Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

В это уравнение не будут входить действующие силы (возникаю­ щие от наличия электропроводности) и это позволяет анализи­ ровать дополнительные кинематические особенности электро­ проводящей жидкости, движущейся в магнитном поле.

Уравнение индукции выведем, используя уравнения (1)—(3)

r o t # = o-£-j-o-(â X В).

Найдем Е и подставим в уравнение (2), в результате получим искомое уравнение для магнитной индукции:

вынести за знак операции rot. Дважды примененная к вектору В операция rot может быть представлена в виде

rot (rot В) = grad (div ß) — Aß.

С учетом уравнения (4) уравнение для магнитной индукции принимает вид]

Точно такую же структуру имеет обобщенное уравнение Гельмгольца

для гидродинамического вихря скорости со = - у rot ѵ при дви­ жении жидкости, имеющей кинематическую вязкость ѵ, когда: 1) массовые силы fm имеют потенциал; 2) процесс в жидкости баротропный, т. е. когда плотность является функцией давления

Р = / (Р).

108

Таким образом, результаты, следующие из рассмотрения урав­

в результате рассеивания их в пространстве, т. е. вследствие процесса диффузии.

Эти утверждения рассмотрены будут более подробно, а сейчас придадим уравнению индукции вектора В (вихря со) еще одну

Из такой формы записи уравнений следует, что полное изме­ нение вектора магнитной индукции и вихря также определяется

виде облегчает отдельный анализ процессов диффузии и кон­ векции. Представим каждую величину, входящую в уравнение (93),

109

Из-под знака производной -щ- выйдет масштабный множитель

или

= r o t ( ' 0 x ß ) + ^ - A 5 ,

где Rem =

Очевидно, что для гидродинамического вихря ю безразмерное уравнение будет иметь вид

Если же процесс диффузии преобладает над процессом конвек­ ции, то -p-î— ^> 1, т. е. Rem <^ 1. В данном случае характерный безразмерный комплекс

Rem = Т~ = ѵ1^та^

называется магнитным числом Рейнольдса (по аналогии с гидро­ динамическим числом Рейнольдса Re = vl/v).

Рассмотрим отдельно процессы конвекции и диффузии. Для

определенности будем рассматривать вектор В.

Конвекция вектора индукции магнитного поля В наиболее четко проявляется в движущейся среде, когда в ней велико ма­ гнитное число Рейнольдса Rem . Это возможно, в частности, при больших значениях электропроводности о, когда явление конвек­ ции резче проявляется в жидких металлах, чем в ионизованных газах. При полном отсутствии процесса диффузии явление кон­ векции приводит к тому, что магнитное поле перемещается вместе с движущейся электропроводной жидкостью, а если движется магнитное поле, то оно приводит в движение жидкость.

ПО

В рассматриваемом случае (когда число Rem велико) говорят об эффекте «вмороженности» магнитного поля в среду, поэтому

Для конвекции гидродинамического вихря со необходимо, чтобы было велико гидродинамическое число Re, это будет, в част­ ности, при вязкости, равной нулю.

Рассмотрим на примере вектора В магнитной индукции тео­ рему, имеющую место при больших числах Rem .

Рис. 50. Эффект «вмороженности» магнитного поля в проводящую среду

При движении жидкости с бесконечно большим магнитным числом Рейнольдса поток вектора В магнитной индукции через любую «жидкую» поверхность s не изменяется с течением времени.

В частности, это означает следующее: пусть в начальный мо­ мент времени tx взята какая-либо «жидкая» поверхность s, це­ ликом состоящая из магнитных силовых линий вектора индук­ ции В (рис. 50). Поток J Вп ds в момент времени tx равен нулю

s

в силу того, что в каждой точке поверхности векторы В и п пер­ пендикулярны. Согласно сформулированной теореме этот поток

торы индукции В и /г взаимно перпендикулярны в каждой точке поверхности s. Следовательно, эта поверхность в любой момент времени состоит из магнитных силовых линий, которые оказались как бы «вмороженными» в частицы жидкости, составляющие ее.

Если условие Re,„ —> сю не соблюдается, то жидкость при дви­ жении проскальзывает через магнитные силовые линии, или же можно сказать, что магнитное поле диффундирует внутрь объема вещества, выделенного для рассмотрения.

Подобная теорема для гидродинамического вихря со скорости известна как вторая теорема Гельмгольца о вихрях.

111