Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

уплотнения все новым и новым частицам иа оси х. В тех же местах, где волна уплотнения прошла, частицы снова возвращаются в ис­ ходное состояние (t = t3). Обычно скорость распространения зву­ ковой волны обозначают через а.

Изменение давления в звуковой волне приводит к изменению плотности р среды. Однако в силу быстроты происходящего яв­ ления можно считать, что частицы не успевают обмениваться энер­ гией, так что рассмотренный процесс адиабатичен. Это предполо­ жение подтверждается опытом.

О

О

О

В электропроводящем газе, находящемся в магнитном поле, разобранное звуковое возмущение связано также и с возмущением магнитного поля. Кроме того, возможны при этом и специфические возмущения параметров (волна Альвена), не существующие в элек­ трически непроводящем газе.

Рассмотрим свойства малых возмущений с помощью общих уравнений движе­ ния электрически проводящего газа, находящегося в магнитном поле, характери­ зуемом вектором магнитной индукции В. Если не изучать вопрос, каким образом затухают малые возмущения, то можно отбросить все диссипативные явления. Будем полагать, что вязкость жидкости равна нулю (ѵ = 0), ее электрическая проводимость бесконечна (сг -> оо), газ нетеплопроводящий (Я, = 0) и все тепловые потоки Q отсутствуют; так как проводимость бесконечна, отсутствует и выделение джоулевой теплоты Qy. Эти ограничения позволяют записать необходимые основ­ ные уравнения:

уравнение движения с учетом выражений (62) и (51)

І17

Будем полагать, что каждая переменная в этих уравнениях может быть представлена в топ точке, через которую проходит в данный момент волна возму­ щения в виде суммы постоянного невозмущенного параметра (обозначенного нулем) и переменного малого возмущения (обозначенного штрихом):

Для простоты будем рассматривать неподвижную жидкость (ѵп = 0), а поле В0 •будем считать лежащим в плоскости дг, у, так что В0 (Вох, В0у, 0). Заранее никаких ограничений на возмущения накладывать нельзя, так как их следует считать функциями координат х, у, г и времени t, поэтому векторами возмуще­ ния скорости и магнитного поля будут v' [у'х, v', v'^j и В' (В'х, В', B'J

Система пяти записанных выше уравнений позволяет определить:

1)какие типы малых возмущений могут существовать и каковы их свойства;

2)каковы скорости распространения малых возмущений.

* - ( $ ) , * + ( £ ) . * •

Введем обозначение

/ Яг> \

(104)

= const

С учетом уравнения (92) и условий (103) запишем используемое в дальнейших преобразованиях соотношение

Система уравнении для определения возмущения получается из пяти исход­ ных уравнений при подстановке в них выражений (103):

Особенности данной подстановки заключаются в следующем: во-первых, при дифференцировании исчезают постоянные значения невозмущенных параметров, например в уравнении (102)

rot В = rot (В0 + В') = rot В0 + rot В' = rot В',

при этом rot В0 = 0, так как В0=. const;

во-вторых, производится линеаризация, т. е. в уравнениях сохраняются величины только первого порядка малости, а величины второго и высшего поряд­ ков отбрасываются.

118

параметры сохраняют постоянное значение, т. е. производные —^- и - ^ - равны

11&

нз уравнения (108) индукции

ар'

Произведем в первом из уравнений (ПО) замену в члене -~—, используя соотношение (105), в результате чего это уравнение примет вид

Дальнейшее рассмотрение полученной системы проведем прежде всего для

того частного случая, когда магнитное поле отсутствует (В = 0). Возмущение параметров среды при отсутствии магнитного поля (обычная

гидрогазодинамика) будет описываться только такими уравнениями:

Интегрирование второго и третьего уравнении (114) показывает, что в приня­ той схеме распространения малого возмущения (плоской волной) возмущения скорости ѵ' и ѵ'г постоянны. Если первое из уравнений (114) продифференциро-

120