Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Итак, первый интеграл оказывается равным - ^ - (рхѵ) Ах Ay Az.

Аналогично вычисляют два других интеграла. В результате ис­ комый интеграл по поверхности рассматриваемого параллелепи­ педа может быть записан в виде

J рпѵ(к =

д (Рхѵ)

,

д (руѵ)

д (ргЪ)

AxAyAz.

s

дх

'

ду

dz

 

 

 

 

 

 

Проведем и для остальных интегралов уравнения (85) интег­ рирование по объему Ах Ay Az выделенного параллелепипеда. В силу малости этого объема будем считать, что все подынтеграль­ ные функции постоянны. Вынесем их за знаки интегралов, в ре­ зультате под интегралом остается только объем

J dV = AxAyAz;

V

сокращая его в уравнении (85), получим дифференциальную форму записи скалярного уравнения энергии для единицы объема:

d

 

 

д (рхѵ)

дІРуѵ)

д(ргѵ)

Pit ( e + i r ) =

^

+

дх

ду

dz

+

L

v +

divQ

•Oy.

(86)

Анализ уравнения энергии позволяет уяснить энергетическое взаимопревращение при движении жидкой среды. Запишем урав­ нение (86), раскрыв частные производные, которые являются ра­ ботой в единицу времени поверхностной силы, т. е. представив мощность сил трения (рпѵ) в вѵіде двух составляющих:

ÉL

— дѵ

—

дѵ . - dv , j . -~

dt '

P x ~дх

•Py

dy- + P dzz +

+ Р Itd

 

 

 

+

0.(87)

Нетрудно заметить, что нижняя строка представляет собой уравнение движения единицы объема, умноженное на скорость ѵ, поэтому она равна нулю. Следовательно, верхняя строка также равна нулю. Таким образом, в уравнении (87) представляется возможность проанализировать отдельно обе строки.

Скалярное произведение

дрх

 

дру

дРг

V может быть

 

 

 

дх

1

ду ' 1+dz

 

преобразовано подобно уравнению движения Навье—Стокса к виду

(dp»

I

д£у ,

д£г

V =

—V grad p

 

дх

'

ду

dz

 

 

 

 

+

- T T Ц grad (div v) - f ц (Au)

(88)

103

Напомним, что

 

 

 

 

 

 

•H

V =

Vj

- f Vyj

 

- f v~k.

 

 

 

 

 

 

 

P.V- =

cr.vi +

T

w

/ - f %Ji\

 

Pz = W

+ Та д / + <X,Â>

где

 

ï

n

dvx

 

2 ,. - .

°X = — P

 

+

2(i ^

-

-g" fi dlV 0,

=

—P +

2

^

-

- g- ц divu,

a2 =

—p - f 2ц ^

-

— ц div7;

 

т * *

^ V ду ^

 

дх ) '

Таким образом, нижняя строка уравнения (87)

р It

( " V ) =

І ѵ + Ä'"— " § r a d р +

 

-f-

- i -

grad (div v) -f- P-u (Ли),

(89)

a это означает, что полное изменение кинетической энергии еди­ ницы объема р - ^ " ( - т г ) происходит в результате:

1) механической (внешней) работы над объемом;

2) работы объемных сил [в случае пондеромоторных сил элек­ тромагнитного поля fvv = v (/ X В)];

3) перемещения объема под действием сил р неуравновешен­

ного

давления v grad p;

 

 

4)

перемещения

объема в результате

его увлечения

(тор­

можения) касательными составляющими

поверхностных

сил,

т. е. составляющими

сил вязкого трения или силами трения

[два

последних члена в уравнении (89)1. Часть мощности, затрачивае­ мая на преодоление сил трения, не переходит в теплоту (не днссипируется).

Итак, нижняя строка уравнения (87) может быть истолкована как уравнение движения для единицы объема без учета внутренних энергетических процессов в объеме.

104

Изменение энергии единицы объема вследствие внутренних энергетических процессов описывается верхней строкой уравне­ ния (87). Раскрывая в ней скалярное произведение, получим

— дѵ

-

 

дѵ . -

дѵ

 

 

, dv -

дѵ -. ,

да ,

 

 

 

ду

 

1

r z

dz

'

 

 

 

 

 

- s -

7 +

—

«

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÔZ

 

 

 

 

 

 

 

+

дД = —pdivü-f-дД,

 

 

 

(90)

где рД — скалярное

 

выражение;

 

 

 

 

 

 

 

рД

=

2р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ W

 

+

 

( 2 ^ ^

-

 

\

V- d ' v о) / +

V * ~dy"du

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jxdiv о

£

dvdz_

 

-*{*[№'+{%)'+{%)']~т«*-#+

 

 

 

 

 

 

 

 

V 5y

 

1

dx)

'

\

dx

dz

)

\

ôt/

 

dz /

J "

Таким образом,

верхняя

строка

уравнения

(87):

 

 

 

р

ds

+

pd\vv

-

=

|хД +

—

 

Qy,,

 

 

 

 

 

 

 

div Q +

 

 

а это означает, что полное изменение внутренней тепловой энер­ гии р —ду— единицы объема и работа р divu деформации единичного

объема под действием сил давления р происходит в результате:

1) деформации объема касательными составляющими поверх­ ностных сил, т. е. вязкими силами или силами трения, работа которых в единицу времени равна цД. Эта величина целиком переходит в теплоту и диссипируется в жидкости. Функция Д называется в связи с этим диссипативной функцией;

2)

подвода теплоты Q в объем

через его поверхность;

3)

выделения теплоты Qv

внутри объема.

Форма записи уравнения энергии через энтальпию і единицы

массы удобна при инженерных расчетах. Имея в виду, что

 

de = cv dT; di

— ср

dT; ср — сѵ = R

и используя уравнение состояния

RT = ~ р ~ . получим

 

de = cpdT — RdT

= di — d ( - | - ) .

105

Подстановка de в уравнение (86) дает:

+ l(P£)+Lv

+ d-lvQ + Qv_

Дифференцируем первый член правой части выражения:

р Л \ р /

Й

Р dt

dt

 

6Г"Ч "

p

d < •

Величину dp/d^

находим

из

уравнения неразрывности

 

$

+

p divü

= 0 .

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p~d7 ("£") =

W +~vëraàp

- f p d i v ü .

 

 

В случае стационарности

процесса

=

0 и

с

учетом соот­

ношений (88) и (90)

уравнение для энтальпии

принимает вид

р Чі (' + "Т") = ^

+ [ 4 " g r

a d ( d i v ^ + ц Л "] " +

 

+

+

^

+ divQ +

Qy.

 

 

(9.1)

В соответствии с физическим смыслом уравнений (87) и (89) можно сказать, что мощность трения, равная

31 p,grad (div V) - j - Ц Av V,

идет на увеличение кинетической энергии •—- единицы объема,

а мощность трения, равная \хД— на увеличение его теплосодер­ жания рі.

Уравнение энергии, выраженное через изменение энтропии s, может быть получено из уравнения (87) с использованием соотно­ шения

Tds = dB + pd (-J-j и уравнения неразрывности

dp dt

Преобразование приводит pк divрезультатуи = 0.

pT^- = d\vQ±iiM + Qv,

(92)

показывающему, что рост энтропии обусловлен подводом теплоты, работой сил трения и тепловыделением.

106

При изоэнтропийности движения указанные факторы отсут­ ствуют и ds = 0. Из термодинамики известно, что энтропия

s = cv

In

i^irj + const,

отсюда

 

 

ds =

^jd

( 4 ) = 0.

Проинтегрировав выражение в пределах изменения состояния

системы, имеем:

 

 

4

=

const.

Pft

 

Полученные различные

формы дифференциального уравнения

энергии можно проинтегрировать вдоль линии, выбранной в жидко­ сти. Наиболее интересным является случай, когда за линию ин­ тегрирования выбирается струйка тока.

Уравнение энергии для струйки тока в предположении, что все факторы, описываемые членами в правой части равенства (91), 'отсутствуют, получается из условия

Интегрирование дает i + - T J - = const. Остается показать, что

величина const во всех точках вдоль линии тока одна и та же. Положим, что движение стационарно, тогда от полной произ­

водной остается только составляющая конвективная, отражающая изменение от координат

ygrad ( t + 4 ) =

°-

 

Это условие означает, что вектор

grad

+nFr ) в каждой

точке направлен перпендикулярно скорости у, т. е. он везде пер- •пендикулярен линии тока. Поэтому величина i -f- -^- будет вдоль

всей линии тока сохранять одно и то же значение.

Обратим внимание на то, что такой же результат был получен при интегрировании уравнения движения вдоль струйки тока.

§ 13. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ~в И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВИХРЯ со

Совместное рассмотрение уравнений, описывающих электро­ магнитное поле, и уравнения обобщенного закона Ома дает воз­ можность получить зависимость, связывающую вектор магнитной индукции ß только с координатами х, у, г, временем t и скоростью и.

107

Смотрите также файлы