Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

ницу времени над электрическими зарядами, заключенными в еди­

Ё] = —div(I X 77).

Работу, совершаемую над системой (или системой) при рас­ смотрении газодинамических вопросов, удобно представлять в виде ее составляющих.

Работа вектора плотности поверхностной силы р„, действую­ щей на единицу площади за время dt по перемещению объема,

При расчете ГТ необходимо рассматривать развиваемую или затраченную лопаточной машиной механическую (внешнюю) ра­ боту.

Механическую работу единицы массы в единицу времени обо­

характера, а именно, работу пондеромоториых сил электромагнит­ ного поля (или просто работу электромагнитного поля) над всей жидкостью и работу этих же пондеромоториых сил над входя­ щими в жидкость электрическими зарядами.

Работа в единицу времени Ej электромагнитного поля над электрическими зарядами, заключенными в единице объема, будет считаться положительной, если поле передает электрическим за­ рядам свою энергию, как например, при движении жидкости в ка­ нале МГД-насоса. Если же поле воспринимает кинетическую энергию движущихся электрических зарядов, то работа поля будет отрицательной. Такие условия соответствуют работе МГДгенератора, где электрические заряды движутся в результате движения всей массы жидкости, которая, в свою очередь, движется под действием срабатываемого теплового перепада.

Работа вектора объемной плотности пондеромопюрной силы fv

над единицей объема движущейся проводящей жидкости за время dt

~fv (v dt) = V (j X В) dt.

Если рассмотреть движение жидкости в канале МГД-насоса, то работы Ej и fvv будут положительными, а разница между ними будет равна диссипации, т. е. рассеянию энергии движущихся электрических зарядов в результате их столкновений с другими частицами. Эта диссипация является джоулевым (омическим) нагревом. Для определения его величины раскроем значение электрического тока / в выражении Ej через обобщенный закон Ома (без учета скольжения ионов). Тогда

Ej = -Ç+~f ѵѵ.

Если рассматривать МГД-генератор в сравнении с МГД-насосом, то Ej и fvv будут отрицательными, а величина /2/сг по-прежнему будет положительной. По абсолютной величине fvv >> Ej, так как работа пондеромоторной силы тратится на создание энергии элек­ тромагнитного поля и на омический нагрев. В этом случае спра­ ведливо равенство

100

Интегральная форма записи уравнения энергии представляет собой математическую запись формулировки, изложенной на стр. 97 применительно к выделенному объему V:

V

В этой форме записи принято, что работа в единицу времени (мощность) внешних сил складывается из работы различных объем­ ных и поверхностных сил и механической работы. Мощность пондеромоторных сил магнитного поля входит в первый член выра­ жения, а работа сил трения — во второй член справа. Подведен­ ная к единице объема за единицу времени через окружающую поверхность теплота Q состоит из теплоты от теплопроводности QT,

конвекции QK и излучения С1 І Э Л : Q — QT + QK + С„3л- Теплота Qv выделившаяся в рассматриваемой единице объема за единицу времени, включает в себя теплоту джоулева нагрева С д ж , теплоту химических реакций Qx„„, теплоту реакции диссоциации С д н с с и ионизации Ql f 0 „:

Qv= Сдж ~\~ Схим ~г Qfliicc ~г" СионДифференциальная форма записи уравнения энергии применима

при изучении процесса в окрестности рассматриваемой точки. При этом необходимо, чтобы все функции, описывающие про­ цессы в окрестности этой точки, были бы непрерывны и диффе­ ренцируемы. В этом предположении дифференциальная форма записи получается из интегральной следующим образом: левая

V

В правой части уравнения (85) все интегралы по поверхности s преобразуются в интегралы по объему V, который включает в себя рассматриваемую точку. Затем объем V стремится к нулю.

Приток теплоты преобразуется по формуле Остроградского — Гаусса:

\ Qnds= J dlvQdV.

Для преобразования работы поверхностных сил в единицу времени конкретизируем геометрическую форму объема V. (Общ­ ность полученных результатов при этом не нарушается, так как

101

фактически мы проделаем вывод обобщенной формулы Остро­ градского—Гаусса). Выберем объем V в виде параллелепипеда (рис. 49), имеющего ребра Ах, Ay, Az. Подсчитаем работу в еди­ ницу времени поверхностных сил, действующих на поверхности рассматриваемого объема:

Напомним, что в каждом из этих интегралов я является нор­ малью к элементу поверхности ds, по которой идет интегрирова-

РА Ѵ+ ^(в, ѵ)Лх

Рис. 49. Работа поверхностных сил на гранях выде­ ленного объема

ние. Вычислим эти интегралы применительно к рассматривае­ мому объему V путем суммирования подынтегральной функции по шести граням объема V и умножения на площади граней.

В первом интеграле комплекс рхѵ cos (я, х) будет отличен от нуля только на гранях, перпендикулярных оси х, так как на других гранях cos (я, х) = 0. Пусть в пределах левой грани поверхностная сила и скорость постоянны и равны рх и ѵ, а площадь грани As = Ay Az, причем cos (n, x) здесь равен — 1 . В результате интегрирования получаем величину интеграла, рав­ ную —(px v) Ay Az.

Для правой грани скалярное произведение (рхѵ) может быть получено путем разложения его в ряд Тейлора (до второго члена) вблизи левой грани [cos (я, х) здесь равен + 1 ] . В результате интегрирования по правой грани получаем интеграл, равный

102