Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

изображено графически возмущение р' как в момент времени t

=

0, так и через

некоторый

промежуток

времени

At в момент времени t=

tu

Проведем

также

ось X, которая совпадает по направлению с осью х,

но для удобства изображена

ниже этой оси. В момент времени t =

0 фиксированной точке х0

оси х, в которой

находится

возмущение р', соответствует по формуле X =

х — at точка оси X,

также численно равная значеншоХ0 = ,ѵ0. В момент времени tx

точке ,ѵ0 оси х

будет по формуле X = х—at

соответствовать

точка

на осп X,

численно

рав­

ная значению (А-0—atx).

На рис. 54 это положение

изображено

со

смещением

в точку t\ оси времени t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Координатная

ось

х — неподвижна,

следовательно,

рассмотренное

соот­

ветствие точек

 

на

осях

х и X возможно только в случае

движения

оси X

вдоль

положительного

направления

оси

х со

скоростью

а.

Поскольку

в движущейся системе координат

(p', X)

постоянное возмущение

не зависит от

времени t, то скорость а

 

,

 

 

,

 

 

 

 

 

 

будет

являться

 

скоростью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

распространения

малого воз­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мущения

вдоль

 

положитель­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ного направления оси х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

След

волны

возмущения '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оставляет

на плоскости (х, t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линию,

уравнение

которой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х^

имеет

вид

х — at =

const.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вдоль

 

этой

линии

зна­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чение

возмущения

сохраня­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ется постоянным;

на

этой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линии

интеграл

волнового

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения

 

принимает

по­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стоянное

значение.

Линия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X—at = const называется ха­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рактеристикой

волнового

ура­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

внения.

Часто

говорят,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

малые

возмущения

распро­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

страняются

вдоль

своих ха­

 

Рис.

54.

Распределение малого

возмущения

рактеристик.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скорость распространения малых возмущений а называется

скоростью

распространения

звука,

а

рассмотренный тип возму­

щений — звуковой

волной.

Согласно

принятому

ранее

обозначе­

нию (104): а =

У dpi dp.

Опытные данные показывают, что в сжи­

маемом газе процесс распространения звуковой волны является

адиабатическим, т. е. plpk

= const. Если газ подчиняется уравне­

нию состояния p =

pIRT,

то plpk = const и тогда

т. е. скорость звука

зависит от свойств газа и его температуры

в рассматриваемой точке.

Если газ не подчиняется уравнению pip = RT, то в техниче­ ских задачах уравнение состояния часто записывают в виде p/p = zRT и скорость звука в реальном газе определяют по формуле

а = УЩДТ,

где k0

( діпр

\ =

объемный

показатель адиа­

\д\пѵ

Л

 

 

 

баты; пт

= — (di n pld In ѵ)т — показатель

изотермы; z — коэф­

фициент

сжимаемости (см. гл. I).

 

 

121

В несжимаемой жидкости, для которой величина

dpidp —* оо,

значение скорости звука бесконечно велико.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Различная скорость распространения бесконечно малых воз­

мущений

в жидкости

и

газе

(а —> оо или

а =

У dp/dp)

влечет

 

 

 

 

за собой существенные

изменения

 

поля

 

 

 

 

обтекания тела потоком газа по сравне­

 

 

 

 

нию

с

потоком

жидкости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В несжимаемой жидкости поле ско­

 

 

 

 

ростей

и давлений

вокруг

 

тела

уста­

 

 

 

 

навливается

 

мгновенно,

в

 

сжимаемой

 

 

 

 

жидкости

 

постепенно

 

(со

 

скоростью

 

 

 

 

звука), по мере того, как упругие воз­

 

 

 

 

мущения от поверхности тела дости­

 

 

 

 

гают все более удаленных областей по­

 

 

 

 

тока. Однако в дозвуковом и

сверх­

 

 

 

 

звуковом

потоках

поле

распростране­

 

 

 

 

ния малых

возмущений

различно. По­

 

 

 

 

ясним это на примере движения в газе

 

 

 

 

с различной

скоростью

материальной

 

 

 

 

точки (рис. 55). Малое изменение давле­

 

 

 

 

ний, возникшее в покоящейся точке,

 

 

 

 

распространяется

во все стороны равно­

 

 

 

 

мерно со скоростью а и через

время

t

В м

 

 

будет находиться на сферической по-

\

 

верхности радиуса at. Пусть точка нач-

—

j

J—

 

нет двигаться

со скоростью ѵ, меньшей

 

 

 

 

скорости

звука

а. За

время t возмуще­

 

 

 

 

ние,

исходящее

из

точки,

 

достигнет

 

 

 

 

сферы

радиуса

г — at, а

источник

воз­

 

 

 

 

 

 

 

мущений

сместится

за

это

 

 

 

 

 

 

 

время

на

отрезок

vt и,

сле­

 

 

 

 

 

 

 

довательно,

 

при

скорости

 

 

 

 

 

 

 

V

<

а останется

внутри

воз­

 

 

 

 

 

 

 

мущенной

области.

 

Таким

 

 

 

 

 

 

 

образом,

возмущения

опере­

 

 

 

 

 

 

 

жают источник. Это означает,

 

 

 

 

 

 

 

что

 

линии

тока

 

начинают

 

 

 

 

 

 

 

перестраиваться

уже

перед

 

 

 

 

 

 

 

источником

возмущений

и

Рис. 55. Движение точечного

источника

движущимся

телом.

 

 

 

 

 

 

При

скорости

 

V =

а

ис­

. возмущений в

газе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точник

возмущений

 

будет

 

 

 

 

 

 

 

все время находиться

на сфе­

рической поверхности постоянного возмущения радиуса

 

r=vt=at.

Возмущенная

область

будет

отделена

от

невозмущенной

 

пло­

скостью,

перпендикулярной скорости

движения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

случай

движения

 

 

точки

со

 

скоростью

122V > а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как источник возмущения движется с постоянной ско­ ростью, то пройденный им путь пропорционален времени и ра­ вен vt, радиус сферы возмущений тоже пропорционален времени и равен at. Сферические поверхности возмущений, соответствую­ щие положениям источника в разные моменты времени, имеют поэтому огибающую поверхность в виде конуса возмущений (гра­ ничной волны, звуковой волны, характеристики). За пределы конуса возмущения не проникают.

Если точка неподвижна, а поток движется со скоростью ѵ >• а, то наблюдатель, находящийся вне конуса, не услышит звук от движущегося источника.

Угол при вершине конуса

at

1

vt

M

Возмущение параметров электропроводящей среды при нали­ чии магнитного поля описывается системой уравнений (110)—(113). Прежде всего из первого уравнения (112) и уравнения (113) сле­ дует, что проекция вектора возмущения магнитного поля наось х постоянна как вдоль направления распространения возмущения, т. е. по оси x, так и во все время движения:

В'х = const.

Совместить эти два условия можно только тогда, когда const =

= 0. Поэтому во время

распространения возмущения вдоль всей

оси х величина Вх будет

постоянна.

 

Оставшиеся уравнения

разобьем

на две группы:

дѵ,

 

Box

 

 

 

дх

dt

 

Р о ( Ц / п а ) о

 

 

 

(П8)

 

dt

дх

 

dt

а-

ар'

 

 

Вру

, ЛИ*

"Р7

дх

Ро

(Мліа)о

дх

 

 

 

дВ'„

 

 

dl

 

Вп

 

 

 

 

 

Po ( И т а ) о

 

 

дх

 

(П9)

 

др'

 

 

 

дѵ'ѵ

 

 

=

~ Ро-

 

 

 

dt

 

X

 

 

 

dB,

 

 

 

дх~

 

 

 

 

дѵ±

 

 

На*.

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

В Ох' дх

 

 

В °У

дх

 

В группу уравнений (118) входят переменные ѵ'г, B'z, а в группу

уравнений (119) — переменные ѵ'х, ѵ'у, В'и,

р'. Для каждой группы

уравнений будут получены свои независимые волновые уравнения-

123

Это означает, что возмущения ѵ'г, B'z и ѵх, ѵу, ßy, p распростра­ няются независимо одно от другого. Скорости их распространения получили названия альвеновских (магиптогидродинамических) и

магншпозвуковых соответственно.

Альвеновская волна является специфическим явлением магнит­ ной гпдрогазодинамнки и не имеет аналога в обычной гидрогазо­ динамике. Путем дифференцирования первого уравнения (118) пол', а второго по t, а затем наоборот, может быть получено два волно­

 

вых

уравнения:

 

 

 

д%

=

иАх

д'в,

 

 

 

 

 

дГ-

дх-

 

 

dt-

—

UАх

дх-

 

где иДх=В0хіу

Po((xma)o—

 

скорость

 

распростране­

 

ния

м а гн итог идроди и а-

 

мической

волны

вдоль

 

оси

X.

 

 

 

 

 

Как

видно

в

альве-

Плоскость волны

новской

волне

 

изменя­

 

ются только скорость и

Рис. 56. Волна Альвена

магнитное

поле. Термо­

 

динамические

парамет­

ры—плотность и давление при таких возмущениях неизменны, сле­ довательно, волна Альвена возможна и в несжимаемой жидкости.

Напомним, что в принятой нами схеме распространения воз­

мущения (рис. 56) вектор В0

в начальный момент времени лежит

в плоскости ху, а жидкость

неподвижна. Возникшие возмущения

v'z и B'Z перпендикулярны в рассматриваемый момент как к направ­ лению вектора В0 магнитного поля, так и к направлению движения самого возмущения. В этом смысле альвеновская волна — волна поперечная. Скорость ее движения вдоль оси х равна проекции век­

тора UA =

BJYPQ

(і1тв)о> являющегося

«групповой» скоростью

волны, на

эту ось.

Если вектор В0 поля

перпендикулярен оси х,

то передвижение альвеновского возмущения вдоль оси х отсут­

ствует.

 

 

Решение уравнений

(118)

приводит к зависимости

 

 

в'

v =

 

-j- const,

2

У

Ро ( И т а ) о

так что возмущение скорости вызывает возмущение магнитного поля и наоборот.

Возникновение волны Альвена может быть пояснено простым рассуждением. Предположим, что вектор В0 совпадает с осью х {рис. 57) и пусть в точке А в неподвижной жидкости возникла

124

пульсация скорости ѵ'г. В результате взаимодействия пульсации v'z с вектором В0 магнитного поля вблизи точки А возникнет местный электрический ток / м = a (ѵг X ß 0 ) , который замыкается двумя петлями, лежащими в плоскости ху.

Взаимодействие тока / м с полем ß n вызовет в окрестности

точки А пондеромоторную силу fv = / M ß 0 . тормозящую рассма­ триваемый объем и гасящую пульсацию ѵ'г в этой точке. В окре­ стностях же точек D и С возникшая пондеромоторная сила вы­ зовет пульсации скорости в направлении оси z и т. д.

Таким образом, возмущение скорости v'z, возникшее в точке А, начнет распространяться в обе стороны от этой точки параллельно силовым линиям поля В0.

Пульсация скорости приве­ дет также и к пульсации

поля B'z.

 

 

 

 

 

С

 

 

 

Магнитозвуковые

волны

 

 

J

r i

 

(быстрая

и медленная

волна)

 

 

 

 

 

являются еще двумя возмож­

 

 

 

 

 

 

ными

типами

возмущений,

 

 

 

 

 

 

существующих в проводящей

 

 

 

 

 

 

жидкости. Обратимся к урав­

Рис.

57.

Возникновение

магнитогидроди-

нениям

(119),

продифферен­

 

 

намической

волны

 

цируем первое и второе из

 

 

 

 

 

 

них по времени t и подставим

в

них значения дВ'у/dt

dp'ldt

из

третьего и

четвертого

уравнений:

 

 

 

 

dt2

 

 

У +

 

0!

Bby

dx-

 

 

 

Ро

(И'"а)о

 

( N a ) o

 

 

 

dx2

 

Po

(120)

 

 

 

ид VУ

в 1

d-vУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

Po (tlma)o

dx2

 

Po (Pma)o

dx2

 

 

Аналогично продифференцируем третье и четвертое уравнения по времени и подставим в них значения dv'Jdt и dv'yldt из первого и второго уравнений:

d-p'

= a"

d2P'

В

d'By

 

ât-

dx2

 

dx2

(121)

 

B0ya2

 

4

d2B

 

 

 

dt2

Po

dx2

Po ( № ) o

dx2 y

 

Таким образом, для двух пар переменных получаются две пары связанных волновых уравнений. Представляет интерес скорость плоской волны, с которой распространяются рассматриваемые возмущения. Найти эту скорость можно следующим образом. Рассмотрим систему уравнений (121). Будем считать, что пере­ менные р' и By описываются комплексными выражениями вида:

р'е''<**-<•»>; By Ву&

(122)

Смотрите также файлы