Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Эта запись соответствует закону изменения переменной ве­ личины, распространяющейся плоской волной. Здесь р' и ~В'У —

следовательно, и = со//г представляет собой скорость (фазовую) движения плоской волны вдоль оси x, которую нам надо вычис­ лить на основе анализа волновых уравнений (121).

Для этого подставим выражения (122) в уравнения (121). Выполнив дифференцирование, получим систему двух уравне­

ний относительно амплитуд р' и В'у:

Найдем фазовую скорость и. Для этого воспользуемся условием существования нетривиального решения данной системы уравне­ ний. Оно состоит в том, что определитель, составленный из коэф­

126

где

« A = ВаіУ Po ( [ i m a ) 0 ; = ^ О . / / Po (И - та)о -

Аналогичный результат получается и из рассмотрения урав­ нений (120).

Таким образом, получено уравнение, из которого можно опре делить величину фазовой скорости и. Напомним, что корни биквад­ ратного уравнения

X4 +рх* + q = 0

аих

медленной магнитозвуковой волне. Существование этих волн

127

а медленная магнитозвуковая волна исчезает с исчезновением магнитного поля:

иы— > 0 при В —> 0.

Сравнительное представление о соотношении трех типов ско­ ростей дает диаграмма на рис. 58. Магнитное поле В0 на ней на­

В ионизированном газе существует явно выраженная ани­ зотропия в распространении малых возмущений. Это отчетливо иллюстрируется диаграммой (в частности, из диаграммы видно, что когда возмущение распространяется перпендикулярно ма­ гнитному полю, альвеновская и медленная волны исчезают и остается только быстрая магнитозвуковая волна). Когда распро­ странение возмущения идет параллельно магнитному полю, су­ ществуют все три типа волн.

§ 15. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ

Основные уравнения

В различных технических задачах приходится иметь дело с так называемыми скачками уплотнения или ударными волнами. Скачки уплотнения возникают в сверхзвуковых потоках при на­ ложении малых (звуковых) возмущений как при внешнем обте­

Рис. 59. Образование скачков уплотнения:

а — при внешнем обтекании; б — при течении D к а н а л е

кании тел (рис. 59, а), так и при течении в каналах (рис. 59, б). При детальном анализе структуры скачка уплотнения было най­ дено, что параметры газа при переходе через скачок изменяются чрезвычайно резко (рис. 60). Толщина скачка А составляет не­ сколько длин свободного пробега молекул и измеряется в ангстре­ мах. Практически область перехода через скачок можно считать

128

математически тонкой поверхностью, при этом параметры газа на ней терпят разрыв. В этом случае для анализа течения через ска­ чок нельзя воспользоваться дифференциальными уравнениями не­ разрывности и движения, которые были выведены выше для непрерывного распределения параметров потока по координатам и времени.

Для решения задачи при наличии поверхности разрыва рас­ смотрим три основных уравнения механики: уравнение сохране­ ния массы, уравнение импульсов и уравнение сохранения энергии в применении к массе газа в объеме V с поверхностью s, которая

и напряжениями сдвига пренебрегаем, т. е. рассматриваем не­ весомую невязкую среду.

Уравнение энергии для выделенной массы газа запишем в виде

для каждого из трех основных уравнений соответственно. Найдем соотношения между параметрами газа до и после скачка

уплотнения, которые называются уравнениями динамической со­ вместности параметров при скачке.

Уравнения динамической совместности

Рассмотрим произвольную поверхность скачка в потоке газа, текущего слева направо (рис. 62). Пусть ѵ1 — скорость газа до скачка, a ѵ2 — после скачка. Поверхность скачка в общем слу­ чае нестационарной задачи может двигаться относительно стенок сопла или относительно обтекаемого тела. Обозначим через N нормальную составляющую скорости самой поверхности скачка, а через Ѳ нормальную составляющую скорости распространения

скачка по газу. Величина Ѳ обратна по знаку нормальной составляющей отно­ сительной скорости wn газа при пере­ ходе через скачок, т. е.

130