Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

В случае, если жидкость идеальна, массовые силы имеют по­

(Знак минус у первого члена означает, что для нижней поверх­ ности угол между нормалью л н и вектором В тупой).

Интеграл по боковой поверхности s60 K с учетом того, что пбок ds = dl X (v At), преобразуем так:

112

Итак,

Добавим к этому равенству члены ± | В (tx) па ds, в которых

величина В взята в начальный момент времени t1. Перегруп­ пируем и разделим полученное уравнение на At, тогда

Первые две дроби представляют собой полную и частную про­ изводные, если величина Ar стремится к нулю

Так как подынтегральные функции непрерывны и дифферен­ цируемы, в первом интеграле можно поменять порядок интегри­ рования и дифференцирования, а во втором выполнить преобра­ зование по теореме Стокса. Тогда

Это и является математической формулировкой нашей теоремы. Для формирования производных было использовано условие,

что жидкость состоит из одних и тех же частиц жидкости.

Диффузия вектора индукции В магнитного поля наиболее четко проявляется в электропроводной среде, когда мала величина

чине электропроводности а. Уравнение индукции в этом случае имеет вид

g - = v m A ß .

Известно, что такое дифференциальное уравнение описыв-ает закон распространения (диффузии) рассматриваемого параметра (в данном случае магнитного поля В) в неподвижной среде. Ис­ ходя из такой трактовки процесса диффузии, величину ѵ„, следует

_ = ѵ Дсо,

а величина ѵ является коэффициентом диффузии вихря. При рассеянии вихря его кинетическая энергия гасится силами трения и переходит в теплоту, нагревающую среду.

Докажем важную теорему о сохранении циркуляции скорости по замкнутому «жидкому» контуру.

Теорема Томсона. Если массовые силы имеют потенциал, жидкость идеальна и течение баротропно, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру остается постоянной при движении жидкости.

Предположим, что среда и поле скоростей непрерывны. Для доказательства теоремы выделим в движущейся жидкости линию, состоящую из одних и тех же частиц, т. е. «жидкую» линию AB' (рис. 52). В силу непрерывности среды и поля скоростей через

вектора скорости ѵ вдоль AB, где ôr берется вдоль «жидкой» линии.

114

Составим производную по времени от этого интеграла:

Используя уравнение движения в форме Эйлера в векторной записи

преобразуем выражение (100) и получим, что

По предположению массовые силы имеют потенциал, т. е.

Im = grad U.

Очевидно, что

fmôT = grad c/Sr = % ôx + | - by - f ^ ôz = W;

grad p-ôr = ôp; u&v = -|- .

Подставляя эти выражения в формулу (100), получим

J i

или

W - U B — UA — j — +

Таким образом, изменяется значение интеграла, взятого вдоль «жидкой» линии AB.

Если точки А и В совпадают, т. е. «жидкая» линия AB замы­ кается, то интеграл / дает циркуляцию Г вектора скорости по замкнутому контуру.

Используем последнее предположение о баротропности течения жидкости, т. е. возьмем зависимость плотности только от давления.

В этом случае - ^ - = /(/?) и интеграл по замкнутому контуру

так как в одной и той же точке не может быть двух разных давле­ ний.

Следовательно, получаем - ^ - = 0, т. е. Г = const. Теорема

доказана.

Отсюда следует, что если в идеальной жидкости при баротроп- • ном и непрерывном течении и при наличии потенциала массовых сил в начальный момент времени не было вихрей, то их не будет

ив дальнейшем.

§14. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

В сжимаемой жидкой среде могут возникать от тех или иных

объему, занимаемому средой, с вполне определенной скоростью, которая будет отлична от скорости движения самой среды.

Под малым возмущением будем понимать такое изменение началь­ ного параметра среды (например, давления р), при котором абсо­ лютная величина изменения параметра (возмущение давления р') неизмеримо мала по сравнению с исходным его значением в данной

с рассматриваемым параметром, возмущение называется конеч­ ным.

Малые возмущения распространяются по среде в виде волн. Например, распространение волны малых возмущений давления воспринимается нами как явление прохождения звука. Физически явление это происходит так. В состоянии покоя (t = /„) частицы в газе (рис. 53) распределены равномерно. Выделим в газе на­ правление и рассмотрим поведение частиц, например на оси х, когда в точке 0 возникнет повышение давления. Из-за сжимаемости частицы газа, расположенные вблизи точки 0, уплотнятся, а частицы, расположенные на некотором удалении, пока никак не

116