Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Рассматривая

правую

часть уравнения

(123) для

поверхности

s объема

V в

процессе

перехода

через

поверхность

скачка

при

t1 <С t

<

t2,

запишем

J en ds —

j

en ds J r

J en ds —

f с/г ds +

j

cn ds

-J-

\ ends —

s

( s i ) H e 3

dfi

d'f,

( s 2 ) H e 3

df.

—

^ ends =

j

cn ds -|-

j с/г ds —

j

cn ds — [с/г ds,

«V.

( s , ) 3 a M

( s . ) a a M

dh

df,

где

(s),i e3

— незамкнутая

поверхность;

(s)3 a M — замкнутая

по­

верхность.

Первые два интеграла берутся по замкнутым поверхностям и

дают нуль, так как величины с в них могут быть вынесены за

знак

интеграла.

В

результате

получаем, что

и

— J" dt

J

ends — — (с2 — Ci)df

dtn0.

—(6а Ѳ2 — bfij) df dt

=

— (сa — Ci) df

dtn0

или

bSo— O A =

(c2

— Ci) n0.

(124)

хранения массы

р 2 Ѳ 2

— p1Q1

= О

или

рѲ =

const,

(125)

или

р2 г/2 Ѳ2

— PiV1Q1 = (р2

— Pl) п0

или

рѲ(о2 — ѵ1) = (р2 —

Pl)n0.

Проектируя

последнее

выражение

на нормаль и

касательную

к поверхности

скачка, найдем.

рѲ(^2« — ѴЩ) =

(РІ — Pi)

0 26)

и

рѲ (v2t — vv)

=

0.

9'

131

няются. При повышении

давления

в скачке, т. е. при

р 2

>• р х ,

нормальная проекция скорости ѵ.ы

после скачка меньше,

чем ѵ1п,

поскольку в нашем случае Ѳ -<0.

Если изменить направление нормали на рис. 62, то получим,

что Ѳ >

0 н ѵп

< 0 ,

а

вывод

сохранится.

получим

соотношение

Для

уравнения

сохранения

энергии

Р Ѳ

- j - сѵТ.2

=

(РМп

—

РіЩп)-

(] 27)

Подставляя

вместо

ѵѣ

= N — Ѳ и заменяя

сѵТ

= k__

,——

после несложных преобразований

получим

Р2

_

I _ 1

4-

к

PÎ — Pi N

(128)

1

2

r

k — 1 p i

или

Tl-T\

=

k— 1

p 2 — P i

N.

Rk

рѲ

Ударная

адиабата.

Скачки уплотнения

При

переходе

через поверхность скачка уплотнения плот­

ность и давление

резко изменяются. Процесс перехода является

ражение (126)

на сумму (ѵ1п

-\- ѵ2п) и учитывая, что ѵи

= ѵ21,

получаем

ѴІп —

v\n = vi — О? =

-^- (p-2 — pi) (üi„ + V2n).

{1 29)

заменив 2N = (Ѳх -|-Ѳ2 ) +{vln

- j -

ѵ2п)

и сравнив

с выражением

(129),

будем иметь

« " - * > ( і + і ) + ^ т ( ^ )

= °

или

fe+1

EL

k+1

P i

(130)

/h

P 2

k— 1

P l

Уравнение

(130) называется уравнением

ударной

адиабаты или

адиабаты

Гюгонио.

Обычная адиабата или адиа­

А

бата

Пуассона

описывается

5

уравнением

диабаз.

«

EL

ѵ£у

-

PI

3

s

На рис. 63 дано

графическое

изображение этих адиабат. Не­

/

трудно

обнаружить,

что в точ­

ке р2 /рі = 1 обе адиабаты сов­

падают с точностью до кривиз­

ны, т. е. совпадают

их первые и

«7

/5

EL

вторые

производные.

Ударная

Р,

адиабата

имеет асимптоту

при

Рис.

63. Обычная и ударная

адиабаты

pJPi

=

(k +

\)l(k—

1 ) ,

кото­

рая

означает,

что

плотность

газа остается

конечной

величиной

даже при стремлении pjpx—>oo.

Это связано

с

возрастанием

температуры Т при скачке, так

как

Р

В

естественных

условиях

возникают

только

скачки

уплот­

нения. Скачки разрежения в этих условиях

невозможны.

Для

доказательства этого

положения

обратимся

к

выраже­

нию

для

энтропии

совершенного

газа

s =

с „ 1 п 4

4- const.

При

необратимых

процессах

As = s0

s1

=

cvln——->0.

Pi/Pi

РъІРх _

( Р а / Р і ) у д ^

]

( Р 2 / Р 1 ) *

( Р г / Р і ) о б

ИЛИ

(Ii)

>

( £ L ) .

V P i / у д

\ P i / о б

Отношение

давлений

в ударной адиабате превышает

отношение давлений (-у-) б

в

обычной

адиабате только при

1 (рис.

63).

Рі

^і-к-і)

О -

( І З , )

Подставляя в выражение (131) отношение давлений из фор­

мулы

(130) и делая

преобразования,

имеем

2

Рг_

2

k — 1

Pj

k — 1

p2

Если отношение плотностей

—> 1, то 0! —> ах.

При — > 1

получим

Qx i > Oj.

P i

сильный

скачок

P i

Следовательно,

уплотнения

( - j p i > l )

распространяется по газу со сверхзвуковой

скоростью

Фі>

аг).

Если где-то произошел сильный взрыв и образовалась взрыв­

ная волна, то воздух при этом практически остается

неподвижным,

т. е. ѵп

0, тогда Ѳ ^

N, взрывная

же волна движется со сверх­

звуковой скоростью и вызывает сильные разрушения

вследствие

возникающей разности

давлений.

Для

стационарной задачи

N

=

О, Ѳ = — и п

и р1ѵ1п =

р»~о.2п.

В этом

случае из

выражения

(132)

2

2

л2

2

k — 1

vln

= el

= a l - i r + l

щ п

і ,

откуда

k — l v i n

k+

1

А— 1

2

^2n

2

ûl =

g — V

g—

Найдем aï из уравнения Бернулли, которое остается справед­

ливым при N = О,

т

£ 4 - 1 0

& — 1 ,

/г — 1 0

а? =

—^— о

s— v f

„— of.

l

2

кр

2

!"

2

<

Приравнивая выражения для aï, находим искомую зависи­

мость

k — 1

2

2

Ѵ\ пЩп — а кр

— k

j Vf

ИЛИ

Я і Д 2 „ = 1 - 4 = і - А , 2 .

(133)

Из соотношения (133) для прямого

скачка

уплотнения,

когда

v t = 0,

получим

üiib = aKp

или

К\к2—1,

значении

скорости

до скачка (рис. 64)

и произвольном

угле а.

Введем систему

координат с началом в точке О, ось х

направ­

лена по

вектору

скорости

Кг.

В принятой

системе координат

\ п — ?Чіsift а

— \

cos а )

=

s i n

a ;

Xlt = K2t = Xt = X1 cos a = Хл

cos a-\-Xy

sin a.