыми параметрами, которые были бы дей­ ствительными при полном изоэнтропическом торможении потока в данном сечении. Параметры движущегося потока (Г, р, р) свя­ заны с параметрами торможения (Г*, р*, р*) формулами адиабаты Пуассона

 

 

 

k

1

р*

\

т* ;

р*

\ т* )

Следует заметить,

что

давление

и температуру торможения

в данной точке потока можно измерить, помещая в поток прием­ ник полного давления в виде трубки Пито с расположенной в ней термопарой (см. гл. V I I I ) . В приемнике трубки Пито газ находится в неподвижном состоянии и, если не учитывать теплоотдачу газа через стенки трубки в поток, то термопара измерит температуру изоэнтропически заторможенного потока.

Расчет параметров потока в ряде случаев удобно вести с по­ мощью так называемых газодинамических функций, которые свя­ зывают термодинамические параметры с приведенной скоростью

потока X — ѵ!акр,

т. е. отношением действительной скорости в дан­

ной точке

к критической.

 

 

 

 

 

Приведенная

скорость

1

в

данном

газе

однозначно связана

с числом

М. Для

получения

такой связи рассмотрим уравнение

Бернулли

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ÏL _і_

fl2

 

_ k + 1

ri2

 

 

 

2

'

k — 1

2(k—l)

к

р

и разделим его на правую часть.

 

 

Тогда

после несложных преобразований

получим

 

 

k

1

л 2

I

2

^

л

85

или

 

 

 

 

 

 

Х2 = k — 1

• +k -I- l

1

(74)

 

k +

 

 

 

Анализ формулы (74)

показывает,

что при M = 1

значение

1 — 1, а при M = О X =

0 и

при

M —> оо X —> ~^/~ ^

| =

Хтах.

Зависимость M от X при

k =

1,4

и /г = 1,67 приведена

на

рис . 40.

 

 

 

 

 

 

Л

15

W

0,5

0,5

1,0

1.5

2.0

2,5

M

Рис. 40. Соотношение между числом M и приведенной

скоростью X потока

Газодинамическая функция температуры. Уравнение Бернуллн для газа имеет вид

4-+Tr^rRT=-;^-rRT*=

k ' '

K P'

(75)

k — 1

k— 1

2 (k — 1)

 

Разделив левую часть выражения на правую в соответствую­ щих формах записи, получим

к —

I -Lr= 1.

k+ 1

Т*

Отсюда находим

-f*~— 1 — I_|_ 1 = Х(Ь> k)<

где т (X, k) — газодинамическая функция температуры. Статическая температура газа Т определяется теперь по фор­

муле Т = Т*х (X, k).

86

2Сп

Газодинамическая функция давления. Так как торможение газа предполагается изоэнтропическим, то

где л (X, k) — газодинамическая функция давления.

Статическое

давление р газа определяют

по формуле р —

= р*я (X, k).

 

 

 

Газодинамическая функция плотности. Для

изоэнтропического

торможения

получим

 

 

 

 

_ j

 

Р°*

(

т* )

ft—1

Т?

 

 

•О

=8 (Я, k),

где

е (X,

k)

— газодинамическая

 

 

т,

 

 

 

 

1

 

 

функция

плотности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плотность газа р находят по

 

 

 

 

 

формуле р =

р*е {X,

k).

 

 

 

 

 

Изображение статических и за-

п

41.

г

и

затормо-

 

F

 

параметров потока

Рис.

Статические

торможенных

ж е н н ы

е

параметры в

T—s диа-

в Т—s-диаграмме

приведено на

 

 

грамме

 

рис.

41.

 

 

 

 

заторможенного

и дви­

Разность температур изоэнтропически

жущегося потоков подсчитывают по уравнению Бернулли, дан­

ному в виде уравнения

(75):

 

 

 

 

 

 

 

Т* — Т —

- ^ — V 2

 

 

 

Газодинамическая функция расхода. Расход газа через любое

поперечное сечение канала

выражается следующим

образом:

 

 

 

 

G =

pvF.

 

 

 

Вводя

газодинамические

функции,

получим

 

 

 

p =

р*е (X, k)

р*

 

 

 

 

У

2k

RT -&{Х,

k);

ѵ

= Ха,кр

 

 

 

 

k+

1 RT* .

Расход

газа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G = - RT*

V i T T R T

* F l e { 1 '

k)-

 

 

Обозначим функцию Хг (X, k) = nq (X, k), причем множитель rt подберем так, чтобы при X = 1 значение q (X, k) = 1. Тогда

87

Смотрите также файлы