Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Уравнение Бернулли для течения с трением и теплообменом

Выведенное ранее уравнение Бернулли было получено для идеальной жидкости при интегрировании уравнения Эйлера вдоль линии тока.

Рассмотрим течение газа в канале при наличии трения и тепло­ обмена через стенки канала (рис. 47). Будем считать, что течение одномерное и установившееся.

Пусть за время At масса газа из положения /—2 переместится в положение )'—2'. Применяя закон сохранения энергии к этой массе газа, запишем

±QBH + <2тр — LTp = (k — h) + -g" (Vl — ѴЬ ± Le-

93

Если же течение газа происходит без энергообмена с внешней

по содержанию они совершенно различны. В уравнение (79) вхо­

Показатель политропы расширения п от точки 1 до точки 2 можно найти с помощью первого закона термодинамики, приме­ нив его к частице движущегося газа.

Подведенная к частице теплота dQ как извне, так и в резуль­ тате трения, идет на повышение внутренней энергии и на совер­ шение работы расширения, т. е.

dQ: d(±QB!l^Qrp) = ds + pd(jr)

или, используя понятие теплосодержания,

à ( ± QBH - f QT p ) = dl — ~ dp.

Интегрируя это выражение от состояния / до состояния 2Г найдем

о

± QBII + QT p = с.„ (Т2 - Тх) - J -J- dp,

94

но без энергообмена, следует важный вывод о постоянстве темпера­ туры торможения вдоль струйки и при течении с трением без энер­ гообмена, т. е.

Из термодинамики известно, что рассеяние энергии, имеющее место при необратимых процессах (трение), оценивается измене­ нием энтропии.

Изменение энтропии газа, подчиняющегося уравнению состоя­ ния ~- = RT, выражается формулой

As = s, — s, == с. In — .

_Pj_

PÎ

Так как параметры торможения связаны со статическими параметрами изоэнтропы уравнением, то

Р/Р* = Р*/Р**,

но

95

тогда

P'

откуда

Далее, так как

7 i = г ; ,

а для реальных (необратимых) процессов As > О,

то для течения с трением давление торможения уменьшается, т. е.

РІ<р\-

Следовательно, течение с трением характеризуется постоян­ ством температуры торможения Т* и падением давления торможе­ ния р*.

Потенциальное течение газа всегда будет изоэитропическим.

Уравнение движения в форме Крокко

При расчете параметров газа в ступени турбомашины удобно воспользоваться уравнением движения в энергетической форме, впервые предложенной Л. Крокко.

Для вывода уравнения Крокко рассмотрим уравнение (63) Громеко—Лэмба, уравнение состояния совершенного газа

и выражение для энтропии совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями

96

Подставляя из полученного выражения - ^ - в уравнение Гро-

газа в форме Крокко. Оно позволяет сделать вывод, что уста­ новившееся течение совершенного газа при отсутствии поля внеш­ них сил и при постоянном значении температуры торможения является потенциальным, если энтропия газа постоянна. Если энтропия переменна, то при тех же условиях течение будет вихре­

превращениями. В качестве количественной меры движения ма­ терии (вещества и поля) используют понятие энергии. В силу того, что движение может иметь разные формы, существуют разные формы энергии.

Эти формы движения могут взаимопревращаться, в связи с чем взаимопревращаются различные виды энергии. Однако, если рассматриваемая система не меняет своего состояния, то численное значение меры всех форм движения, т. е. численное значение суммы всех видов энергии, остается неизменным при всех взаимо­ превращениях движений.

Изменение состояния системы приводит к количественному из­ менению ее форм движения, т. е. к количественному изменению энергии системы.

Изменить состояние системы можно различными способами. Можно с помощью внешних сил совершать работу над системой или заставить систему выполнять работу. Так как это будет со­ провождаться изменением какой-либо формы движения материи, то работу принимают за количественную меру изменения формы движения (в то время как энергия является количественной мерой

в системе теплоты химических реакций. В случае электропроводя­ щей среды приложенное внешнее электрическое поле вызовет процесс теплоподвода в результате омического нагрева.

Рассматривая изменение полной энергии системы, закон сохра­ нения энергии можно представить так: приращение полной энер-

гии Э энергетически неизолированного объема жидкости за еди­ ницу времени t равно работе L, которую внешние силы совершили над жидкостью, и притоку теплоты Q за ту же единицу времени:

В такой формулировке положительными считаются подведен­ ная теплота и подведенная работа.

Виды энергии, которые составляют полную энергию Э и ко­ торые следует принимать во внимание при рассмотрении процес­ сов в ГТ и КУ, таковы:

1)внутренняя тепловая энергия единицы массы (для перехода

квнутренней энергии единицы объема е надо умножить на

В величину полной энергии Э жидкости не следует включать энергию электромагнитного поля, имеющую объемную плотность

так как эта энергия присуща не веществу, а

электромагнитному полю, хотя поле может занимать тот же объем, что и вещество. (Сильно намагничиваемые и поляризуемые среды из рассмотрения исключаются).

Однако электромагнитное поле воздействует на вещество, если в нем имеются носители электрических зарядов, путем совершения над зарядами, заключенными в единице объема, работы в единицу времени Ej.

Связь энергии электромагнитного поля с мощностью Ej дает формула Умова—Пойнтинга.

Для вывода этой формулы используем соотношение Максвелла rot Я

и получим, что Ej = Е rot Я

Первый член в правой части преобразуем при помощи вектор­ ного тождества: div (а X Ь) = b rot а — a rot b.

(Проверьте правильность этого соотношения для двух произволь­ ных векторов а и b путем проектирования на координатные оси обеих частей этого тождества). Следовательно,

firot// = —div(£ X Я) + Я rot Е. По соотношению Максвелла

98